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PARIS, r.AUTHlER-VILLAUS, IMFHIMEUR-LIBRAIKE
DU BUBKAO BES LONOITLDKS, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, Quai des Gr;i«(ls-.\.nf;uslins, 55,
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La Rédactiopç.
[M'Soa] SUR UNE PROPRIÉTÉ DE LA STROPHOÏDE ET SUR LES CUBIQUES QUI COÏNCIDENT AVEC LEURS CISSOÏ- DALES;
Par m. F. Gombs TEIXEIRA.
Nous allons donner, dans la première partie de ce travail, une propriété de la strophoïde qui nous paraît intéressante et qui n'a pas été encore remarquée, croyons -nous. Ensuite, en généralisant le résultat obtenu, nous chercherons les cubiques qui coïncident avec les cissoïdales d'elles-mêmes et d'une droite ou d'une circonférence.
Rappelons d'abord un théorème de M. de Longchamps dont nous ferons usage. Ce théorème a été obtenu par une voie purement géométrique par ce savant géomètre; mais on peut le démontrer aussi clairement par l'analyse, comme on va voir.
Considérons une coicf^be quelconque C, une droite D et un point O, non situé sur cette droite, et menons par O une autre droite arbitraire D| . Soient R et S les points où D| coupe la courbe et la droite D, respectivement; pt et o^ l^^ vecteurs de ces points, rapportés à P origine O, et M un point de D, dont le vecteur p soit égal à la différence ^^ — pi- Le lieu des positions que M prend quand D, varie, en passant toujours par O, est une courbe nommée, comme on sait, cissoïdale (Pe la courbe (] et de la droite D
Ann. de Mathémat», 4* série, t. VI. (Août 1906.) 22
( 338 ) par rapport au point O, que nous nommerons pôle.
Cela posé, prenons pour origine des coordonnées le point O, et pour axe des abscisses la perpendiculaire à D qui passe par ce point, et représentons par 6 l'angle formé par D| avec cet axe, par {x^y) les coordonnées de M, par (j7,,^, ) les coordonnées de R et par a la distance de O à la droite D. On a alors
x = a — pi C08Ô, j^ = atang6 — pi sinO, j?, = p, cos6, j'| = pisinô;
et par conséquent les équations de la tangente à la cissoïdale au point M et de la tangente à la courbe C au point R sont les suivantes :
(pisinS — p'i cos6)^ -h f pj 5in6 ■+• picos 6 ^ \x
__ 2 a pi j a«
"■ cos e ~ ^* ""cos«e* (pi cos6 — pi %\rï^)y — (pi cosO H-pi sinO)r = — pj,
où p, représente la dérivée de 04 par rapport à 9.
On voit, au mojen de ces équations, que les coordonnées y^ et ^2 des points où ces tangentes coupent la droite D sont déterminées par les équations
__ a g Pi — o\ cosO — a cos>0 (p, sin6 -t- pi cos6) •^*~ (p, siiiO — p'i cosOjcosO
— p?— fl^ (pi gos9 ->- pi sin6) •^*~" pi sinO — pi cosO
On a aussi, eu représentant par yj l'ordonnée du point où la droite D« coupe D,
y% — atangG.
Il résulte de ces équations l'identité
yi—yt='>{yi—yt).
( 339) au moyen de laquelle on voit que la droite qui passe par O et par le point (ar, y) de la cissoïdale coupe la droite donnée D en un point équidistant de ceux où elle est coupée par la tangente à la cissoïdale au point (ar, y) et par la tangente à la courbe C au point{Xi,y^),
Ce ibéorème est celui que nous nous proposions de démontrer analytiquement. Il a été communiqué en i885 par M. de Longchamps à TÂssociation française pour l'avancement des sciences, au Congrès de Grenoble.
Appliquons maintenant ce théorème à la strophoïde.
Considérons une droite L, et deux points A et B, dont le premier soit situé sur cette droite. Si par le point B on mène des droites qui coupent L, et si l'on prend sur chacune, à partir du point K d^interseclion, deux segments KIVI et KM| tels qu'on ait
