SOLUTION GÉOMÉTRIQUE

I. La vilesse relative du point P [tangente au cercle (C)] et sa vitesse d'entraînement (équipoUente à celle de C, par suite, perpendiculaire à OC) sont toutes

deux égales à — • Leur résultante, vitesse absolue de P, est donc dirigée suivant la bissectrice PT de leur angle, T étant le point où le rayon OC prolongé rencontre le cercle (G). Par suite, la normale à la trajectoire (E) de P passe par le point I diamétralement opposé à T, et, comme ce point I est le même quel que soit le point P choisi sur (C), c'est le centre instantané de rotation du cercle sur lequel serait marqué le point P. Le lieu de ce centre I sur le plan du cercle (C) est ce cercle lui-même ; sur le plan fixe, c'est le cercle de rayon OL Donc, le mouvement de P peut s'obtenir par roulement du premier de ces cercles sur

( ^79 ) le second, et la courbe que décrit ce point est une épicjcloïde (E).

On peut remarquer, en outre, que, d'après l'énoncé

a?OG = (i — m)a)/, xLP = (i-{- m)î>}i, d'où Ton déduit

lCP'=amci>^ Et, comme

01 = OC — CP =a mo,

on vérifie immédiatement l'égalilé des arcs P^I et IP' donnés respectivement par

arc P'q I = ma(i — m) ti) f et

arcIP'= ^ '—'imtùt,

Remarquons encore que Ton a

OT = OC -+- GP = a et

PIT = i^^ = miof ;

d'où l'on déduit

II. La vitesse absolue u du point P, dirigée suivant PT, fait avec la vitesse relative, dirigée suivant la tanf;enle en P au cercle (C), un angle égala PlTou mw^. Et, puisque, comme nous venons de le voir, la vitesse d'entraînement est égale à la vitesse relative, c'est-à-dire

à — ^^ —9 nous avons

a*= 2 ' (l H- C0S2mbit)

( '^^ ijiêvec sa projection u

, \ ^/.Jessus. Pour en déduire z, il /gforf^ /.(Tue, ie lieu du point M étant une

on^ dz

. -gVration, la formule (4). Pour faire voir

^'^^\^s\'ce en. question se trouve sur Tellipsoïde ci-

^"^ Wéfioii i' suffit donc d'établir directement la

ig/5). Or, rien n'est plus simple; abaissons, en

(fi deO la perpendiculaire OH sur PT ; cette perpen-

,. yjaire fait avec 0(] un angle égal à PIC ou mtùt, et

Von a

^.lH-^t= 0P«= ÔH* H- ÏÏP*

= OT cos^mtùt -{- 01 sin^nnùt = a* cos'ma)f -h m* a* sin'moj^.

C'est précisément la formule (5).

III. La formule (7) vient d'être obtenue. Il suffit de remarquer qu'en vertu d'une propriété connue de l'hélice, on a

pour déduire de (4) la formule (9). Reste à obtenir les formules (8) et (10). Or, rien n'est plus aisé géométriquement. En effet, la projection PT du vecteur

vitesse fait avec Ox un angle égal à - -h o) f , et, d'autre

part, ce vecteur fait lui-même avec Oz un angle égal à 0. On a donc

a = sinO cos( — h (i)M = — sin6 sinco/,

p = sin6sin( — hu)f)= sinôcosa)/, Y =cosO.

Ce sont les formules (8). De plus, la considération de Tindicatrice sphérique (ici un cercle parallèle au plan Oxy) donne immédiatement pour l'angle de contingence de,

die = sinO^I — H coM = oisinO dt.

D'où

ds u ds ^ dt __ ç ~^ dt ~~ dt "" a)sin6

di C'est la formule (lo).

IV. Le plan osculateur à l'hélice décrite par le point M contenant la normale principale, c'est-à-dire la normale au cylindre mené par(E) parallèlement à O^, normale qui se projette sur Oxy suivant PK, a pour trace sur ce plan Oxy^ la parallèle à PK (c'est-à-dire la perpendiculaire à PT) menée par le point V où la tangente à l'hélice rencontre Oxy. Or, la sous-tangente PV étant égale à l'arc PPo de l'épi cy cl oïde (E) décrite par P, est indépendante de l'angle 0 de l'hélice, et, par suite, il en est de même de la trace du plan osculateur.

D'autre part, puisque le plan osculateur a pour caractéristique la tangente, la trace de ce plan osculateur touche son enveloppe au point V où elle est rencontrée par cette tangente. Ceci montre que VP est normale à cette enveloppe qui est, par suite, une développante de (E).

Reste à faire voir qu'elle est homothétique de Tëp»cycloïde décrite par le point P', par rapport au point O. Or, la sous-tangeote PV est donnée par

PV = ztangS ou, en vertu de la formule (4)) par

PV = ^sinmcof.

On a donc

TV = PV — PT

sia mi» t — a(i — m) sm/nco/

sin/n(x>^

Mais, d'autre part, Par suite.

IGP' IP'= 2IG sin = ail — ni) sinmco^

IP' " m}

comme, d'ailleurs, TV et IP' sont parallèles (comme perpendiculaires à PI), et que Ton a aussi

OT £ 01 " m'

on voit que les points F et V sont en ligne droite avec le point O, et que l'on a

?X - JL OP' "" m '

ce qui démontre la proposition annoncée.

Remarque. — En vertu de la construction de Savary, ou mieux d'Euler, le point Q est le centre de caurbure

( >83) de répicycloïde (E). Or, le triangle OFC, coupé par la transversale PIQ, donne

QO PP' IG

QP' "PC ro ""'' d'où

OQ PC 01 I ma i — m QP' "^ PP' IC 2 (i — m)a "^ m