CERTIFICATS D'ASTRONOMIE

Besançon.

Épreuve égritk. — I. On demande de calculer les éléments Û, a>, /, qetH d'une orbite parabolique possédant les racines de l'équation d'Euler s, a, /• et r'.

IF. Établir les formules usuelles de la parallaxe en ascension droite et déclinaison.

Épreuve pratique. — Calculer l'arc de grand cercle d'horizon compris entre le lever du Soleil au solstice d'été 21 juin et au solstice d'hiver 22 décembre à Besançon,

Latitude de Besançon <p = 47* 1 4' ^9', 4

Inclinaison movenne de l'écliptique

sur l'équateur (u = 230 27' 5", 6

(Juin 1905.)

Épreuve écrite. — ï. Planètes, Établir les lois du mou^ vement héliocentrique et donner l'ensemble des formules

( 42 ) qui font connaître les coordonnées géocentriques équato— riales.

FI. Interpolation. De la formule fondamentale de New^ ton déduire la formule usuelle ou de Stirlings

f{a^ uw)

Épreuve pratique. — Trouver le moment où une comète parabolique ayant passé au périhélie le i3 septembre ^ à midi y sera à une distance du Soleil r = 2,o554'^o, sachant que la distance périhélie q =i, 532675 et que

logv/7= 8, 235581.

Unité de distance : Terre, Soleil.

Unité du temps : Jour solaire moyen.

(Novembre 1905.)

Bordeaux.

Épreuve écrite. — Établir géométriquement l'équation de Kepler

u — e s\nu = nt.

Expression du rayon vecteur r en fonction de u.

Expression de l'anomalie vraie V en fonction de l'ano^ malie excentrique u.

Expression de V anomalie vraie V par une série ordonnée suivant les puissances croissantes de e et les sinus des multiples de u.

Épreuve pratique. — Calcul de l'éclipsé de Lune du 14 aoAt 1905 par la méthode des différences d'ascensions droites et déclinaisons. (Juillet 1905.)

Épreuve écrite. — Démontrer, par des considérations géométriques, les formules de Mayer et de Bessel pour la réduction des observations méridiennes.

Rapport algébrique de ces deux séries de formules. Détermination expérimentale de l'inclinaison de l'axe et de la collimation.

Épreuve pratique. — Calculer pour Bordeaux

les digressions de la polaire (8 = 88** 46' 45", i ) lorsque ses angles horaires sont de S'^o", 5" 4"*, 5*» 8", , . . et 5** 20".

Vérifier le calcul par la méthode des différences.

La digression, comptée à partir du Nord vers l'Ouest, est donnée par la formule

.^ cosSsin^

^ ""costpsinS — sin^cosScosf

(Novembre 1905.)

Grenoble.

Épreuve écrite. — I. Compensation des angles d'un triangle.

II. Compensation des angles d'une chaîne de triangles qui s'appuie sur deux bases extrêmes, tous les angles des triangles ayant été mesurés.

III. Théorème de Legendre pour la résolution d'un triangle géodésique.

Épreuve pratique. — Étant donné l'azimut A du coucher d'une étoile de déclinaison (Ô, calculer la durée T de la course apparente de l'étoile au-dessus de l'horizon du lieu, ainsi que la latitude X de ce lieu. Déterminer les variations AT et Û^ de T et de \ qui correspondent à une variation AA de A.

On ne tiendra pas com.pte de la réfraction. Application numérique :

A = 66*» ïiy,^,

Cô = — 16°38' i',o'2,

AA = H-i'.

(Novembre 1905.)

Marseille.

Épreuve écrite. — Théorie de la lunette méridienne.

Exposer comment, avec une lunette méridienne bien réglée et une pendule, on détermine V heure locale ainsi que les ascensions droites relatives des astres.

Établir les formules qui permettent de tenir compte des erreurs instrumentales et expliquer comment on détermine ces erreurs.

Épreuve pratique. — Connaissant la latitude géographique cp d*un point de la Terre, calculer la latitude géocentrique îp de ce point et son rayon vecteur r, en admettant que la surface terrestre est un ellipsoïde

de révolution dont l'aplatissement est — - et en prenant

pour unité le rayon équatorial.

Donnée numérique :

(Novembre 1905.)

Montpellier.

Épreuve écrite. — Erreur d* excentricité dans le théodolite. Forme et détermination des constantes instrumentales figurant dans la formule de correction. Erreurs de division des cercles gradués. Formule générale de toutes ces erreurs et procédé général d'élimination par l'emploi de p lusie urs vern ie rs .

Épreuve pratique. — La formule pour la correction de l'erreur d'excentricité dans le théodolite est

supposons que les constantes instrumentales soient

r i5oo

( 45 ) et que l'on ail fait la lecture

Déterminer la correction p en secondes et à moins d'une seconde près, (Novembre 1905.;

TouloQse.

Éprbuvç écrite. — I. Définir V équation du centre. Étudier sa variation.

II. Deux planètes A et B décrivent dans le même plan des cercles concentriques dont les rayons sont respectivement 16 et 36, le moyen mouvement diurne de la planète B étant 64*. On suppose qu'à l'origine du temps les deux planètes sont en opposition. On demande :

1° De trouver la longitude de la planète A supposée vue de la planète B, et d'étudier la variation de cette longitude;

2" De trouver l'angle sous lequel on voit, de la planète B, la planète A et le Soleil et d'étudier la variation de cet angle.

Éi'RKCJ VB PHATIQUE. — V excentricité de le planète (S) Thalie est 0^^34291 et son moyen mouvement diurne 833', 5. A une certaine date, l'anomalie vraie étant 3o", on demande de calculer :

i** L'anomalie excentrique à cette date;

2" L'anomalie moyenne à cette date;

3" Le temps écoulé depuis son dernier passage au périhélie^ (Novembre 1906.)

Nancy.

Éprbuvk écrite. — I. En supposant connues les trois formules fondamentales de la trigonométrie sphérique, établir les analogies de Neper.

II. Expliquer comment on établit, en Astronomie, que les planètes suivent les lois de Kepler* Les six éléments d'une planète.

Épreuve pratique. — A une certaine époque, les coordonnées héliocentriques d'une planète ont pour valeurs :

Longitude / = 1 19* ^'5y',6

Latitude X= 2** 19' 59', 8

Rayon vecteur /• = o , 7 1 8 5o i 7

On demande de calculer la longitude /' et la latitude X' géocentriques de cette planète, sachant que, à la même époque, la Terre a pour coordonnées héliocentriques

Longitude /i = 295" 1 5' 32*, 10

Rayon vecteur /'i = 1,0162454

SOLUTfOIIS II PESTIONS PROPOSÉES.

Une courbe du quatrième ordre, qui a trois points doubles, admet généralement quatre tangentes doubles, qui forment quatre triangles homologiques du triangle déterminé par les points doubles. (Ernest Duporcq.)

Si trois cercles sont inscrits à un triangle, les quatrièmes tangentes communes qu'ils- admettent, pris deux à deux, forment un triangle homologique du premier.

(Ehnest Duporcq.)

solutions Par M, TniÉ.

F^a démonstration de la proposition 1665 est immédiate. Supposons par exemple que les trois cercles dont il s'agit soient les trois cercles exinscrits : alors on voit tout de

suite que les côtés du triangle formé par les quatrièmes tangentes communes rencontrent les côtés du triangle donné aux pieds des bissectrices extérieures de ce dernier. Ces pieds sont en ligne droite, donc, etc.

Voici maintenant comment on peut rattacher l'énoncé 1664 an précédent.

On voit d'abord) par le même raisonnement élémentaire, que :

Si trois cônes de révolution sont inscrits à un même trièdrcy les quatrièmes plans tangents communs qu'ils admettent, pris deux à deux, forment un trièdre homologique du premier.

Dans cette proposition, remplaçons les mots cônes de révolution par cônes touchant un même cône suivant deux arêtes, pour avoir une généralisation projecfive; effectuons ensuite une transformation par polaires réciproques, et prenons enfin la trace de la figure obtenue sur un plan quelconque : on aboutit à l'énoncé suivant :

Soient ABC un triangle et S une conique quelconques. Il existe quatre coniques passant par les points A, B, G et bitangentes à S. Trois de ces coniques se coupent y deux à deux, en trois points qui sont les sommets d'un triangle homologique à ABC.

Effectuons alors une transformation quadratique ayant ABC pour triangle fondamental; S devient une biquadratique S' ayant trois points doubles en A, B, G. Les quatre coniques bitangentes à S deviennent les quatre bitangentes de S'. Trois d'entre elles forment bien un triangle homologique à ABG, en vertu de ce théorème :

Si trois points sont les sommets d'un triangle homologique au triangle fondamental d'une transformation quadratique, il en est de même de leurs transformés.

Getle dernière proposition «'st bien connue, quand la transformation quadratique considérée est Vinversion par rapport à un triangle. Il suffit d'une transformation homographique pour avoir l'énoncé général.

( 48 ) OURSTIONS.

2032. On considère une cardioïde dont le sommet est S,

dont le point de rebroussement est O, et dont les points de

contact de la tangente perpendiculaire à OS sont A et B.

OS On prend le point I situé entre O et S et tel que 01 = -7- •

On décrit le cercle G de centre ï et de rayon lA.

Soient T le point de contact d'une des tangentes au cercle G

issues d'un point quelconque M de la cardioïde, et P la projec>

tion de M sur la droite AB. Démontrer que, quel que soit M,

on a