IL

considérons ce dernier plan comme un plan vertical de projection qui serait rabattu (fig. 1 1 ) , la droite ET' sera la trace verticale du plan coupant P tandis que la droite K'F', parallèle à la génératrice O'X' delà surface hélicoïde, sera la trace du plan tangent en CJÜ', et le point F' suivant lequel ces deux traces se rencontrent, déterminera la tangente au point U' de la coupe de joint correspondante.

Cela étant admis, traçons la droite O'H' perpendiculaire sur F'K' et par conséquent sur O'U', nous aurons évidemment l’angle F'O'H' égal à U'O'D', puisque F'O' est perpendiculaire sur O'D' et que O'H' est perpendiculaire sur O'U'.

Exprimons {fig. 11):

L’angle ÜO'D' = F'O'H' par a.

Le rayon O'U' par R.

L’angle UOS {fig. 9) par u.

Le pas 10 d’une hélice par h.

Le triangle F'O'H' donnera (Trigonométrie)

0'F=^ d’où 0F' = ?—

On a (fig. 11) 0'H' = U'K'

On sait, n® 107, que

U'K' ^ US "" h

Le triangle UOS (fig. 9 ) donne

US = OStangUOS d’où US = OStangw On Si {fig. 9 et 11) OS = O'D'

Enfin, le triangle O'D'U' donne

O'D' ^ O'U' cos U'O'D' d’où O'D' = R cos a (6) Multipliant les six équations précédentes et supprimant les

facteurscommuns, on obtiendra O'F' = — t^ngw

Or, Tangle a ayant complètement disparu de la formule , il faut en conclure que la distance OT' est indépendante de cet angle et sera toujours la même quel que soit le point que l’on aura choisi sur la demi- circonférence m'cV ou sur l’arc d’ellipse mW' (fig. 7).

108. La position du point F' {fig. 11) étant indépendante de l’angle Ü'O'D', si au lieu du point U' on choisit le point de naissance m', la tangente sur le développement sera la droite parallèle à toutes les autres hélices, et la droite ah!" sera la projection de la tangente w!"h'’' sur le plan de section droite

Or, si le développement (fig. 8) était replacé sur le cylindre d’intrados , la tangente m’"h!" (fig. 8) deviendrait m'h' sur la fig. 11, et la droite h'F’, parallèle à m'O' , déterminerait le point F'. Il suffira donc , pour obtenir ce point, de faire les deux opérations suivantes :

1® wmam On tracera (fig. 8) la droite m"'h"' parallèle à la direction des hélices développées ;

2® ■■■ On portera ah'" de la fig. 8 sur la verticale OT' de la fig. 11 et le point F' sera déterminé (71).

109. En portant ah!" de la fig. 8 sur la verticale 0"F" de la fig. 7, on déterminera le point F ' vers lequel doivent concourir toutes les tangentes menées par les points suivant lesquels Tare de tête elliptique m"e"n" est rencontré par les coupes de joint.

110. Si par le point M de la fig. 8 on trace MT'" parallèle à l’une quelconque CE'" des droites suivant lesquelles se transforment les hélices de l’extrados , on déterminera un point T'" sur la trace du plan vertical et la distance aT'" étant portée de O' en T' sur la fig. 11, et de O" et T" sur la fig. 7, on obtiendra les deux points T'

et T". Le premier est le point de concours des tangentes aux points suivant lesquels la circonférence M'E'N' est rencontrée par les projections des coupes de joints sur le plan de la fig. 1 1 , et le point T" de la fig. 7 est le point de concours des tangentes menées par les points suivant lesquels ces memes courbes rencontrent l’ellipse

111. On peut obtenir les points T' de la fig. 1 1 et T" de la fig. 7, sans construire le développement du cylindre d’extrados (^fig. 8).

En effet, concevons (fig. 4) que la masse de la voûte soit coupée par un nombre quelconque de cylindres circulaires concentriques; exprimons les rayons OM, OM', OM'', OM'" de ces cylindres par R, R', R", R'", et remarquons que les quantités u et h des formules précédentes seront les memes pour tous ces cylindres. L’équation (7) du n° 107 donnera évidemment

OF 2utangM

OF' 27ctan£rw

d’où /

I OF" 2TîtangM

\ OF'" 2Tttangw

et par conséquent