IV. Déterminer ces solutions communes en prenant

/ dz dz\

Éprkuvu pratique. — Une lemniscate est donnée dans un plan horizontal : un cercle variable dont le plan est vertical a pour diamètre un rayon vecteur de la lemniscate ; trouver l'aire de la sur/ace ainsi engendrée.

Prendre des coordonnées polaires : rayon vecteur, lon^ gitude ^, latitude <), et, si le temps le permet, démontrer la formule qui donne l* expression de l'aire au moyen d'une intégrale double. (Juin 1906.)

GKRTIPIGATS M ttBGANIQUE RATIONNELLE.

Bordeaux.

Épreuve théorique. — I. Théorie des petits mouvements autour d'une position d'équilibre stable, dans le cas d'un système holonome à deux degrés de liberté,

II. Une plaque matérielle infiniment mince a, à l'instant ^ = o, une certaine rotation instantanée donnée a>o autour d'un point de son plan. A partir de cet instant,

elle est soumise à l'action d* une force unique inconnue F agissant, dans son plan, sur un de ses points A. On observe la loi du mouvement que prend le point A, et l'on demande de déterminer la loi de la force ¥ et le mouvement de la plaque.

Cas particulier où la plaque part du repos et où le mouvement de A est rectiligne et uniformément accéléré.

Éprbuvb pratique. — Un cercle plonge verticalement dans un liquide homogène pesant, sur la surface duquel ne s'exerce aucune pression; les deux tiers de la surface du cercle sont immergés; déterminer la distance du centre de pression à la surface du liquide.

Rayon du cercle = o'";i2.

LUle.

Épreuve théorique. — Théorie élémentaire de l'effet gyroscopique.

Après avoir démontré la coïncidence approchée de raxe de révolution du gyroscope et du moment cinétique résultant du système par rapport au point de suspension^ on étudiera les apparences du mouvement et l'on établira là form,ule classique, en supposant qu'il n'existe qu'une force appliquée, constante en grandeur, direction et sens, sollicitant un point de l'axe de révolution.

PROBLÈiifla : I. Cinématique. — Une figure plane se mouvant dam un plan P, on demande le lieu des points du plan P pour lesquels la vitesse, à un instant donné, du point superposé de la figure mobile : i " est dans un rapport constant soit avec l'accélération totale, soit avec l'accélération tangentielle, soit avec l'accélération nor~ maie; 2* fait un angle constant ai^c l'accélération.

II. Dynamique. — Une barre homogène et pesante AB, de poids p et de longueur l, est astreinte à se déplacer dans un plan vertical II; l'extrémité Xy glisse sans frottement sur une droite verticale A; à l 'extrémité B est

(zccroché un poids ^ ; cette barre s'appuie, aussi sans f rot"

tentent, sur une cheville û, de rayon négligeable, normale

/ 1/^ au plan U et distante de A de — ^ •

1° Etudier le mouvement de cette barre abandonnée dans une position horizontale AqBo sans vitesse initiale;

2" Rechercher la position d'équilibre stable de cette barre et étudier les petites oscillations près de cette position d'équilibre. (Juillet 1906.)

Marseille.

Épreuve théorique. — Une droite AB pesante et homo-

gène repose par deux pointes émoussées K et B sur une droite horizontale. La pointe A glisse sans frottement, mais la pointe B glisse avec frottement. Au point A est attaché un fil horizontal , dont on néglige la masse, qui passe sur une très petite poulie 0 et qui porte à son extrémité un poids P. Sur AB glisse avec frottement un point pesant C. Le système est primitivement en repos et le point C est en A. On abandonne le système à lui-même, trouver son mouvement.

Les trois corps ont la même masse et le coefficient de frottement est égal à un quart.

On remarquera que la pression en B varie.

Épreuve pratique. — LUntrados d'une voûte en plein cintre, d'épaisseur constante, a la" de rayon; l'extrados a 16"" de rayon. Vérifier la stabilité de la voûte en ira-

çant la courbe des pressions. Le coefficient de frottement est 0,75.

Donner en fonction du poids iP de la voûte la poussée horizontale à la culée en supposant que la courbe des pressions passe au tiers extérieur du Joint à la naissance et au tiers extérieur de la clef.

On fera l'épure en prenant a«"" par mètre.

(Juillet 1906.)

Nancy.

Épreuve écrite. — Envisageons un fil homogène pesant ayant la forme d'un arc de cercle AB, de rayon R, de longueur a/, de densité e. Supposons que ce fil rigide soit assujetti à glisser sur un plan horizontal ir.

Chaque élément dm du fil est attiré par un axe fixe OX, situé dans le plan tu, proportionnellement à sa distance à cet aa:e et à sa masse dm\ soit f l'intensité de V attraction exercée sur V unité de masse à r unité de distance.

A l'instant initial on imprime au fil rigide une rota-tien de n tours à la seconde, dans le sens direct, autour de la perpendiculaire menée au plan it par l'extrémité A du fil; puis on abandonne le fil à son mouvement de glissement sur le plan tc avec cet état initial des vitesses, la corde AB étant supposée à l'instant t = o parallèle à Vaxe fixe 0\ à une distance A de cet axe.

On demande: i" d'étudier le mouvement du fil rigide dans le plan fixe ic; a° la pression que le fil exerce sur le plan fixe it. On s^ attachera particulièrement au cas oà

/= 3 dynes, n = 8, A — loo'^'".

(Juillet 1905.)

Paris.

Épreuve théorique. — Un cadre rigide gauche ABDGA est mobile autour d'un axe vertical Oz qui renferme le côté AB du cadre. Le côté CD est un tube creux, de très

faible section, dans lequel glisse sans frottement un point pesant P de masse m. Étudier le mouvement du système d'après les données suivantes : les trois côtés AB, AC, BD du cadre ont même longueur /, les côtés AG, BD sont per-

pendiculaires à AB, et (AD' désignant une demi-droite parallèle à BD et de même sens) l'angle D'AG compté positivement autour de la demi-verticale ascendante Oz est égal à 60". Enfin, le moment d'inertie du cadre seul autour de 0% est égal à /iml^.

Étudier, en particulier, le mouvement gui a lieu quand on abandonne le système sans vitesse, le point P occupant le milieu M du côté CD.

On pourra définir la position du système par l'angle 0 que fait avec un plan vertical fixe xOz, le plan MOx et par la distance MP = X comptée positivement dans le sens CD.

Épreuve pratique. — Un cercle solide, plein, homogène et pesant, dont le rayon est égal à un mètre et la masse à 5oo«, est lancé dans le plan vertical xOy sur une droite horizontale ^fixe, dépolie, Ox. A l'instant initial t = o, le centre G du cercle est animé d'une vitesse horizontale de 10" par seconde, dans le sens Ox, et le disque tourne autour de G avec une vitesse de 5 tours à la seconde, dans le sens xOy (Oy demi-verticale ascendante). Le coefficient de frottement entre le cercle et la droite Ox étant o,ao, on demande de calculer : i*" l'instant t^ où la vitesse du centre G du cercle changera de sens ; 2" l'instant it oà G reprendra sa position initiale; 3" l'instant /j oà le glisse^

(3a7 ) ment sera détruit par le frottement ; 4** la valeur (en unités C. G. S.) de la force vice perdue par le cercle entre les instants t = o et t=z ti.

NoTB. — On adoptera comme valeur de g {accélération de la pesanteur): ^ = 981 (G. G. S.). On négligera le frottement de roulement,

(Octobre igoS.)

Épreuve théorique. — Un fil parfaitement flexible, inextensible, et sans mcuse, de longueur 4 /, ^st attaché par une de ses extrémités à un point matériel pesant P, et par

Njc

l'autre extrémité au centre G d'un cercle solide homogène et pesant, de rayon l dont la masse m est égale à celle du point P. Le système étant abandonné sans vitesse, dans un plan vertical xOy^ on demanda d'étudier son mouvement, en supposant que le fil glisse sans frottement sur le point fixe O, et que le point P et le disque G glis^ sent sans frotteinent sur une droite AB inclinée à 45" sur la verticale, et située au^essous deO à une distance de O égale à il.

Calculer la tension du fil POG à l'instant initial, La disposition initiale du fil étant celle de la figure, et l'angle initial de OG cwec la direction AB étant de 45", décider si le fil reste tendu ou non au début du mouifement.

Épbbuvb pratique. — Une circonférence de cercle homogène et pesante {cerceau) de centre 0 et de diamètre égal à i" est fixée par un de ses points O. Le cerceau étant

abandonné sans vitesse initiale dans le plan vertical xOy^ calculer :

1° La durée des oscillations infiniment petites du pendule composé ainsi formé;

2" L'angle initial de OC avec la verticale descendante étant, non plus très petit, mais égal à 3o degrés, calculer la réaction qu*exeràe V appui O sur le cerceau à Vinstant où C traverse la verticale Oy, ainsi que la durée, à j^ de seconde près, d*une demi-oscillation du cerceau.

Poitiers.

Ëprevvb théorique : Cinématique. — Une figure invariable se meut dans son plan de manière que deux de ses droites demeurent tangentes à un même arc de cycloïde» Trouver dans ce mouvement les deux courbes qui roulent sans glisser l'une sur Vautre,

Dynamique. — Dans un plan vertical xOy {Oy vertical et dirigé vers le haut) une barre homogène pesante \^ de masse M et de longueur a / peut tourner sans frottement autour de son milieu 0 ; une sphère de rayon très petit et de masse m est fixée en X; en B est attaché un pendule simple constitué par un fil sans masse de longueur r et par une mcuse m fixée à son extrémité c.

Former les équations du mouvement du système, Y a-t-il des positions d'équilibre stable? Étudier les petits mouvements dans leur voisinage.

( 329) ( On suppose que le pendule peut osciller librement en dehors du plan vertical xOy.)

Épreuve pratique. — On considère l'arc de cycloïde défini par les formules

a? = R(e--sine), ^s: R(i — cos6),

oà 6 varie de o à une valeur et inférieure à ic :

I* Trouver les coordonnées Ç, i\ du centre de gravité de

l'aire comprise entre cet arc, l'axe des x et V ordonnée

correspondant à 0 = a ; a" Calculer, en supposant l'aire précédente homogène

et de densité 8, le moment d'inertie de l'aire par rapport

à l'axe des y. Application au cas particulier a = tc.

(Juillet i9o5.)

Épreuve théorique. — I. Le mouvement d'un trièdre trirectangle (T) ou (Oxyz), par rapport à un trièdre analogue (Ti ) ou (OiiTt^i^i), étant donné par les projections (, T), (,/7, 9, r de la translation et de la rotation instantanées sur les axes mobiles, on demande à un instant t :

I* Les coordonnées du centre de courbure de la trajectoire du point M {x,y,9)\

a* Les lieux géométriques des points (x^y^z) dont l'accelé ration normale (ou l'accélération tangentielle) est nulle,

II. Une parabole concave vers le haut peut tourner librement autour de son axe qui est vertical : les extrémités d'une barre homogène pesante AB de longueur il sont assujetties à glisser sans frottement sur la parabole, dont on regarde la masse commue nulle.

Équations du mouvement du système. Calcul des réac^ lions en A et B. Positions d'équilibre relatif. Étude des petits mouvements dans leur voisinage, (Juin 1906.)