CERTIFICATS DE GEOMETRIE SUPÉRIEURL
Paris.
Épreuve théorique. — Une surfeuse étant donnée par les équations
y=zux^ j = p-harcp(tt, p), iF(p^(i*, o)-4- i = o,
où, f est une fonction quelconque des paramètres u et p, définir géométriquement le réseau formé par les deux familles de courbes u = const, et ç = const. Prouver que ce réseau est conjugué.
Déterminer les lignes de courbure des surfaces (S) qu*on obtient en prenant
çp = /n- a*
eU+v^<5-u+v
U étant une fonction arbitraire de u, et V une fonction arbitraire de v, indiquer la nature de ces deux familles de courbes.
Former l'équation aux dériçées partielles à laquelle doit satisfaire la fonction cp pour que les plans oscula^ teurs des courbes v s const, menés aux divers points de chaque courbe u 3= const, soient parallèles à une droite dont les coefficients directeurs ne dépendent que de u. Montrer que la forme générale de «p est alors
(p = U(«)+U,(ei)Vt(p)^U,(a)V,(p),
les cinq fonctions mises en évidence étant arbitraires, et que les surfaces S précédemment considérées sont parmi les surfaces correspondantes.
Épreuve pratique. — Étant donnée la surface quiap&ur équation
^yi - 3 xyx -4- ^« = o
déterminer ses lignes asymptotiques et construire leurs projections sur le plan des xy^ en faisant prendre successivement diverses valeurs à la constante d'intégration.
(Octobre igoS.)
Épreuve théorique. — On considère les deux parabo^ lôïdes
x^-h-y^=^ 'àaz^
x^-^y^rrz — aa^,
et les droites qui sont tangentes communes à ces deux surfaces. Déterminer les arêtes de rebroussement des développables engendrées par ces droites.
Équations qui déterminent la surface minima ayant pour ligne géodésique la développée d'une parabole.
Épreuve pratique. — Étudier les sections par les plans de coordonnées et par des plans parallèles au plan des X, y de la surface lieu du point dont les coordonnées en a?, y^ z s* expriment d'une manière suivante :
(Mars 1905.)
Épreuve THEORIQUE. — Étant donnée l'équation aux dérivées partielles suivantes :
i" Intégrer les équations différentielles de ses cartzctéris tiques;
a" Montrer que ces caractéristiques sont les lignes géodésiques d'une certaine surface dont l'élément linéaire est
, ^ 4 « dv^ — ^v dudv ^ du^
Z** En substituant aux deux variables u et ç les suivantes :
V et /tt — p« = to,
prouver que la surface est applicable sur des surfaces de révolution. Déterminer les méridiens de ces surfaces de révolution.
Épreuve peatique. — Étant donné Vellipsoïde lieu du point dont les coordonnées rectangulaires s'expriment en fonction de deux paramètres u et v par les formules
'aia-
i" En déduire l'expression des deux formes quadratiques de différentielles
dx^ -h dy'^ -f- dz^, • d-^dx -Jf dy' dy -4- d'^ dz
(où Y, Y, y' '^'^^ '^* cosinus directeurs de la normale);
a* Former l'équation différentielle des lignes asymptotiques, des lignes de courbure, l'équation aux rayons de courbure principaux, (Mars igo6.)
SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES
(188«, p. 166; 18«9. p. gg.)
Soient Dq un cercle ^ Di une développante de Dq, D^ une développante ^ Di, . . ., D„ une développante de Dn^i. Ap^ pelons h n développante du cercle de l'ordre n. Cela posé, on propose de démontrer le théorème suivant :
Si une figure plane varie en restant semblable à elle-
même, et si trois droites de cette figure ont chacune pour enveloppe une développante de cercle de V ordre n, toute autre droite de la figure a pour enveloppe une développante de cercle du même ordre, (P. de Laffittb.)
SOLUTION
Par M. Thié.
Soit (F) ane figure plane qui varie dans son plan en restant semblable à elle-même. Toute droite D de cette figure enveloppe une certaine courbe. Pour une position donnée (F), on obtient le point $ où D touche cette enveloppe par la construction suivante, qui est bien connue :
Soit (D le centre instantané de rotation et de similitude qui corresponde la position considérée. Le point 8 est le point de rencontre de D et d'une droite issue du point a> faisant avec D un angle d qui ne dépend que des éléments qui caractérisent la variation infinitésimale de (F). Cet angle 0 est donc indépendant de la droite particulière considérée D.
Par 6 menons la perpendiculaire D' à D. Soient m et m' les projections du point a> sur D et sur D'; a>/n et um' sont rectangulaires et Ton a
= cot6.
Si donc nous considérons plusieurs droites D quelconques de la figure (F), la figure formée par les droites correspondantes D' dérive de la figure formée par les droites D, par une rotation d'un angle droit autour de o), suivie d'une homothétie caractérisée par le rapport cot6. Nous parvenons donc à ce résultat :
Soient D|, D^, ... diverses droites de la figure (F), DJ, D,, ... les normales aux courbes enveloppes de ces droites, aux points de contact de ces courbes et des droites Di, Dj, ... pour une même position de (F). La figure (D'i, Di, .,.) est semblable à la figure (Di, Dj. . . . ) : elle reste donc constamment semblable à elle-même.
Il est maintenant facile d'établir le théorème énoncé par voie de récurrence.
Supposons, en effet, qu'il soit vérifié, quand les dévelop-
( 334 ) pantes de cercle considérées sont de rang n--~i. Soient Di, Ds, D|, D» quatre droites de la figure (F), l«s trois premières enveloppant des développantes de cercle de rang n. Soii*nt D], D^, D^, D^ les normales aux enveloppes des quatre droites considérées. D|, Dj^, D^ enveloppent les développées des courbes enveloppes de Dj, Dj, Dj, c'est-à-dire des développantes de cercle de rang n — i. Donc, en vertu de rhypothèse, D4 enveloppe aussi une développante de cercle de rang n — i. Donc, D^, etc.
Or, le théorème est vrai si Ton suppose ii=s — i, autrement dit si les droites Di, Ds, D3 enveloppent des développées de cercle, c'est-à-dire passent par des points fi\es. Il est, en effet, bien connu que, si trois droites d'une figure déforme semblable à elle-même passent par trois points fixes, il en est de même de toute autre droite de la figure.
Le théorème correspondant au cas où a= oest encore bien connu (théorème de BobiHîer).
MW», p. 479.)
Par l'un des axes d'une conique W on mène un plan p perpendiculaire au plan de cette conique; un segment de longueur constante l se déplace sous les conditions suirvantes : l'une de ses extrémités décrit la conique W, il reste constamment normal à cette conique, et son autre extrémité est dans le plan p; démontrer que cette seconde extrémité décrit une conique \ (à laquelle le segment est d'ailleurs constamment normal).
Avec l'autre axe de la conique W, et une autre longueur constante m, on aura une nouvelle conique U. Démontrer qu^un certain segment de longueur constante p peut se déplacer en ayant ses extrémités sur les coniques U et V, et en restant normal à ces deux coniques.
(G. FONTENÊ.)
SOLUTION Par M. Parrod.
La conique W étant une ellipse dont les demi-axes sont OA = a, 0B = 6 (6<a);
considérons dans le plan ç la droite OC faisant avec OA un
angle dont le sinus est —y l'ellipse est située sur le cylindre
d*a\e OG et de rayon b. Soit HM un rayon du cylindre dont Textrémité M est située sur W. Il est normal à OG et à W. Un segment MP de longueur / a son extrémité P sur la perpendiculaire HH' abaissée de H sur OA.
Soient OH' = a?, et H' P = z, on a
V est une hyperbole d'axes OA et 0« et dont une asymptote est OG.
On a de même, pour l'équation de la conique U dans le planyOz,
(5t— a«)^« — a«jri=(6« — a»)(m«— a») ou
U est une ellipse dont les axes sont Oy et Oz.
Gonsidérons la conique V comme la conique W et formons dans le plan yOz l'équation du lieu correspondant à une longueur/?; en posant
on a
(A-.B)j^«— B^«=:(A^B)(/t>«-B) uu
Déterminons />< de façon que cette équation soit identique à celle de U, il suffit que
On a ainsi la relation
Il reste à montrer que le segment MP est normal à la conique V : considérons le segment Mi Pt voisin de MP; le cylindre de révolution d'axe MM| et de rayon / coupe le plan V suivant une conique passant par PPi; à la limite PPi est tangente au cylindre et à la conique V, donc cette tangente est perpendiculaire au rayon MP du cylindre.
Autres solutions de MM. Abrahbsgu» J. Rose et Valbrb Mabs.
{1»0B, p. uo.)
Soit un triangle ABC, et soient M, N, P les milieux des côtés. Considérons les projections D, E, F d'un même point sur ces côtés. Si a^ by c sont respectivement les intersections des droites NP et EF, PM et FD, MN et DE, le triangle abc est conjugué par rapport au cercle DEF.
(G. FONTENÉ.) NOTB.
Cette question se trouve résolue par l'article de M. Fontené : Sur le cercle pédal, du numéro de février.
QUESTIONS
2042. Soient, dans un plan vertical, Ox une droite horizontale, Oy une droite verticale dirigée de haut en bas. Construisons : i" une cardioïde ayant son point de rebroussement en 0 et son axe dirigé suivant 0 or; soit A son second point de rencontre avec Ox\ 2" une lemniscate ayant son point double en 0, tangente à Oa? et Oy et située dans Tangle xOy et dans l'angle opposé par le sommet.
Un point matériel pesant M est abandonné sans vitesse initiale en A et assujetti à décrire la cardioïde (on fait abstraction des résistances passives de toute nature). Pour chaque position du point M on construit la bissectrice de l'angle :rO M, qui rencontre la lemniscate en deux points. Démontrer que chacun de ces points décrit la lemniscate d'un mouvement uniforme. (R. B.)
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TABLE DES MATIÈBES
JuiUet 19C6.
Pages.
['Mib] Construction de la snrface du iiecond onfre déterminée
par neuf iMiînts ou neuf plans tangents ( Ch. Méray) 1B9
( R 8 aa] Sur la propriété de concavité de Therpothodie de Ponsot
(H.Padé) 3o3
|P2a] Sur les courbes invariantes par polaires réciproques
{S. Laites) 3o8
Concours d'admission à FÉcole Polytechnique en 1906. Composition d*Algébre et Trigonométrie (Jean Servais) 3i3
Certificats de calcul différentiel et intégral 3i7
Certificats de Mécanique rationnelle 3^^
Certificats de Géométrie supérieure 33o
Solutions de questions proposées 33'1
Questions •• 33<
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l** Pabtik : Lignes et surfaces du premier et (iu second ordre, %*éAil, lu-8. avec Ggures; 1899 ,, - fr.
Il* Partie : Théorie des surfaces. Courbes gtiucht^s et surfaces dêbeloppahtcs, Fahùlle de surfaces. ïa-8, avec figures: 1891 ^w.
III' Partis : Surfaces dérivées des fguadrûfues. Surfaces du troisième et du quairiètne degré. Théorie générale des surfaces. In-8, avec fi g u rcs : 1 892 4 f r . 5o c .
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