OM

j On déterminera de la même manière les points F" et F'".

On obtiendra ainsi un foyer pour chacun des cylindres I concentriques projetés sur la fig. 4.

j 1 1 3 . Ce qui précède étant bien compris , on déterminera

d’abord {fig. 1 1 ) le point F' , en opérant comme nous l’avons dit au n® 108 , puis on tracera :

V La droite FW;

2® m'Z perpendiculaire sur FW;

3° Les deux droites ZM' et Zx';

4® M'T' perpendiculaire sur ZM' et perpendiculaire sur Zx'.

On obtiendra ainsi T' pour le point de concours des tangentes menées par les points suivant lesquels les projections des coupes de joints coupent la circonférence M'E'IN' , et le point V' vers lequel concourent les tangentes menées par les points analogues situés sur la circonférence x'o'u’.

Les distances O'T' et O'V' étant portées à partir du point O” (fig. 7) sur la verticale 0"F" détermineront les deux foyers T" et Y” , vers lesquels concourent les tangentes menées par les points suivant lesquels les coupes de joints (fig. 7) rencontrent les deux ellipses concen- ■triques et semblables M"E"N" et

114. Pour compléter autant que possible l’étude théorique des surfaces de joint, j’ai projeté sur la figure 7 les deux hélices IcecI, ICcCI de la fig. 9. Les projections de ces hélices sont faciles à obtenir en opérant comme nous l’avons dit au n® 67.

La teinte des hachures comprise entre ces deux hélices fera concevoir la forme affectée par la projection verticale de la surface du joint correspondant.

Les teintes de points indiquent les prolongements de cette surface en supposant que les deux cylindres de douelle et d’extrados sont continués au-dessous du plan horizontal qui contient les naissances de la voûte.

Toutes les surfaces hélicoïdes des joints étant identiques , la projection verticale d’une seule de ces surfaces

suffit pour taire comprendre quelles seraient les projections de toutes les autres.

115. On remarquera sans doute la différence de forme qui existe entre la projection ié'i de l’hélice d’intrados et celle de l’hélice d’extrados IE"I.

Cette dernière contient un anneau allongé qui n’existe pas dans la première. Cette différence provient de l’inclinaison de ces deux hélices par rapport au plan vertical de projection, et cette inclinaison pourrait être telle, dans certains cas , que la projection de l’hélice eut un point de rebroussement R ( /?g. 15 ).

Il est facile de savoir d’avance si la projection de l’hélice doit contenir ce point.

Ainsi , par exemple :

Concevons 12) les projections horizontales de

quatre hélices de meme pas , situées chacune sur la surface de l’un des quatre cylindres concentriques dont les sections droites sont rabattues {fig- 13 ).

Construisons, sur la fig. 12, la projection de chacune de ces quatre hélices.

La tangente passant par le point le plus élevé de chacune des courbes correspondantes sera toujours située dans un plan tangent horizontal.

Or, si l’une de ces tangentes ON {fig. 12) est perpendiculaire au plan vertical de projection ( fig. 10) , la projection de I hélice correspondante OX aura un point de rebroussement, tandis que les projections verticales des autres hélices auront un anneau {fig. 16) ou en seront privées, suivant la direction de leur tangente , par rapport au plan vertical projetant de ON.

On peut dire, en général, que si la tangente OU est comprise entre la courbe correspondante OS et le plan vertical ON (fig, 12), la projection de l’hélice {fig. 10)

aura la forme KIH, tandis que si la projection de la courbe OE (flg. 12) passe entre sa tangente OV et la trace horizontale du plan projetant ON, la projection verticale de l’hélice correspondante aura un anneau comme on peut le voir (fig. 10) pour les projections des hélices OE, OF de la fig. 12.

Les petites courbes us des fig. 10 et 7 sont formées par le croisement des génératrices 5, 6, 7, etc., dont les projections n’ont pas été conservées sur la fig. 7.

116. Taille des voussoirs. — Avant d’aborder cette partie si importante de la question qui nous occupe , je crois utile de rappeler au lecteur qu’il ne s’agit encore ici que d’une étude théorique, dans laquelle l’exagération de courbure et de biais ne permettrait pas d’adopter les méthodes approximatives employées par quelques ingénieurs dans la construction des grands ponts.

Il est d’ailleurs bien évident que l’on comprendra mieux les motifs qui ont fait imaginer ces méthodes, lorsque l’on aura étudié la question dans toute la rigueur géométrique.

Pour plus de simplicité, on n’a tracé sur l’épure (P/. 5) que les projections d’une seule pierre A, du pont qui est représenté en projection verticale par la fig. 17 ; et pour rendre plus sensible le contournement des surfaces de joint, on a supposé que l’assise ne contenait qu’un seul voussoir , depuis le coussinet G jusqu’au plan vertical qui forme la tête du pont.

Gela étant admis , et la section droite du berceau étant donnée fig. 16, on partagera l’un des deux arcs 0-6 en parties égales, et l’on projettera sur la fig. 10 les génératrices des deux cylindres qui forment l’intrados et l’extrados du berceau. .

On construira sur la fig. 9 les développements de ces deux cylindres; puis, en opérant comme nous l’avons dit

au n® 57, on déterminera la direction des hélices qui doivent former les arêtes d’intrados des joints longitudinaux. On sait que la direction de ces hélices doit être perpendiculaire ou à peu près à la corde 0-6 de la sinussoïde 0-4-6 (fig. 9). La droite BS déterminera la direction des hélices de l’extrados.

Les points suivant lesquels les quatre droites a”m” , o"n’\ a"v'' et o”u'' de la fig. 9 rencontrent les génératrices des deux cylindres, étant ramenés fig. 10 sur les projections horizontales des mêmes lignes, on obtiendra la projection horizontale de la pierre que l’on veut étudier.

117. La droite a' V', perpendiculaire sur l’hélice o"n” {fig. 9), sera l’intersection du cylindre d’intrados par la surface de joint qui sépare la pierre A du coussinet correspondant C {f,g. 9 et 10). Si le développement a"x"n''m!'' de la fig. 9 est replacé sur le cylindre d’intrados (fig. 10), la droite a"x" deviendra l’hélice ax^ qu’il ne faut pas considérer comme le prolongement de l’hélice am. Sur la fig. 9, ces deux lignes sont perpendiculaires l’une à l’autre, tandis que leurs projections horizontales {fig. 10) se raccordent au point a, ce qui provient de ce qu’en ce point elles ont pour tangente commune la droite ao, qui est la ligne de naissance du cylindre d’intrados.

L’hélice ax {fig. 10) est la directrice d’une surface normale, dont une partie axza!' forme le joint du coussinet G. Cette surface , réglée , gauche , et de même espèce que celles qui forment les joints continus de la voûte , rencontre le cylindre d’extrados suivant une seconde hélice a”z, de même pas que la première , et qui sur le développement {fig. 9) se transforme suivant la droite a”z''.

Cette dernière ligne n’est pas perpendiculaire à l’hélice o''u'' de l’extrados ; mais on obtiendra facilement sa direction en déterminant le point où elle rencontre la droite SH du développement ; ou , si l’on n’a pas assez de place, en

POJNTS BIAIS.

remarquant que les deux points xei z , et par conséquent x'^ et z”, sont situés sur une même génératrice zx commune aux deux surfaces réglées axza" et zxnu qui forment les surfaces de joint de la pierre que Ton veut tailler.

Les courbes v'm' etu'n' (fig. 16) se construiront, comme nous l’avons dit au n® 99, et le quadrilatère curviligne v'm'u'n' sera la projection de la face de tête sur le plan P de la section droite.

Comme exercices , et pour mieux apprécier le sens et l’intensité de courbure des côtés v'm! et u'n' du quadrilatère qui forme la face de tête de la pierre , on pourra prolonger ces courbes jusqu’au centre O’ (101) deda section droite, ou au moins jusqu’aux points t’ et y' que l’on déduira de leurs projections sur la fig. 10.

On peut aussi, pour chacune des courbes v'm! et w'n', obtenir un point intermédiaire g' et q' en construisant sur la fig. 10 les deux hélices qui ont pour projection commune l’arc de cercle q^g' {fig. 16).

Pour plus de clarté , j’ai tracé en lignes pleines les parties vues des génératrices qui appartiennent aux joints gauches et aux surfaces cylindriques de la pierre , et ces génératrices sont désignées par les mêmes chiffres sur toutes les projections.

Enfin , pour mieux faire comprendre l’épure , j’ai projeté quelques coussinets sur la fig. 10 , et j’ai indiqué par une teinte les faces de ces coussinets qui correspondent aux joints discontinus {pg. 9 et 10).

118. Lorsque les deux projections delà pierre seront complètes sur les fig. 10 et 16, on pourra procéder à la taille des voussoirs.

Je rappellerai d’abord qu’il existe deux méthodes générales pour la taille des pierres , savoir :

La taille par équarrissement ,

La taille par beuveau.

JNous verrons plus tard dans quel cas la taille par beuveau peut être employée sans inconvénient pour la construction d’un pont biais ; mais lorsque le voussoir est très-contourné, la taille par équarrissement est la seule qui donne une exactitude suffisante.

On sait que pour tailler une pierre il faut lui faire subir une suite de transformations , depuis le bloc informe et à peu près rectangulaire qui est amené de la carrière sur le chantier, jusqu’à la forme souvent très-contournée que doit prendre le voussoir pour satisfaire à toutes les conditions du problème.

Or, quoiqu’au premier coup d’œil ces formes paraissent susceptibles d’être variées d’une infinité de manières , il j sera facile de reconnaître que toutes les transformations se j réduisent à trois principales, savoir :

La pierre droite ,

La courbe plane,

La courbe à double courbure.

La pierre droite est le parallélipipède rectangle duquel on déduit par dérobement les voussoirs des portes et berceaux, les claveaux des plates-bandes, les pierres de voûtes cylindriques horizontales ou rampantes , etc.

La courbe plane , comprise entre deux plans parallèles et deux surfaces cylindriques, est l’enveloppe de toutes les pierres des voûtes qui ont pour parements de douelle ou d’extrados des surfaces de révolution.

Enfin la courbe à double courbure est surtout employée dans la construction des limons et voûtes d’escaliers.

119. C’est dans cette dernière classe qu’il faut ranger les voussoirs d’un pont biais (24); mais, nous l’avons vu dans plusieurs exemples du traité de la coupe des pierres , on ne parvient souvent à donner au voussoir la double courbure nécessaire, qu’en faisant successivement passer la

pierre par les deux transformations précédentes ; de sorte que tout peut se résumer en ces trois opérations principales :

1® L’équarrissement, ou taille du parallélipipède rectangle capable de contenir le voussoir ;

2® Le débillardement, qui consiste à tailler les surfaces cylindriques de la courbe plane dont la pierre doit être extraite;

3» mmaat La taille des surfaces régulées, développables

ou gpauches qui doivent former les joints.

Ainsi, les fig. 1 et 19 représentent le parallélipipède enveloppe >

Les fig. 2, 18 et 20 sont àes pierres débillardées ^ c’està-dire après la taille des cylindres, et les pierres 4, 5 et 7 sont complètement taillées.

120. Quoique nous ayons réduit à trois les transformations principales que l’on doit faire subir à la pierre, les moyens par lesquels on obtient ces formes successives peuvent différer suivant les circonstances.

Ainsi, la longueur de la pierre, sa courbure, l’inclinaison plus ou moins grande de ses dimensions principales , peuvent rendre plus simple ou plus économique telle méthode qui , pour un autre voussoir de la même voûte, serait au contraire plus dispendieuse ou plus compliquée. C’est donc par l’étude et par la comparaison de toutes les méthodes qui peuvent conduire au résultat que l’on pourra se rendre habile à décider dans chaque cas celles qui conviendront le mieux, et à reconnaître dans quel sens et dans quelles linlites elles peuvent être modifiées sans inconvénient.

121 . Taille. — Première méthode. — La plus simple de toutes les méthodes que l’on peut employer pour tailler les

voussoirs d’un pont biais, consiste à préparer le parallélipipède enveloppe d’après la projection de la pierre sur le plan delà section droite (fig. 16).

Ainsi, la droite d'/i' qui contient les points o' et n', la tangente b'l\ parallèle à o'n', et les deux côtés b'd', l'h! perpendiculaires sur oV, formeront le contour du plus petit rectangle circonscrit à la projection de la pierre sur le plan P de section droite (Jig. 16).

On équarrira un parallélipipède dont la base sera le quadrilatère b'd!h'l' , et qui aura pour longueur (/Igf. 10) là distance des deux plans verticaux de sections droites et Pj qui comprennent entre eux le voussoir que l’on veut tailler.

Ce parallélipipède est dessiné en perspective sur là

fig. 1.

Le quadrilatère bdhl étant la face située dans le plan de section droite P^(fig> 10), on y appliquera un panneau ou patron découpé suivant le contour de la projection A' (fig. 16) ; puis on appliquera le même patron sur la face opposée du parallélipipède (fig. 1).

Les arcs de cercles 0-4 sur lesquels on aura le soin de conserver les points de repère, seront les courbes directrices des deux surfaces cylindriques qui doivent former les faces d’intrados et d’extrados du berceau.

Lorsque ces deux surfaces seront taillées (fig. 2 et 3), on y appliquerais panneaux a'VW'n" et a”z"v''u" de la fig. 9. Les courbes m”n" et v"u'' reprendront alors la forme elliptique provenant delà section des deux cylindres concentriques par le plan Pg qui contient la tête du pont, et les droites a”m!' , icV, a”v” et z''u" de la fig. 9 deviendront des hélices, lorsque les deux panneaux a"x"m''n" et a”z''v"u” auront repris la courbure des cylindres correspondants.