Chapitre XITI. — Étude particulière des quartiques
Chapitre XJV. — Systèmes de courbes (faisceaux, réseaux, systèmes non linéaires, caractéristiques).
J'ai dû me borner à un exposé très rapide, qui ne donne pas une idée suffisanle de la richesse de l'Ouvrage, el non plus de la précision et de l'élégance des démonstrations. Signalons en terminant que les fîgures sont dessinées avec le plus grand soin : les courbes y sont tracées avec leur forjne exacte, sauf pour un très petit nombre de figures schématiques que l'auteur signale du reste lui-même. R. B.
GERTIFIGAIS M W^KWm RATIONNKLLE.
Besançon.
Épreuve écrite. — I. Établir le théorème de Lagrange et Dirichlet sur la stabilité d'un système dépendant d'une /onction de forces et d'un nombre fini de paramètres,
II. Un ressort de masse négligeable com,m,u nique à un pendule pescuit un moment de rappel proportionnel à l'angle d'écart au point mort du ressort.
i" Calculer la position d'équilibre et la durée des petites oscillations exécutées autour de cette position par le pendule ainsi modifié.
2* En supposant petite l'action de la pesanteur par rapport à celle du ressort, étudier, par la méthode de la variation des constantes, les grandes oscillations du système, et déterminer leur durée en fonction de la demi-amplitude en cours prise par rapport à la position du point mort du ressort.
3" Comparaison de deux écarts extrêmes consécutifs.
Ann. de ,lfathémat., 4' ''érie, i. VI (Janvier 1906.) 3
Éprbuve pratique. — Un pendule constitué d^une tige très mince et d'une sphère de 10^°^ de rayon est muni d'un petit curseur dont la masse est à celle de la sphère dans le rapport de i à 4 3, a.
On demande :
1° Au-dessous de quel niveau N on placera le curseur pour être assuré que toute descente du curseur ralentira les battements du pendule?
•;►." Après avoir placé le curseur au-dessous et près de la sphère f quel ébat faut-il ménager au curseur pour que cet
ébat soit capable de corriger un écart de marche de zh i5 battements du pendule sur 86400 battements.
La distance de l 'axe de suspension au centre de la sphère est i"; la masse de la tige est regardée comme négligeable ; le pendule est supposé placé à température constante.
(Juin 1905.)
Épreuve écrite. — 1. i** Théorème des moments des quantités de mouvement.
2" Un ensemble de points matériels est soumis à des forces mutuelles dont le potentiel est une fonction uniforme de la configuration intrinsèque du système; démontrer que, si cet ensemble a toutes ses vitesses nulles au départ, il ne pourra reprendre plus tard sa coxpigl ration
( 35 ) INITIALE que s'il retrouve en même temps son orientation
INITIALK.
II. On considère une tige homogène pesante s'appuyant avec frottements sur l'intérieur d*une demi-sphère creuse et sur le bord de la circonférence horizontale qui limite la surface sphérique supérieurement ; former les équations qui feront connaître les inclinaisons extrêmes de la tige sur l'horizon entre lesquelles se répartiront les inclinaisons de la tige maintenue en équilibre dans le plan d'un même grand cercle vertical de la sphère. Le coefficient des deux frottements est f.
ÉpRBUVE PRATIQUE. — Dcux cames à profils rectilignes sont portées par deux solides en rotations parallèles et de
sens contraires autour de deux axes O et 0' . Soient ta et ta' les vitesses angulaires des deux solides à un instant donné. On demande :
1° D'étudier comment varie le rapport —, durant la con-
'^'^ to
duite de la came O par la came O'.
2* De calculer les angles a et %' dont tournent alors les deux solides pendant la conduite depuis l'insfanf où les deux profils formaient une seule et même droite perpendiculaire commune aux deux axes.
Données :
cm
Distances des axes 00' 5o
Distances des becs des deux profils \ OA 4o
à leurs axes respectifs ( OB 3o
(Novembre igoS.)
Bordeaux.
ËPBBUVB BCiUTB. -^ l. Accélération. AQcélérmâf'ot^ tan^ g€niUlle tt eeMripète. Détermination de raecéUraâi^n dans un système de coordonnées curvilignes quel^onq^ibes ; application aux coordonnées polaires dans l^plmn eé dans VespoÊce,
U- Mouvement d'une barre soumise à des liaisons sans frottements et attirée par un point Jixe,
La barre est homogène et pesante; l'extrémité B glisse sur un cercle vertical, l'extrémité F est articulée en un point de l'arc du cercle * Le point le plus élevé K du cercle attire les éléments de la barre proportionnellement à la distance et à la masse.
On déterminera les forces de liaisons auxquelles la barre est soumise en B et F.
Épreuve pratique. — Un solide homogène a la forme d'une pyramide dont la base ABC est un trtangle équilatéral, et dont la hauteur est SA, S désignant le sommet. Déterminer le rayon de giration autour de l'arête SB :
AB = i", SA = 2"*.
(Juillet 1905.)
Eprkuvk écrite. — I. Pendule composé.
IL Mouvement d'un disque qui a un point fiare et d'une chaîne placée sur sa périphérie.
Ce disque, circulaire et de rayon R, homogène et pesant, est mobile sans frottements dans un plan vertical, autour d'un des poi/its O de sa circonférence.
La chaîne, homogène et pesante, glisse sans frottements sur une gorge pratiquée à la périphérie du disque.
Cas où, à l'origine du temps ^ le système est immobile.
ÉpRKUVK PRATIQUE. — C'ahulèr l'énergie cinétique d'un disque circulaire homogène, pesant Z^^Gt.'^ et roulant sans glisser sur une route horizontale, de telle sorte que son
( 37 ) Centre de figure pureoure uniformément loo" en 4 minutes :
g = 9,809 mètres-secondes.
Exprimer le résultat en unités communes et en unités C. G. S. (Novembre 1905.)
Grenoble.
Epreuve écrite. — Une barre homogène OA, de masse M, de longueur /, est mobile autour de son extrémité O qui est fixe. L'autre extrémité A est attirée par un point fixe B situé également à une distance l du point O. L'attraction est inversement proportionnelle au cube de la distance; c'est, d*ailleurSy la seule force donnée,
i" Former les équations du mouvement de la barre.
2" Discuter ce mouvement, en supposant qu'à lUnstant initial la barre est lancée tangentiellement au plan perpendiculaire à OB passant par .0.
3" Dans ce même cas particulier, déterminer explicitement en fonction du temps les cosinus de l'angle AOB.
Épreuve pratique. — Soient Ox, Oy, Oz trois axes rectangulaires. Les six plans
déterminent un parallélépipède rectangle. Ce parallélépipède limite un solide homogène S dont la masse est M .
A l'instant initial, le solide S est animé d'une rotation «0 autour d'un axe OR, situé dans le plan xOz, faisant avec Oz un angle a. Dans l'espace, cet axe OR est dirigé suivant la verticale descendante.
1° Déterminer, à cet instant, la force vive de S ei le moment résultant, relatif à 0, des quantités du mouvement de S.
7? Le solide étant abandonné à l'action de son poids (et n^é tant soumis à aucune liaison), déterminer le mouvement ultérieur pat le mouvement du àeMre de gravité et
( 38 ) les éléments du mouvement autour du centre de gravité {cônes roulettes y vitesses angulaires). Quels seront, au bout du temps fi, les angles d*Euler définissant Vorientation du trièdre Oxyz par rapport à un autre trièdre dont les axes ont des directions fixes que l'on choisira convenablement,
3° Application numérique :
(unités C. C. S.). OR est bissectrice intérieure de rOy.
( Novembre 1905.)
Lille.
Epreuve écrite. — I. Appliquer les équations générales d* équilibre d* un fil flexible, inextensible et sans torsion à la recherche de la figure d'équilibre d'un fil pesant homogène librement suspendu par ses deux extrémités,
W. Un tube circulaire, homogène, pesant, de très petite section, est assujetti à glisser sans frottement sur une droite horizontale Ox. A l'intérieur du tube glisse sans frottement un point pesant de mctsse égale à celle du tube.
Étudier le mouvement, en supposant qu'à l'instant initial le système est abandonné dans le plan vertical deOx avec des vitesses dirigées dans ce plan.
Épreuve pratique. — Déterminer la vitesse d'une balle de revolver d'après les observations suivantes faites à la balance balistique :
I' La balle produit une déviation maxima de i3'*4o', la distance de la ligne de tir à l'axe de rotation étant de 14'^", 2; la durée d'oscillation est de 6% 7.
2° 5o* suspendus au levier à 40'""' de l'axe de suspension donnent une déviation permanente de i4"2o'.
La masse de la balle est de 5*, 7.
N. B — On établira sommairement la formule qui détermine la vitesse demandée, ( Novembre 1906.)
Montpellier.
Épreuve écrite. — Un ellipsoïde, homogène et pesant, dont la masse est égale d 5, a pour équation par rapport à ses axes de symétrie
aȔ yt ^1
Cet ellipsoïde étant immobile et s'appuyant sur un plan horizontal fixe par Vun des sommets de son grand axe, on lui imprime, au point de coordonnées
une percussion ayant pour composantes
Quel mouvement prend le solide?
Épreuve pratique — Une barre pesante AB repose tangentiellement sur une courbe dont le plan est vertical, et appuie son extrémité A contre un plan vertical perpendiculaire au premier. Déterminer la courbe de manière que la barre reste en équilibre, quel que soit son point de contact.
Il n*y a pas de frottement. (Novembre igoS.)
Toulouse.
Épreuve écrite. — I. Les extrémités d'une tige homogène pesante AB de longueur à l sont assujetties à se mouvoir, la première sur une horizontale Ox, la seconde sur une verticale Oy. Le système tout entier tourne autour de Oy avec une vitesse angulaire constante o).
On demande :
i" Déformer les équations du mouvement relatif de la barre dans le plan x Oy.
'2" De trouver la position d* équilibre relatif de la barre. Cet équilibre est- il stable ou instable?
y* Dans le cas oà ^équilibre est stable, d'étudier le mouvement de la barre autour de cette position d'equi'^ libre.
4" De calculer les réactions aux points A et B.
On néglige le frottement des extrémités A et B sur Ox et Oy.
II. Deux poulies homogènes situées dans un même plan vertical tournent autour de deux axes parallèles 0 et O'
avec des vitesses angulaires estimées dans un même sens de rotation égales à wq et wj,.
Un fil non tendu s^ enroule sur les deux poulies. A un moment donné le fil se tend de telle sorte que les mouvements des deux poulies qui étaient indépendants deviennent brusquement solidaires l*unde Vautre. On suppose que la tension du fil persiste après le choc, et l *on demande ce que deviennent les vitesses angulaires des deux poulies. On donne les rayons des deux poulies R et R', les moments d'inertie ji et [x'.
Épreuve pratioue. — Comparer les moments dUnertie relativement à leur axe com,mun A des trois anneaux homog-ènes engendrés par la révolution simultanée d'une
Ti.
ellipse, de son rectangle circonscrit, de son losange inscrit autour d*une droite A parallèle au petit axe de V ellipse.
(Novembre cgoD.)
