Posons
<?(p«)=~D(p«-ap*-hppî-Y),
en sorte que
< ^= bc-\~ ca -^ ab, ( ^ = abc]
après des réductions immédiates^ et en tenant compte
de ce que
E«-f-a6cD = E«-f-YD = o,
on trouve :
(C) M = n* [(îDE -h aD -M) p«- (aDp -f- «DE — 3E)] ;
ou, en remplaçant a et ^ par leurs valeurs en A, B, C, D:
i ^"^ A^ [(A-+.B-+-C — aD)p«-i-(A-4-B-4-G)E]
7. La quantité M se trouve ainsi mise sous la forme d'un produit de deux facteurs.
Le premier de ces facteurs, qui n'est nul que quand rherpolhodie est réduite à un seul point, casque nous laissons naturellement de côté, est essentiellement positif.
Pendant le mouvement, p* demeure une moyenne
entre a^ b, c; la quantité ^ ^ ^ est une moyenne
entre
g-f-E b-^- E c-i-E "ÏÏÏ"' "W"' De '
ouy simplement,
le second facteur est donc une moyenne entre
B-hC — A C-f- A-~B A-hB — C A ' B ' C '
quantités essenliellement positives.
Donc M garde un signe invariable.
SUR LBS COURBBS rNVARIANTBS PAR POLAIRES RBCrPROQIIBS;
Pab m. s. lattes.
La détermination de toutes les courbes planes invariantes dans une transformation par polaires réciproques a élë effectuée depuis longtemps par M. Darboux qui a traité aussi le problème dans Tespace : M. Darboux détermine la surface invariante la plus générale comme enveloppe d'une famille de quadriques invariantes (*).
J'ai étudié, d'une façon générale, dans ma thèse ('), les courbes invariantes par une transformation de contact en ramenant leur recherche à la résolution d'équations fonctionnelles. Je me propose de montrer dans cette Note commeùt le problème résolu par M. Darboux peut être traité, à ce dernier point de vue, du moins dans le cas du plan.
On peut, sans diminuer la généralité, supposer que la conique directrice a pour équation
La transformation par polaires réciproques est alors définie par les équations suivantes :
(T) x=y, y = xy-jr, r=x.
(*) Darboux, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques (Noie IX).
( ' ) Sur les équations fonctionnelles qui définissent une courbe ou une surface invariante par une transformation ( Paris, i^) ; cl Annali di MatematicQf 3* bérie, t. XIII.
( 3o9 ) Soit y = W(x) l'équation d'une courbe invariante par (T). Si {x^y^y) est un élément de cette courbe, l'élément (X, Y, Y') doit appartenir à la même courbe. On doit donc avoir
X = V'(a?), V(X) = arV(a:) — V(ar), V(X) = x\
d'où l'on déduit que la fonction V(a:) doit vérifier les deux équations fonctionnelles suivantes :
(E) V[ V(ar)] = a; V'(a?) — iir(a?),
(E') V'[r(a?)]=ar.
Nous déterminerons d'abord toutes les solutions de l'équation (F/), puis nous chercherons quelles sont, parmi ces solutions, celles qui vérifient aussi l'équation (E). Si l'on pose
l'équation (E') devient
Cette nouvelle équation définit une courbe j^ = 0(x) invariante par la transformation
(I) X=j., Y = ar,
qui est une transformation par symétrie par rapport à la droite y:=x. Amenons l'axe de symétrie à être l'axe Ox. Il suffit de poser
La transformation (i) devient alors
U = tt, V = ~ p.
Toute courbe invariante par cette transformation
( 3.0 ) peul être définie par les équations
F(^) étant une fonction paire arbitraire et ^(t) une /onction impaire arbitraire du paramètre t. Pour ^ = o, on a un point où celte courbe coupe I^axe de symétrie : nous supposerons que les fonctions F et * sont définies dans le domaine de < = o, le point ^ = o pouvant d'ailleurs être réel ou imaginaire.
En remontant à la transformation (i), on voit que toute courbe invariante par cette transformation peut être définie par les équations
On a ainsi la solution générale O(^) de l'équation (E|). La solution générale W(a:) de Péquation (£') est donc définie par les équations
W{x) désignant la dérivée de ^{x) par rapport à x. On a donc
a:=F(0-+-*(Oi ^^U[F(0-<ï>(O][F'(O-^-*'(0]
et, en intégrant de o à t^ on voit que la courbe invariante cherchée est définie par les deux équations
a: = F(^)-h*(Oi
7 = Ch-/' [F(O-*(0][F'(0-+-*'(0]^^
( 3.. ) OU bien
Ia? = F(OH-*(0»
el Ton a
11 faut • chercher, parmi ces courbes, quelles sont celles qui vérifient l'équation (Ë). Cette équation exprime que, si (a?, y, y) est un élément de la courbe, le point
appartient aussi à la courbe. Or, on a
Changeons ^ en — t dans ces équations. Elles deviennent
Il faut que la courbe définie par ces équations coïncide avec la courbe définie par les équations (2). Comme X et ^ sont égaux, il faut que Yel^le soient aussi, ce qui donne
— r (F*'— *F')rf^3 0.
Or F*' — *F' est une fonction paire de t el par
( 3i2 ) suite rinlégrale / (F*'— *F')rf^ est une fonction impaire de t. L'égalité précédente devient donc
Les équations générales d^une courbe invariante par la transformation (ï) sont donc
F(^) étant une fonction paire arbitraire de ^et ^(/) une fonction impaire arbitraire de t.
Remarquons que cette courbe contient au moins un élément double de la transformation (T) : c'est l'élément
ar=F(o), J. = i^ ^ = F(o).
En ce point la courbe est tangente à la conique directrice.
Parmi Jes courbes (3) il y a une infinité de courbes algébriques : on en obtient, par exemple, en prenant pour F(^) un polynôme en £* et pour ^{t) le produit de t par un polynôme en t^. La conique directrice ^y — :c2= os'obtienlen prenantF(^)= /^, *(£) = o.
On voit que la méthode précédente permet de déduire de toute courbe qui admet un axe de symétrie une courbe qui est sa propre polaire réciproque par rapport à une conique donnée.
CONCOURS D ADMISSION A L ÉCOLE POLYTECHNIQUE EN 1906. COMPOSITION 0AL6ÈBRB ET TRIGONOMÉTRIE.
Solution par M. Jban SERVAIS.
l. Étudier la variation de la fonction y = L >
oà L désigne un logarithme népérien .
IL Évaluer V intégrale f — » et cal-
culer sa valeur à -^ près quand a = -p: •
III. Uéquation x^ — clx^ -\-^oc — y = o a pour racines les longueurs des côtés d'un triangle AB(^.
Former l'équation ayant pour racines cos A, cosB, cos G.
