On doit se rappeler que ces hélices peuvent être

tracées avec une régie flexible comme on le voit fig. 2. Deux points suffiraient alors, pour déterminer chaque courbe; mais on fera bien, pour plus d’exactitude, de déterminer quelques-uns des points intermédiaires 1,2,3, etc., qui d’ailleurs sont indispensables pour tailler les surfaces gauches des joints.

123. Les hélices déterminées sur les fig. 2 et 3 par l’application des panneaux correspondant de la fig. 9 seront les directrices des surfaces réglées hélicoïdes qui forment les joints continus du voussoir. Enfin les droites a''x'' et a^'z” détermineront les hélices directrices de la petite surface réglée qui forme le joint suivant lequel la pierre s’appuie sur le coussinet correspondant.

124. Les deux arcs d’ellipses mn et vu (fig. 2 et 3) seront plus que suffisants pour déterminer le plan de tête , qui est indiqué sur la fig. 3 par une teinte de points ; mais si l’on veut augmenter l’exactitude , on remarquera (fig. 10) que le plan qui contient la face de tête du berceau, coupe l’arête horizontale d!d du parallélipipède enveloppe, en un point dont la projection horizontale k (fig. 10) sera déduite de sa projection k' sur le plan de section droite {fig. 16).

La distance du point k au plan de la fig. 10 étant portée sur l’arête d'd (fig. 2 et 3), on obtiendra le point k.

Enfin , en faisant coïncider les points n" et m" de la courbe 0-6 (fig. 9), avec les points n et m de la fig. 2 , on pourra prolonger l’arc d’ellipse nm jusqu’à l’arc de cercle 0-4, et la coupe kuvwmn qui doit contenir le panneau de tête, sera déterminée avec une très-grande précision.

Lorsque cette face sera taillée , on y appliquera le panneau de tête m”'n'"v"'n"' (fig. 6).

On obtiendra facilement ce panneau en élevant, par

chaque point de la fig\ 10, une perpendiculaire à la droite P3P3 et portant sur cette perpendiculaire à partir de MN, des ordonnées égales aux distances des points correspondants à la droite PP de la fi g. 16.

125. La fi g. 5 fera comprendre comment les surfaces réglées qui forment les joints continus seront taillées en faisant passer le bord d'une règle génératrice parles points de repère que Ton aura eu le soin de conserver sur le contour des panneaux a'V'm'V' et a''z"v”u'' de la fîg. 10.

La pierre placée sur les coussinets est représentée en perspective par la fîg. 4, et la fîg. 7 indique comment il faut tailler la face qui forme le joint discontinu suivant lequel le" voussoir est posé sur les coussinets correspondants.

126. La méthode que nous venons d’exposer est surtout remarquable par la simplicité de l’épure, puisqu’elle n’exige pas d’autres projections que la section droite (fig. 16), les développements de la fig. 9, et le panneau de la face de tête (fig. 6); mais, par l’inspection des fig. 2 et 3, on reconnaîtra que le déchet serait considérable, puisqu’il faudrait abattre toutes les parties de pierres qui sont désignées par les lettres Q et T. Cependant un appareilleur habile pourrait facilement faire disparaître une partie de cette perte en disposant deux ou trois voussoirs dans un seul bloc, comme on le voit fig. 18, ou bien en taillant des pierres accouplées comme celle qui est représentée en perspective sur la fig. 8.

Ce mode d’appareil, que j’ai indiqué au n® 343 du Traité de la coupe des pierres, produit une grande stabilité lorsque la construction exige l’emploi d’assises dont les lits ont une inclinaison très-prononcée.

Au surplus , nous allons voir comment on peut déter-

miner les limites du plus petit parallélipipède capable de contenir un voussoir de pont biais.

127. Taille. — Deuxième méthode. — On remarquera d’abord qu’une assise de pont biais en pierre de taille n’est autre chose qu’une courbe rampante ou limon d'escalier dont l’axe serait placé horizontalement au lieu d’être vertical comme dans les exemples que nous avons étudiés aux n®® 467 et 468 du Traité de la coupe des pierres.

Il résulte de là que tout ce que nous avons dit alors pour la taille des courbes rampantes ou limons est applicable au cas actuel .

Ainsi, on construira la fîg. 13 , qui est une projection de la pierre sur le plan tangent ou sur tout autre plan qui lui serait parallèle.

Cette projection sera facilement obtenue en opérant de la manière suivante :

Par chaque point essentiel de la fig. 16, on tracera une perpendiculaire au plan P^ et l’on portera sur cette ligne, à partir de la droite P^ parallèle à P^ une quantité égale à la distance Au même point au plan vertical P^ de la fig. 10.

Ainsi , par exemple , en faisant la distance r"-2 de la fig. 13, égale à la distance r-2 de la fig. 10, le point 2 sera déterminé.

La distance de la fig. 13 doit être égale à la distance en de la fig. 10' et l’on obtiendra le point V de la fig. 13, en faisant égale à la distance st de la fig. 10.

128. La projection (pg. 13) étant parallèle au cylindre, on pourra construire les hélices en opérant comme nous l’avons dit au n® 19. On devra s’assurer que les hélices de la fig. 13 ont bien exactement le même pas que celles de la fig. 10, et que les projections de ces hélices se cou-

pent deux à deux sur la droite 00‘^ perpendiculaire à la trace du plan (fig. 16).

On aura le soin surtout de déterminer bien exactement les points suivant lesquels ces courbes sont coupées par les droites génératrices des deux cylindres et des surfaces réglées hélicoïdes qui forment les joints normaux de la voûte.

129. Quand la projection auxiliaire (fig. 13) sera complète et que tous les points auront été vérifiés , on procédera de la manière suivante aux opérations préliminaires de la taille :

1® aH» On tracera le rectangle EFGI circonscrit à la projection du voussoir; deux des côtés EF et GI de ce rectangle contiennent les points v‘^ et dont la distance peut être considérée comme la plus grande longueur du voussoir.

Les deux autres côtés EG, FI n’ont été un peu écartés que pour éviter la confusion sur l’épure; mais il est évident qu’à la rigueur, on pourrait rapprocher ces deux lignes jusqu’à ce qu’elles soient tangentes à la projection de la pierre, et l’on aurait alors une des faces du plus petit parallélipipède capable.

L’épaisseur de ce parallélipipède sera (/î^. 16) la distance qui sépare les deux plans parallèles b'I' et d'h! entre lesquels le voussoir doit être inscrit.

2® On rabattra (fig. 11, 12, 14 et 15) les faces

du parallélipipède qui sont perpendiculaires au plan de la projection (fig. 13), et l’on construira dans chacune de ces faces les ellipses suivant lesquelles les cylindres concentriques qui forment la douelle et l’extrados du berceau sont coupées par les plans EG, GI, IF et FE du parallélipipède enveloppe.

130. On obtiendra ces ellipses en remarquant que chaque point doit être déterminé sur le panneau correspondant par sa distance au plan tangent de la fig. 16.

Ainsi les distances V-1 des fig. 11 et 14 sont égales aux distances V-1 de la fig. 16.

Les distances U--6 des fig. 12 et 14 sont égales aux distances U-6 de la fig. 16.

Les distances D-o des fig. 11 et 15 sont égales aux distances D-o delà fig. 16, et ainsi de suite.

Pour faciliter le tracé de la pierre , il faut conserver sur les panneaux rabattus les lignes suivant lesquelles les faces correspondantes du parallélipipède sont coupées par les plans qui contiennent les positions successivement occupées par le rectangle R, dont le mouvement autour de l’axe du berceau engendre la courbe rampante qui forme l’assise.

Ces lignes, tracées en plein sur les panneaux rabattus, sont déterminées par les numéros de même ordre sur les deux ellipses semblables et concentriques , suivant lesquelles les cylindres de douelle et d’extrados sont coupés par le plan qui contient la face correspondante du parallélipipède.

131. Les centres et les axes de ces ellipses pourront être facilement déterminés en opérant comme nous l’avons dit au n® 130.

Ainsi les distances 0"Y" et 0"W" doivent être égales aux rayons des cylindres d’intrados et d’extrados (fig! 16), et le point X" de la fig. 14 sera déterminé en traçant (fig. 16) le rayon O'X' parallèle au plan tangent L’extrémité X' de ce rayon sera la projection d’une génératrice du cylindre d’extrados, et le point X'^ (fig. 13) suivant lequel cette génératrice est coupée par le plan qui contient la face FI du parallélipipède enveloppe détermi-

nera le demi grand axe 0"X" de l’ellipse X"Y" (fig, 14).

Le demi grand axe de l’ellipse Z''W' sera déterminé de la meme manière par l’extrémité Z' du rayon 0'7J (fig. 16).

La construction des centres des ellipses rabattues sur les fig. 11, 12, 14 et 15 sera fort utile pour vérifier les points suivant lesquels ces courbes sont coupées par les génératrices des deux surfaces cylindriques de la douelle et de l’extrados.

Lorsque l’épure sera parvenue au point que nous venons d’indiquer, il ne restera plus qu’à tracer et tailler le voussoir.

132. Ainsi on équarrira le parallélipipède qui a pour face le rectangle EGIF {fig. 13) et pour épaisseur h'd' (fig. 16).

On appliquera chacun des panneaux rabattus (/lÿ . 11, 12, 14 et 15) sur la face correspondante du parallélipipède.

On tracera (fig. 19) toutes les ellipses, sur lesquelles on n’oubliera pas de conserver et de numéroter les points de repère déterminés par les génératrices des deux surfaces cylindriques de la douelle et de l’extrados.

On taillera ces deux surfaces, et la pierre débillardée aura la forme qui est représentée en perspective par la fig. 20.

On appliquera sur les surfaces concaves et convexes des deux cylindres les panneaux de développements a"x"m"n" et aWV de la fig. 9, et l’on taillera le plan déterminé par les deux courbes mV et v"u" de ces panneaux.

Sur le plan ainsi taillé, on appliquera le panneau de la face de tête, obtenu sur la fig. 6 , puis on taillera toutes les surfaces de joint en opérant comme nous Pavons dit aux n®* 123, 125, et comme on le voit sur les fig. 5, 4 et 7.

133. Taille. ■— Troisième méthode, pl. 4. Afin de rendre plus facilement comparables les diverses méthodes que l’on peut employer pour tailler les voussoirs d’un pont biais , nous prendrons toujours pour exemple la meme pierre AÇfig. 18), c’est-à-dire la troisième en partant de l’angle obtus , et nous supposerons encore que l’assise ne contient qu’une seule pierre. — Mais , il est bien évident que dans une voûte qui serait tout entière en pierres de taille, et dans une seule assise telle que MN, l’inclinaison des pierres variera depuis la naissance où elle est la plus grande , jusqu’au point le plus élevé de la voûte , où les voussoirs deviennent horizontaux ; et l’on conçoit alors que, dans la pratique, on devra choisir parmi toutes les méthodes celle qui conviendra le mieux pour chaque pierre.

134. Nous avons supposé dans les deux exemples précédents, que la surface cylindrique qui forme l’extrados du herceau était prolongée jusqu’au parement de la face de tête Çfig. 17 , pl. S); mais , dans l’exemple actuel (^fig. 18, pl. 5), nous raccorderons les voussoirs avec les assises horizontales de la face de tête , la surface cylindrique de l’extrados sera par conséquent limitée (flg. 10 ) par le plan P qui forme la face intérieure du mur de tête dont l’épaisseur est indiquée sur l’épure par une teinte de points.

Chacune des coupes de joint , sur le plan de tête (fig. 18), se composera de la courbe mv suivant laquelle le plan de tête est rencontré par la surface hélicoïde qui forme le joint continu correspondant.

Ces courbes , dont nous avons déjà parlé plusieurs fois , pourraient être construites comme nous l’avons dit aux numéros 82, 99. Mais, dans les grands ponts, on peut les remplacer par des lignes droites dirigées vers le foyer F, que l’on déterminera par l’opération indiquée aux numéros 71 et 108.

135. Pour obtenir plus de régularité dans l’appareil, on peut, comme on le voit {fig. 18 ), terminer toutes les coupes des têtes au point où elles rencontrent l’ellipse suivant laquelle l’extrados prolongé traverserait le plan vertical qui forme la face de tête.

La surface hélicoïde qui forme le joint continu sera prolongée dans l’épaisseur du mur, comme on le voit sur les fig. 1 et 3 , et la partie verticale du joint de coupe sera formée par le cylindre projetant de l’hélice d’extrados. Dans les grands ponts, cette surface cylindrique pourra être remplacée par un plan.

136. Ces données étant admises , on procédera pour l’exécution de l’épure comme dans les exemples précédents; ainsi, la section droite {fig- 16 ) déterminera les génératrices des deux cylindres de douelle et d’extrados , que l’on projettera sur la fig. 10.

La fig. 9 est le développement de la douelle et contient les hélices développées en lignes droites perpendiculaires à la corde de la sinussoïde suivant laquelle se transforme l’arc de tête.

On construira également ( 8 ) le développement de

la partie d’extrados comprise entre la ligne de naissance e t le plan vertical qui forme la face intérieure du mur de tête.

Enfin on complétera ( 10 )la projection horizontale

de la pierre que l’on veut étudier.

137. Cela étant fait, on pourra extraire le voussoir d’un prisme vertical, qui aurait pour base le rectangle DEFG ou plutôt le trapèze DRNG.

La grande hase DR de cette dernière figure, est un peu plus longue que le côté DE du rectangle ; mais, il est évident que deux trapèzes DRNG , placés comme on le voit {fig* 6)> exigeront moins de pierre que deux rectangles

tels que DEFG que Ton placerait bout about. Nous adopterons donc le trapèze DRNG pour base du prisme vertical qui doit contenir le voussoir que nous voulons tailler.

L’une des faces GN de ce prisme, devra contenir les deux points a? et n de l’hélice d’intrados, et si l’on veut pousser l’économie de la pierre jusqu’à sa dernière limite, on approchera la face DR du même prisme jusqu’à ce qu’elle touche l’hélice d’extrados cv.

On peut se proposer, comme étude géométrique, d’obtenir exactement le point K suivant lequel la projection cv de cette hélice est touchée par la trace du plan vertical DR.

Pour y parvenir, on construira sur la fig. 16 la développante od du cercle o-6 suivant lequel le cylindre d’extrados est coupé par le plan de section droite ac (fig. 10 ).

La droite II' menée par le point I parallèlement à la direction du berceau , déterminera le point 1' de la fig. 16 , et l’on construira par ce point la tangente l'K'.

Le point de tangence K' déterminé par la construction connue sera la projection verticale du point demandé K {fig. 10).

Le prisme droit trapézoïdal DRNG qui doit contenir le voussoir aura pour hauteur {fig. 16) la distance du plan de naissance Go au plan horizontal qui forme la face supérieure de la pierre.

Les dimensions du prisme enveloppe étant déterminées, on en rabattra les quatre faces verticales comme on le voit sur les fig. 12, 11, 7 et 14, et l’on construira sur chacune de ces faces les ellipses suivant lesquelles les deux cylindres de douelle et d’extrados sont coupées par les plans verticaux qui forment les faces correspondantes du prisme. Les ordonnées des différents points de ces courbes seront déterminées par les projections des mêmes points sur la fig. 16.

Ainsi, par exemple, la hauteur du point 2 de la fig. 12,

sera égale à la hauteur du point 2 de la fig. 16, la hauteur du point m de la fig. 11, sera égale à la hauteur du même point sur la fig. 16, et ainsi de suite.

Si l’on prolonge le plan vertical qui contient la face GN du prisme enveloppe jusqu’à ce qu’il coupe l’axe CS du berceau , on obtiendra un point S qui projeté en S" sur la fig. 12, sera le centre communaux deux ellipses suivant lesquelles les cylindres de douelle et d’extrados sont coupés par le plan vertical GS (fig. 10).

Les axes horizontaux S"X" et S"Z" de ces ellipses sont déterminés par la rencontre du plan vertical SG avec les lignes de naissance aZ, cX des deux cylindres concentriques de la voûte, et les axes verticaux de ces mêmes ellipses sont égaux aux rayons des deux circonférences de la fig. 16.

Des constructions analogues, qui n’ont pas été conservées sur l’épure, détermineront sur les fig. 7, 11 et 14, les centres et les axes de toutes les ellipses suivant lesquels les deux cylindres de douelle et d’extrados sont coupés par les plans verticaux qui forment les autres faces du prisme enveloppe (fig. 10 ).

Les deux ellipses qh et UV de la fig. 13 proviennent de la section des mêmes cylindres par le plan vertical P qui contient la face intérieure du mur de tête (fig- 10).

La construction des ellipses par leurs axes est beaucoup plus exacte que la construction des mêmes courbes par points; mais, comme la détermination rigoureuse de ces points est très-importante , on fera bien d’employer les deux méthodes afin qu’elles se vérifient mutuellement.

Enfin, on construira (fig- là ) les deux patrons ou panneaux W'ss" et W'ee". *

Le premier est le développement de la surface verticale projetante qui contient Tare d’hélice vs (fig- 10 ) et la figure uu'’ee" est le développement de la surface projetante

qai contient l’arc d’hélice ue ; les sections droites vs et ue de ces deux patrons 15) sont égales aux arcs vs et

ue delà fig. 10 et les ordonnées yy' et gg' sont déterminées sur la fig. 16 en projetant sur la circonférence d’extrados 0-6 les points correspondants de la fig. 10.

138. Lorsque la projection horizontale (fig. 10), les développements (fig. 9 et 15), et les rabattements (^^.7, 11, 12, 13 et 14) seront terminés , lorsqu’enfin tous les points de repère auront été vérifiés avec le plus grand soin , on pourra procéder à la taille du voussoir.

Ainsi, on taillera le prisme droit et vertical qui a pour base le trapèze DRNG (fig. 10 ) .

Ce prisme est dessiné en perspective sur la fig. 20.

On appliquera les panneaux des fig. 7, 11, 12 et 14 sur les faces correspondantes du prisme , et l’on tracera toutes les ellipses sur lesquelles on aura le soin de marquer trèsexactement les points de repère.

Les trois arcs d’ellipses o-n, nr et r-o (fig. 20 et 19) seront les directrices de la surface 'cylindrique qui doit former la douelle ou intrados du berceau.

La droite se (fig. 10) étant tracée sur la face supérieure du prisme (fig. 5), on taillera le plan vertical sese sur lequel on appliquera le panneau correspondant de la fig. 13.

U a.rc qh (fig. 13 et 5) et les trois arcs d’ellipse /ub, wo et qo donnés par les fig. 7, 12 et 14, seront les directrices du cylindre d’extrados.

Cela étant fait, on découpera sur la figure 9 le patron axïim qui est le développement de la douelle du voussoir, et l’on appliquera ce patron sur la surface concave du cylindre d’intrados (fig. 19), en faisant coïncider les génératrices tracées sur le développement axmn de la fig. 9, avec . les lignes correspondantes tracées sur la surface concave du cylindre d’intrados ( fig. 19 ).

On appliquera le panneau de tête vvmnuu donné par la fig. 11 sur la face correspondante NRnr delafig. 19 , et Ton fera en sorte que les points m et n du panneau (flg. 1 1) coïncident bien exactement avec les points correspondants du développement Oicmn {fig. 19).

On découpera sur la fig. 8 le patron czes qui est le développement de la surface cylindrique formant Textrados du voussoir et l’on appliquera cfe panneau sur la surface cylindrique d’extrados (fig. 5). On appliquera également le panneau sees de la fig. 13 sur la face verticale correspondante sh(fig. 5).

On tracera le panneau horizontal vseu de la fig. 10 sur la face supérieure du voussoir (fig. 1 et 5 ), et l’on taillera (fig. 5 ) la petite face cylindrique ssvv , verticale, et par conséquent perpendiculaire au plan horizontal qui forme la face supérieure du voussoir.

On pourra tailler cette face cylindrique en faisant glisser sur les deux arêtes verticales ss et vv une cerce {fig. 2) dont l’arc vs serait découpé sur la projection horizontale de l’hélice d’extrados sv (fig* 10) ; la courbe v>"s" du panneau H (fig. 15) étant appliquée sur le cylindre vertical ssvv (fig- 1 et 5) deviendra le prolongement de l’hélice d’extrados es qui, avec l’hélice d’intrados am (fig. 1 ) , seront les directrices de la surface réglée hélicoïde qui doit former le lit ou joint déposé du voussoir.

On abattra ensuite la partie M de la fig. 5 , et faisant glisser la cerce ( fig. 4 ) sur les deux verticales uu, ee de la figure 3, on taillera le cylindre vertical qui contient l’arc d’hélice eu; puis, sur la surface concave du cylindre ainsi taillée on appliquera le panneau de développement L de la %. 15.

La courbe ii”e'' de ce panneau en reprenant la courbure du cylindre verticaLweew (fig. 3) deviendra le prolonge ment de l’hélice d’extrados ze qui , avec l'hélice d’intra-