ABC

sintof — cosb)^ tangO

Or, si Von multiplie les formules (i bis) respectivement par s'iiibiC et — cosco^, la formule (4) par tangO, et si Ton additionne, on a

(12) xsmo)/ — j^coso)/ -f-25 tangO = — sm/ntot.

C'est donc là l'équation du plan osculateur, si l'on y regarde x,y, z comme des coordonnées courantes. La trace A de ce plan sur le plan Oxy est

(i3) xsintot — ycosa)/= — sinmto/,

indépendante de 6, donc de b,

V. Pour avoir l'enveloppe de cette droite A, il faut éliminer t entre celle équation (i3) et sa dérivée par

( =77 ) rapport à ^, qui peut s'écrire

(i4) X costàt -\-y sintfit = a cosnnnt.

Au Heu d'élîminer t, on peut représenler celte enveloppe paramétriquement en tirant de là

a? = — ( sintiit s\n nnfit -h m Costa t cos m iùt), m

Y = — ( — coso)/ sin/no)/ + /n sinu)^ cos/nwO-

Or, pour avoir le lieu du point P' diamétralement opposé à P dans le cercle (C), il faut dans les for-

Fig. 2.

mules (i bis) remplacer (o^ et /wco^ par ces mêmes angles augmentés de -» ce qui donne précisément les dernières formules écrites, à cette différence près que c'est a au lieu de — qui figure en dehors de la parenthèse.

Donc l'enveloppe de A est une épîcycloïde (E') homolhétique de celle que décrit le point P' par rapport

à l'origine O, le rapport d'homothétie étant — •

Remarquons maintenant que la droite (i3), qui passe par le point où A (i3) touche son enveloppe, est perpendiculaire à cette droite; c'est donc la normale à (E'), et son enveloppe s'obtient en éliminant t entre (i4) et sa dérivée par rapport à t

(i5) xsmtùt — ^cosb)^ == am sinmcDf.

Or, on voit immédiatement que, si Ton tire x et y de (i4) et (i5), on retombe sur les formules (i 6w), ce qui montre que la développée de (E') se confond avec le lieu de P.