JUILLET

^Bi9^»

PARÎS, r,AOTfIlEH-\ILL\r.S, IMI*IUMEUH-UIÎRAIBE

c>u«j des Graads-Au supins, ^5* Léi mamiscrlto non miérés sa sont pua r^adut*

( Tr fUrtn^il p.>r,<i:t. cii^tifti«^ mifi<k.|

( 28o ) Or, la vitesse ç du point M fait avec sa projection u un angle constant égal à 6; on a donc

ati)(i — m*)

cosmct)^.

C'est la formule (7) ci-dessus. Pour en déduire j5, U

suffit de remarquer que, le lieu du point M étant une

hélice, on a

dz .

^ = .cose;

d'où, par intégration, la formule (4)« Pour faire voir que l'hélice en^ question se trouve sur l'ellipsoïde cidessus défini, il suffit donc d'établir directement la formule (5). Or, rien n'est plus simple; abaissons, en effet, de O la perpendiculaire OH sur PT; cette perpendiculaire fait avec OC un angle égal à PIC ou mtùty et l'on a

x«-h jr« = OP» = ÔH * -h ÏÏP*

= OT cos*/nti)^H- 01 sin*mti)f = a* cos^nnùt -f- m*a*sin*mtiif.

C'est précisément la formule (5).

III. La formule (7) vient d'être obtenue. Il suffit de remarquer qu'en vertu d'une propriété connue de l'hélice, on a

cosb

pour déduire de (4) la formule (9). Reste à obtenir les formules (8) et (10). Or, rien n'est plus aisé géométriquement. En effet, la projection PT du vecteur

vitesse fait avec Ox un angle égal à - -f- w^, et, d'autre

part, ce vecteur fait luiinéme avec Oz un angle égal à B. On a donc

a = sin6cos( — h o)*) = — sin6 sinu)^,

p = sin6sin( — i-u>r]= sinOcoso)/, Y =cos6.

Ce sont les formules (8). De plus, la considération de Tindicatrice sphérique (ici un cercle paralic^le au plan Oxy) donne immédiatement pour Fangle de contingence dt

dt=zs\n^d( — hmtj = co sinO dt.

D'où

ds r^ __ ds ^ dt ^ V

de de (DsinO di C'est la formule (lo).

IV. Le plan osculateur à l'hélice décrite par le point M contenant la normale principale, c'est-à-dire la normale au cjlindre mené par(E) parallèlement à Oz, normale qui se projette sur Oxy suivant PR, a pour trace sur ce plan Oxy^ la parallèle à PK (c'est-à-dire la perpendiculaire à PT) menée par le point V où la tangente à rhélice rencontre Oxy. Or, la sous-tangente PV étant égale à l'arc PP© de l'épi cycloïde (E) décrite par P, est indépendante de l'angle Q de l'hélice, et, par suite, il en est de même de la trace du plan osculateur.

D'autre part, puisque le plan osculateur a pour caractéristique la tangente, la trace de ce plan osculateur touche son enveloppe au point V où elle est rencontrée par celte tangente. Ceci montre que VP est normale à cette enveloppe qui est, par suite, une développante de (E).

( 28o ) Or, la vitesse (^ du point M fait avec sa projection u un angle constant égal à 6; on a donc

ato(i — m') ç = 1 — . i cosmct)^.

C'est la formule (7) ci-dessus. Pour en déduire j5, il suffit de remarquer que, le lieu du point M élant une hélice, on a

-y- = V cos6:

d'où, par intégration, la formule (4). Pour faire voir que l'hélice en^ question se trouve sur l'ellipsoïde cidessus défini, il suffit donc d'établir directement la formule (5). Or, rien n'est plus simple; abaissons, en effet, de O la perpendiculaire OH sur PT ; cette perpendiculaire fait avec OC un angle égal à PIC ou miùty et l'on a

a;« -h j^» = 0P« = ÔH * -h ÏÏP *

= OT cos*mwfH-OI sin'mo)^ = a* ces* m (I) ^ -f- m^a* sïn^ m (lit.

C'est précisément la formule (5).

III. La formule (7) vient d'être obtenue. Il suffit de remarquer qu'en vertu d'une propriété connue de l'hélice, on a

s = rj

COSO

pour déduire de (4) la formule (9). Reste à obtenir les formules (8) et (10). Or, rien n'est plus aisé géométriquement. En effet, la projection PT du vecteur

vitesse fait avec Ox un angle égal à - -f- w ^, et, d'autre

( a8. ) part, ce vecteur fait luiinéme avec Oz un angle égal à B. On a donc

a = sin 6 cos ( — h w n = — sin 0 sîn w ^,

p = sin6sin[ — \-oit\= sin6cosa>/, Y =:cos6.

Ce sont les formules (8). De plus, la considération de rindicalrice sphérique (ici un cercle parallèle au plan Oxjr) donne immédiatement pour l'angle de contingence dt

dt =z sin^ dl — h ui < ) = (i> sin 0 dt.

Doù

de de. eu sin 6 di C'est la formule (lo).

IV. Le plan osculateur à l'hélice décrite par le point M contenant la normale principale, c'est-à-dire la normale au cjlindre mené par(E) parallèlement à Oz, normale qui se projette sur Oxy suivant PR, a pour trace sur ce plan Oxy^ la parallèle à PR (c'esi-à-dire la perpendiculaire à l^) menée par le point V où la tangente à rhélice rencontre Oxy. Or, la sous-tangente PV étant égale à l'arc PP© de l'épicjcloïde (E) décrite par P, est indépendante de l'angle Q de l'hélice, et, par suite, il en est de même de la trace du plan osculateur.

( 28o ) Or, la vitesse {> du point M fait avec sa projection u un angle constant égal à 0; on a donc

aco(i — m*) if = L___ : co% mtiit.

C'est la formule (7) ci-dessus. Pour en déduire j5, il

suffit de remarquer que, le lieu du point M étant une

hélice, on a

cLs .

-j- = t>cosO; at

d'où, par intégration, la formule (4). Pour faire voir que l'hélice en^ question se trouve sur l'ellipsoïde cidessus défini, il suffit donc d'établir directement la formule (5). Or, rien n'est plus simple; abaissons, en effet, de O la perpendiculaire OH sur PT; cette perpendiculaire fait avec OC un angle égal à PIC ou nnùt, et l'on a

^«-h jr« = 0P« = ÔH * -+- HP*

= OT cos*mwf-4-OI sin*mti)< = a* cos^nnùt -f- m* a* si n* ma) ^

C'est précisément la formule (5).

III. La formule (7) vient d'être obtenue. Il suffit de remarquer qu'en vertu d'une propriété connue de l'hélice, on a

pour déduire de (4) la formule (9). Reste à obtenir les formules (8) et (10). Or, rien n'est plus aisé géométriquement. En effet, la projection PT du vecteur

vitesse fait avec Ox un angle égal à - -f- to^, et, d'autre

( 28. ) part, ce vecteur fait luiinéme avec Oz ud angle égal à B. On a donc

a = sin 6 cos ( — h o) * ) = — sin 0 sîn co ^,

P = sinGsin( — h <«)/)= sin 6 cos w/, Y =cosO.

Ce sont les formules (8). De plus, la considération de Tindicatrice sphérique (ici un cercle parallèle au plan Oxy) donne immédiatement pour l'angle de contingence dt

rfe = sinOrf/ — hw*) = co sinO^^.

D'où

ds dt p

dz dz (DsinfJ

di C'est la formule (lo).

IV. Le plan osculateur à l'hélice décrite par le point M contenant la normale principale, c'est-à-dire la normale au cjlindre mené par(E) parallèlement à 0^, normale qui se projette sur Oxy suivant PR, a pour trace sur ce plan Oxy^ la parallèle à PR (c'est-à-dire la perpendiculaire à PT) menée par le point V où la tangente à rhélice rencontre Oxy. Or, la sous-tangente PV étant égale à l'arc PPo de l'épicycloïde (E) décrite par P, est indépendante de l'angle Q de l'hélice, et, par suite, il en est de même de la trace du plan osculateur.

D'autre part, puisque le pian osculateur a pour caractéristique la tangente, la trace de ce plan osculateur touche son enveloppe au point V où elle est rencontrée par cette tangente. Ceci montre que VP est normale à cette enveloppe qui est, par suite, une développante de (E).

logue à (i)

CnX'X' -+-...= a.

Chaque même droite M' d'une figure a, dans l'autre, une infinité d'associées aj^ant en général une enveloppe qui se rédiiit à un point m", et M', //i" sont dits encore homologues.

Les trois hypothèses faites successivement sur l'abaque (2) se représentent textuellement pour celui des coefficients de cette équation, avec des conséquences analogues.

1® La correspondance entre les objets M', m!' est la même qu'entre M", m', tout à l'heure (I, i**), et la conception habituelle des figures corrélatives se retrouve au bout d'une autre voie.

a° Dans chaque figure, une àvo\lQ'piste unique a ses associées absolument indéterminées ; les traces marquées sur les pistes par deux droites associées quelconques y forment deux divisions homographiques, chaque trace étant le point homologue unique à une droite quelconque issue de Fautre; ....

3*^ Un ^oml-stigmate^ unique dans chaque figure, rend absolument indéterminées les associées de toute droite passant par lui; toute droite ne passant pas par un stigmate a pour associées toutes celles qui rayonnent de Taulre, indistinctement; ....

IIL En résumé, dans les premiers cas des deux définitions, leur dissemblance laisse néanmoins la même nature générale aux systèmes de figures qui en dériv(;nt. Dans les deux derniers, c'est le contraire, les figures particularisées par Tun d'eux échappant toujours à l'autre définition (*).

(*) L'extension aux figures homographiques, de la noiion des ob*

(>95) 5. L'allusion faite aux figures corrélatives, dans l'énoncé II du n® 3, vise exclusivement celles qui dérivent de la première des deux définitions précédentes (4, I), et dont j'aurai ainsi à mentionner quelques propriétés successivement. Je ne le ferai qu'e/i thèse générale et en gros, pour ne pas franchir le cadre naturel de cetle notice par les discussions minutieuses qu'exigeraient une précision et une rigueur absolues.

I. Dans de telles figures §'y #", les points m' (Tune droite fixe D' de Vune et ceux de leurs associés, m", qui sont situés sur une droite E" de Vautre, forment deux divisions homo graphiques .

Car x!^y ^ J sont alors fonctions linéaires et homogènes de deux indéterminées seulement, dont od' ^ y, ^ dépendent de la même manière, en vertu de l'équation (i) et de celle de la droite E".

II. Leur système est déterminé par la. connaissance de huit paires de points associés.

Car la substitution^ dans l'équation (i), des coordonnées des poinis de ces huit paires, fournit, entre les neuf coefficients (2), huit conditions linéaires et ho-

jels associés, permettrait de lier très étroilement leur théorie à . celle des figures corrélatives, d'unifier complètement toutes deux; les considérations analytiques propres à Tune et à l'autre mettraient en jeu les mêmes formules impliquant les mêmes lettres, celles-ci, toutefois, représentant les coordonnées, tantôt de points, tantôt de droites (tantôt de plans dans Tespace). Dans deux figures homographiques planes, V association s'établit non plus entre point et point, ou droite et droite, comme dans les figures corrélatives, mais entre point et droite toujours, l'associée d'un point étant toute droite issue de son homologue, Vassocié d'une droite, tout point silué sur son homologue.

( »96) mogènes, dPcxù, par suite, ceux-ci peuvent être tirés en fonctions linéaires et homogènes d^une seule indéterminée "k,

ITI. // est laissé indéterminé par la connaissance de sept paires seulement de points associés, cette condition assignant à une même figure^ ^' par exemple, une infinité de corrélatives possibles ^^^ §^^ ''^^", ... Mais, dans toutes celles-ci, un même point m" demeure associé commun à tout même point m' de ê\ et il y a homographie entre tous les faisceaux (^»' M"/«>M^ ...), (^*^N% ^«>N^ ...),... formés ainsi autour de m"^ n^^ , . .' par les droites homologues des divers points, m', w', . . . , rfe i\

Car les équations de condition entre les neuf coefficients du système ne sont maintenant qu'au nombre de sept, et ne fournissent plus leurs valeurs qu'en fonctions linéaires et homogènes de deux indéterminées X, [JL. De quoi les faits en question se déduisent bien faci^ment.

6. Le cas où les figures considérées sont dans un même plan $ comporte une particularité spéciale, à propos de laquelle il faut noter quelques observations.

I. Sur ce plan commun il y a des points doubles, c^ est' à- dire dont chacun se confond avec un de ses associés, situé ainsi sur sa droite homologue; et le lieu G, de tels points, est une conique.

Car alors, on peut prendre identiques les repères coordonnés, auxquels les points associés m', m" sont rapportés, et les substitutions x* ■=, af •=- x^ y=zyz=zy^

( ^97 ) z!:=z ^= js, faites dans Téqualion (i), donnent :

( -^ (Cî»-^ cit)yz -h (ca, -+- Cx^)zx -\- (c„-h c„ )xy = o,

pour équation du lieu C.

I[. Powr les systèmes ^*^ S, '*^ S, . . . défigures admettant sept mêmes paires de points associés (5, III), les coniques ^*'©, ^*^S, ... passent par quatre mêmes points fixesy et leur faisceau est homographique à ceux de droite, mentionnés au lieu cité.

Car les coefGcients de IVqiiation (3) sont alors, comme ceux de l'abaque (2) {toc, cit,)^ des fonctions linéaires et homogènes des deux mêmes indéterminées X, {A.

m. Deux points associés m', m" seront dits tris relativement à un point neutre donné w, s'ils se trouvent en ligne droite avec lui. D'après cela, tout point double est associé à lui-même, relativement à un point quelconque du plan commun des figures, considéré comme neutre.

Quand, pour les sept paires considérées ci-dessus (II), V association est relative à un même point neutre o), cette disposition s'étend à toutes les autres paires de points qui sont associés à la fois dans les divers systèmes f"S,('^S, . . .(^loc. cit.), et une même conique Q est engendrée par les points doubles d'un quelconque de ces systèmes,

1" Les points /n', n', . • • d'une Ggure §\ et d'autres /w", n'y ... pris en indétermination absolue sur les droites (u m', (o /i', . . • respectivement, sont visiblement associés dans un système £ dont les figures S'y ê" sont douées de pivots confondus avec (i> (4, I, 2"*). Cela

( =»98) posé, soient <*^ i" la figure corrélative à #' dans le système ^*^£ par exemple, puis ^*^ m'',^*^/i'', . . • ceux de ses points qui sont associés à m', n', . . . relativement à (o, c'est-à-dire les traces des droites co/n', con', • . . sur les droites homologues de m', /i', . . . . Les points des paires (/«',f*Jm"), (n',^*^/ï"), . • . étant ainsi associés dans deux des systèmes ^*JS,f2)2!, ..., savoir S figurant parmi euxet^*^!, ils le sont dans tous les autres (5, UI), ce qui équivaut à la première partie de Ténoncé.

a^ Si enfin ^*^ m désigne un point quelconque de la conique (*^G appartenant au système (*^S, il est associé à lui-même dans ce système, et encore dans le système spécial £ puisqu'il appartient à la droite (o (*)m(i^). Il Test donc aussi, double en conséquence, dans chacun des autres systèmes ^^'S, f^^S, . .., ceci étant le fait formulé par la dernière partie de Ténoncé.

7. Sur les systèmes de deux figures corrélatives ^', S'' situées dans un même plan ^, nous pouvons maintenant résoudre les problèmes posés successivement ci-après.

I. Dans tous les systèmes oà trois paires de points associés, (a,, a'), («'^, «j)» («3, a,), sont données sur une même droite A, on demande V associé commun m" d* un point m' de la première figure par exemple, marqué arbitrairement sur cette droite.

Les données laissent le système dans une indétermination bien plus étendue que celle dont nous avons parlé au n*^ 5, III, mais n'en déterminent pas moins ce point /n^. Car il est évidemment l'homologue de m' dans la seconde des divisions homographiques définies, sur la même droite A, par la correspondance des

( 299 ) points a',, a^, a', à a*, «g? ^3 respectivement (Jb., 1).

IL Dans tous les systèmes oà sont données une conique Q comme lieu des points doubles et deux paires de points associés (a,, a",), (a!^, a\)^ dont les droites sont distinctes, on demande l'associé m" d^ un point quelconque m' du plan ^, attaché à la première Jigure par exemple.

Ici, sept paires de points associés sont donnés, savoir deux explicitement, cinq implicitement par le dédoublement d'autant de points délerminant la conique G, et leurs associations sont toutes relatives à Tintersection w des droites a\ a\ , a'^ a* . En conséquence, on se trouve dans le cas particulier (6, III) de l'indéterminntion mentionnée au n^ 5, III.

Nommons e, / et gf h les points doubles, tracés, sur laconique ©, par les droites a', a' eia'^a\. Le point o>" qui, sur a\ a\y s'associe à o) rattaché à la première iigure, dans tous les systèmes constructibles .sur les données (a', ,0',), (^, «)?(/,/) (1)? I"i est associé en particulier dans tous ceux que nous considérons, lit de même, pourio^, associé à co sur la droite a^a^, dans tous les systèmes dérivant de (a\^^a!^)j {gy g)-, (.ftf) prises maintenant pour données. La droite ti' qui joint ces deux points est donc homologue à co dans lous les systèmes considérés, puisqu'elle contient deux de ses associés communs dans lous ces systèmes (4, I).

Si maintenant, sur la droite co/n', on prend les traces (i)"et/,y de cette homologue li" et de laconique 0, puis les divisions homographiques où (o, i,j correspondent à <o', /, y, le point cherché m" sera visiblement l'homologue, dans la seconde division, de m' rattaché à la première ; car co, i, j sont respectivement associés à (»", /, /, sur une même droite corn' (5^ I).

( 3oo )

1I[. Construire le système des figures ^', i'^ connaissant la conique © lieu de ses points doubles, et trois paires de points associés, pi, pa, ps, dont les droites ne passent pas par un même point. Ceci é(|iiivaut à la connaissance de huit paires de poinU associés {Cf, II), détermine le système, en conséquence (5, II).

Soient m! un point quelconque du plan ^, que nous rattacherons ù la première figure pour fixer les idées, puis m\y m,, m\ ses associés communs dans les trois familles de systèmes, dérivant de la conique G combinée successivement avec les trois couples de paires ps ^^ pi9 ps et pi, pi et p2 (II). Chacun de ces trois points étant évidemment associé à m' dans le système déterminé par la totalité des données, tous se trouvent sur la droite homologue M'' de ml dans ce système, et la déterminent (même surabondamment); puis, de même, pour les autres points n', • . . de .?'. Or ce système est précisément celui qui était à construire.

IV. On donne quatre points doubles, trois paires de points associés, soit sept semblables paires au total {Cf. II, III j, et, dans toutes les figures J", on demande Vassocié commun m", dlun point quelconque /w'rf«îJ'(o, III).

Parmi les coniques qui passent par les quatre points doubles donnés, nommons f*^e, ^=^^0, ^'^G les trois consistant en paires de droites, puis ^*^M', <*'M% {^)W les droites homologues à m' dans les systèmes déterminés par les paires de points associés données, combinées successivement avec les trois coniques (III)- Comme le point cherché m^ se trouve visiblement sur chacune de ces trois homologues, celles-ci passent

( 3oi ) toutes par lui, le déterminent en conséquence, même surabondamment.

On remarquera que cette solution comporte exclu^ sivement des tracés de droites.

8. La résolution du problème précédent (7, IV) nous permet de passer au cas où sont distincts les plans 9\ 9'^ des figures corrélatives à construire, ce, à Taide du lemme suivant dont la démonstration est assez visible pour être omise :

Deu^ figures respectivement homographiques à deux autres, qui sont mutuellement corrélatives, le sont aussi entre elles,

I. Dans tous les systèmes où sont données sept mêmes paires de points associés {à^ , a",), . . . , (a, , a\)^ on demande l'associé commun, m" d'un point quelconque /II' de la première figure (S, III).

Ayant marqué arbitrairement sur un plan auxiliaire n, quatre points at, a2, as, cl^ (sous la condition toutefois que trois quelconques d'entre eux ne soient pas en ligne droite), nous y construirons les homologues ttj, a'j, a,, (jl', des points a'j, a'^, a^, m', dans la seconde des deux figures homographiques (planes) déterminées par la correspondance de a\j a'^, a',, a\ à ai, a2, as, a^ respectivement, puis les homologues a^, a*, a^, de a^ja'^^a"^, dans la seconde des figures homographiques déterminées par la correspondance de a\ , a''^^a\^a\ maintenant à ai, a^, a^, ol^ encore, puis Tassocié commun ^^ de ^if dans tous les systèmes de figures corrélatives, sur le même plan II, qui ont ai, as, ag, a4 pour points doubles avec (a^, a.), (a^, a^), (a',, a'^) pour autres paires données de points associés (7, IV),

( 302 ) fiDalemenl, l'homologue rrH de ^ y dans la première figure du dernier des systèmes homographiques qui viennent d'être définis. Ce point w" sera visiblement celui qui était demandé.

IL Construire les figures 3\ J", connaissant huit paires de points associés (5, II).

Si ^*^m', puis ^^^m" sont les associés communs d'un point quelconque m' de la première, dans tous les sjrstèmes constructibles sur sept seulement da$ paires données, puis sur quelque autre combinaison des mêmes paires prises en nombre égal (I), la droite U)m" f^^m" est visiblement l'homologue M' de m'.

111. Avec un peu d'attention^ on apercevra que l'intervention du plan auxiliaire H peut être évitée par des tracés exécutés sur les plans ^Jf ,^ seulement. El, comme celle du n" 7, IV, qui en a fourni la base, ces constructions ne comportent que (emploi de la règle,

9. Le problème I ci-dessus (8) est précisément celui qui a été posé au n*' 3, II, et qui se trouve maintenant résolu, lui-même et le précédent (/6., I).

D'après une constatation générale faite antérieurement (5, III), le système des faisceaux corrélatifs de centres o\ o", dont les éléments homologues donnent, par leurs intersections, les divers points m^ . • • d'une surface du second ordre passant par ces centres, n 'est pas entièrement déterminé ; mais, dans toutes ses réalisations possibles, deux mêmes rayons o'm et o'n pris arbitrairement dans le premier faisceau, par exemple, ont pour homologues des plans

( 3o3 ) rayonnant des droites d'm et o^ n en deux faisceaux mutuellement homo graphiques.

Sur un même plan sécant $, ces systèmes auraient pour traces des systèmes de figures corrélatives, indéterminées aussi, mais où tout point m' d* une figure aurait dans Vautre un associé commun m" relativement à la trace w de la droite des centres o'^o", dont une même conique serait le lieu commun des points doubles. Celte conique est précisément la trace de la surface sur le plan sécant.

10. Pour une surface du second oidre, considérée comme enveloppe de ses plans tangents (2, II), on construira le pendant exact de tout ce qui précède, en en retournant les détails dans le sens indiqué par le Principe de dualité, après adoption, pour deux figures corrélatives planes, de la définition II du n" 4.

Quand il s'agit de figures corrélatives sur un même plan, la relativité à un point neutre o), de Tassociation de deux points m', m" appartenant à Tune et à Tautre (6, III), sera remplacée par celle à une droite neutre û, de l'association de deux droites M', M'', ces mots exprimant ici que le point de concours de M',M'' se trouve sur û.

[R8aa]

SUR LA PROPRrÊTE DE CONCAVITÉ DE LHERPOLHODIE DE POINSOT;

Par m. h. PADÉ.

\, « La propriété de l'herpolhodie de Poinsot, de n'avoir pas de rebroussenients et d^étre toujours con-

( 3o4 ) cave vers le pôle des coordonnées, peut être établie sans faire aucun emprunt à la théorie de la courbure et par les seuls moyens élémentaires de la mécanique classique.

» Il suffit de démontrer que la vitesse du point qui décrit i'hodographe correspondant au mouvement du pôle instantané sur l'herpolodie, vitesse qui est équipollente à Paccélération de ce pôle, a un moment de signe invariable autour du pôle des coordonnées, pris pour centre de cette hodographe. » (Soc, des se, phys. et nat. de Bordeaux, séance du 5 avril 1906.)

m la position, à Tinstant t, sur Therpolbodie quMl décrit, du pôle instantané ;

P le pied de la pirrpendiculaire abaissée du point fixe sur le plan fixe langent en m à l'ellipsoïde d'inertie;

p, '^ les coordonnées polaires du point m, le point P étant le pôle de ces coordonnées ;

Px', ^y deux axes rectangulaires dont le premier

coïncide avec Pm, et tels que od Pjr = -| — ; mV la vitesse de m ; PV le vecteur équipollent à celle vitesse; V décrit

l'hodographe du mouvement de m; J la \ïie&Ae de V, accélération de m.

3. L'herpolhodie n^aura pas d^inflexions [Gilbert, Sur quelques formules d^un usage général dans la physique mathématique {Ann. de la Soc, se. de Bruxelles j 14* année, 1890)], si Tangle que fait le vecieur m\ avec une direction fixe quelconque du plan de la figure varie toujours dans le môme sens ; elle n^aura pas de rebroussements, si le vecteur mV n'est jamais nul.

Ces deux conditions seront simultanément réalisées, si le moment de J autour de P conseri^e un signe in- {variable pendant toute la durée du mouvement : nous allons constater qu'il en est effectivement ainsi.

4. Dans le sjrsième d'axes Par', Py', les coordonnées de V sont :

les projections de J, vilesse de V, sont :

dt^ ^\dt) p dty dt)

Nous devons faire voir que le moment M de J autour de P, savoir :

^^^ ^^ dt ç dty dt) P dt Ydt^ ^\dt) J

a un signe invariable.

Au moyen des équations du mouvement du point M, cette quantité s'exprime aisément en fonction de p seulement.