KM = KM, = KA

le lieu des points M et M| qu'on obtient est, comme on sait bien, une strophoïde (*). On sait aussi que la dislance du point B à la droite L est égale à la distance de L à l'asymptote réelle, laquelle est parallèle à L. On a donc, en représentant par H le point d'intersection de la droite. MM< avec cette asymptote,

BM-hBM, = 2BK = BH.

On voit au moyen de cette relation qu'une partie de

(') On peut voir la théorie de celte cubique dans notre Tratados de las curvas espéciales notables, ouvrage couronné cl publié par l'Académie des Sciences de Madrid (Madrid, 1906, p. 16).

( 34o ) la cubique considérée est la cissoïdale de Tautre partie et de l'asymptote, et que, par conséquent, les tangentes à la strophoïde aux points M e^ M| coupent r asymptote en deux points équidistants de celui où elle est coupée par la droite BK.

Ce théorème est celui que nous nous proposions d'établir : il en résulte les corollaires suivants :

1® La tangente à la strophoïde au point B passe par le point où cette cubique coupe son asymptote réelle,

2'* Les deux points de la strophoïde oà la tangente est parallèle à P asymptote réelle sont situés sur une droite qui passe par B.

La strophoïde n'est pas la seule cubique qui jouisse de la propriété de coïncider avec une cissoïdale d'ellemême et d'une droite par rapport à un point de la cubique. Nous allons chercher les cubiques qui satisfont à cette condition.

Prenons pour origine des coordonnées le pôle de la cissoïdale et pour une des coordonnées une parallèle à la droite donnée, et considérons l'équation générale des cubiques:

Aj7» -h ^x^y -H Cxy* -H D^' -h Ea:« -\- ¥xy -a- Gy^ -h Har -h K^ = o

ou, en posant

ar=pcoî56, ^ = psin6,

pour la rapporter aux coordonnées polaires,

(A cos^Oh- Bcos«0sin6-h Ccos6sin*0 h- Dsin'e)p« '-+- ( licos'O -f- FcosÔ sin6 h- Gsin-6)p-+-Ucosô-hKsin6 = o.

(34. ) En représentant par p, et ps l^s racines de cette équation, on a

Ecos*ô-f-Fcos*Osme-i- Gsin«6

Pi H- pt — — Acos^e-hBcosîesine-HGcosesin^e-hDsinse *

Supposons maintenant que lY'quation de la droite donnée soit x =a, oa en coordonnées polaires

^ cos6'

La condition pour que la cubique coïncide avec la cissoïdale d'elle-même et de celte âroite, c'esl qu'on ait identiquement

pl-Hpî=p',

ou, par conséquent,

E-4-Ftange-hGtang«e = — a(A-HB tange -+- G tang'B -h D tang»6),

quelle que soit la valeur de 6. Celte condition est donc exprimée par les équations

E = — aA, F = — aB, G = — aC, D = o,

au moyen desquelles on voit que l'équation de la eubi<|ue doit avoir la forme

(AiT'-h Bxy -^ C}r*){x — a) -hUx -+- Ky = o.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

La condition pour qu'une cubique soit la cissoïdale d'elle-même et d'une droite est qu'une de ses asymptotes coïncide avec cette droite et que les deux autres se coupent en un point de la cubique. Ce point est alors le pôle de la cissoïdale.

Il résulte de ce qui précède cet autre théorème, qui

( 342 ) contieDt celui relatif a la strophoïde^ précède inmenl énoncé :

Si deux asymptotes d'une cubique se coupent en un point de cette courbe, et si par ce point on mène une droite quelconque D, les tangentes à la cubique aux points où elle est coupée par cette droite coupent la troisième asymptote en deux points équidistants du point d'intersection de D avec cette dernière asymptote.

Une classe très importante de cubiques auxquelles ces théorèmes sont applicables esl celle des cubiques circulaires qui passent par leur foyer singulier. Cetle classe de cubiques comprend, en effet, des cubiques considérées par VArr Reer et Ghajsles dans leurs études sur les focales du cône de base circulaire oblique {Correspondance mathématique de Quetelet, i. V et VI).

Voici encore une autre question analogue à la précédente :

Chercher les cubiques qui sont cissoïdales d'ellesmêmes et d'une circonférence par rapport à un point où la cubique et la circonférence se coupent.

En prenant ce point pour origine des coordonnées

et la droite qui passe par le centre de la circonférence

pour axe des abscisses, l'équation polaire de cette

courbe est

p' = 2acosO, et ridentité

donne^ au moyen d'une analyse semblable à celle qui

( 343 ) fut employée précédemmenl, les conditions

E= — 2aA, F = — aaB, E = 2 aC, F = — aaD, G = o.

L'équation de la cubique doit donc avoir la forme (x* H-^y* — jiax)(\x-h By) -hUx ■+- Ky = o.

Nous avons le théorème suivant :

Les conditions pour qu'une cubique soit cissoïdate d'elle-même et d'une circonférence par rapport au point où ces courbes se coupent sont les suivantes : I® que la cubique soit circulaire; 2® que le pôle coïncide avec le point où la cubique est coupée par son asymptote réelle; 3** que le centre de la circonférence coïncide avec le foyer singulier de la cubique,