On devra également s’assurer comme véribcation

que les projections des génératrices des deux cylindres de douelle et d’extrados sur les figures 4 et 6, sont bien exactement parallèles aux grands axes des ellipses correspondantes.

155. Taille des coussinets. — Pour éviter les .angles aigus que les surfaees réglées hélieoïdes feraient avec le plan de naissance , on taille ordinairement le coussinet dans la pierre qui forme le bandeau ; et pour que les joints montants ne soient pas trop nombreux, on fait autant que possible plusieurs coussinets d’un seul bloc. Ainsi, dans l’exemple actuel, nous supposerons que les deux coussinets qui supportent la pierre A', figure 2, appartiennent à une seule pierre CG' dont la longueur 18-53 sera donnée par sa projection horizontale, figure 5.

156. Pour tailler cette pierre , on emploiera la méthode que nous avons exposée au numéro 121. Ainsi, après avoir équarri un bloc capable de contenir la pierre du bandeau et les deux coussinets qui en font partie , on tracera sur les faces extrêmes, le panneau de section droite G", figure 3, on taillera les deux surfaces cylindriques de la douelle et de l’extrados, et l’on appliquera sur ees deux surfaces les panneaux de développements G'xci et Çl'za, figure 7. Les côtés de ces deux panneaux formeront les hélices directrices des surfaces de joint du coussinet , que l’on taillera comme dans tous les exemples qui précèdent. Je n’ai pas cru qu’il fût nécessaire de donner une perspective de cette pierre qui ne présente .aucune difficulté , et que l’on peut voir d’ailleurs sur la figure 4 de la planche 3.

157. Taille des claveaux courants. — Ghacun des cla.veaux courants pourra, suivant son inclinaison plus ou

moins grande , être taillé par l’une des méthodes indiquées aux numéros 121, 127, 133 ou 140, et l’on devra s’appliquer dans chaque cas, à profiter de toutes les circonstances qui , sans nuire à l’exactitude , pourront contribuer à l’économie des matériaux ou de la maind’œuvre.

Supposons , par exemple , qu’il s’agit d’un herceau dont la section droite serait comprise entre deux circonférences concentriques 6-6, 6-6, figure 3, planche 6. Admettons de plus, qu’en opérant comme nous l’avons dit au n° 65 , on soit parvenu à décomposer la plus grande 1 partie de la voûte en voussoirs de même longueur, et,

I par conséquent , égaux entre eux. Il est évident que tou- ^ tes les opérations que l’on aura faites pour tailler un de ces voussoirs, serviront également pour tailler tous les autres , et qu’il suffira , par conséquent , de construire avec précision les panneaux nécessaires pour la taille d’un seul d’entre eux.

La partie graphique du travail étant ainsi réduite , il reste encore à choisir parmi les quatre méthodes indiquées précédemment , celle qui produit la plus grande économie de pierre. Or, la méthode exposée au n“ 127 est celle qui exige le plus petit parallélipipède enveloppe, c’est pourquoi nous lui donnerons la préférence.

Mais, si nous admettons que toutes les pierres d’une même assise , figures 11 et 12, soient égales entre elles , le travail graphique pourra encore être simplifié.

158. En efi’et , supposons que l’on veut tailler le claveau désigné par la lettre A sur la projection horizontale, figure 1 1, et par A' sur la section droite , figure 12 , on fera tourner ce voussoir autour de l’axe du herceau jusqu’à ce qu’il soit venu occuper le point le plus élevé de la voûte. Sa nouvelle projection horizontale deviendra A” ,

et sa projection sur le plan delà section droite sera A'".

Dans cette nouvelle position , l’exécution de l’épure deviendra extrêmement simple ,car on aura évité la projection auxiliaire sur le plan tangent au milieu de la longueur de la pierre (127), et toutes les opérations pourront se grouper facilement autour de la projection horizontale du voussoir qui occupe le centre de la voûte.

159. Pour mieux étudier cette partie delà question, nous lui consacrerons une épure particulière. x\insi, nous supposerons que les figures 3, 5 et 6 sont détachées d’une épure d’ensemhle sur laquelle, en opérant comme nous l’avons dit aux n®'* 56 et 57, on aurait déterminé:

1® tsmmm La section droite , figure 3 ;

2“ msstaa Les développements, figure 5, de l’intrados HH" et de l’extrados FF";

3® L’angle hélicoïdal I"C"D", ainsi que la distri¬

bution de la voûte en claveaux.

Supposons que le point G de la figure 6 soit la projection horizontale du centre de la voûte, et que G", figure 5, soit le centre du développement.

Le plan P de la section droite qui contient le point G , est rabattu, figure 3, en tournant autour de sa trace horizontale G"G.

La demi-circonférence qui forme le cintre du berceau étant partagée en quarante parties égales, chacune d’elles est , par conséquent, la quatre-vingtième partie de la circonférence entière.

Afin de profiter des relations de symétrie qui résultent de la disposition des données , nous compterons les génératrices des deux surfaces de la douelle et de l’extrados , à partir de celle qui contient le point le plus élevé dans chacun des deux cylindres.

160. Pour construire sur la figure 5 , les deux panneaux de douelle et d’extrados du Youssoir que Ton veut tailler, on pourra opérer delà manière suivante:

On fera r'C'D" égal à l’angle hélicoïdal, c’est-à-dire à l’angle que chacune des hélices d’intrados fait avec la direction I"G" du herceau. Il ne faut pas oublier que cet angle a dïi être déterminé sur l’épure d’ensemhle , en opérant comme nous l’avons dit au n® 57.

I La droite C'D'' sera le développement de l’hélice qui I passerait par le centre CG" de la voûte, j On peut encore obtenir la droite G"D" en construisant Ij un triangle rectangle FC"D" tel que l’on ait G"!" : I"D"

I comme le pas de l’hélice est à la section droite rectifiée.

■ Sur l’épure actuelle , G"!" est égale à quatre fois la quatre-vingtième partie du pas de l’une des hélices , et est égale à quatre quatre-vingtièmes ou un vingtième I de la circonférence entière qui formerait la section droite 1 de l’intrados duberceau.

I Cela étant fait, on fera C"o égale à la moitié de la I partie de génératrice qui sur l’épure d’ensemble est com- I prise entre deux hélices consécutives de la douelle ; ce qui I dépend du nombre de voussoirs, que l’on veut obtenir ! sur les arcs de tète (57), et les droites m'Vt", m"n" pa- I rallèles à G"D" seront les développements des deux héj lices , qui doivent former les arêtes d’intrados du vousj soir. Les petits côtés du quadrilatère m”n"m"n'' seront les développements des hélices formant les arêtes des joints transversaux.

I 161. Les grands côtés v"u",v”u" qui, sur le développe- I ment, fig. 5, correspondent aux arêtes d’extrados, devront I passer par les points o et seront parallèles à la droite G"S"

I que l’on obtiendra en faisant I"S" égale à quatre quatre-

vingiiemes ou un vingtième de la circonférence à laquelle appartient Tare d’extrados 6-6, figure 3.

Les points u” et v" du développement de l’extrados seront déterminés par les droites m"v" , n"u" perpendiculaires aux génératrices des cylindres, et l’on devra s’assurer comme vérification, que les deux droites qui forment les arêtes des joints transversaux m"n'\ v"u" se rencontrent sur la ligne CI" qui contient le centre commun des deux développements.

En portant sur la droite PP des parties égales chacune à un quair e-vinglième de la circonférence î?/n', figure 3 , on déterminera les génératrices sur le développement de l’intrados, et l’on devra s’assurer que ces génératrices coupent en parties égales les côtés longitudinaux du quadrilatère

En opérant de la même manière, on tracera les génératrices sur le développement de l’extrados, et Ton fera en sorte que les points correspondants des droites HH" et FF" soient situés sur des perpendiculaires à l’axe G"l" de la voûte.

162. La section droite, figure 3, et les développements de la figure 5 étant terminés , on construira la projection horizontale du voussoir, figure 6, en opérant comme dans tous les exemples qui précèdent ; puis on déterminera les dimensions du parallélipipède enveloppe ABAB.

Pour éviter la confusion des lignes, on a indiqué surré|)ure un bloc plus grand qu’il ne serait rigoureusement nécessaire ; mais, il est évident, que dans la pratique, on pourrait rapprocher beaucoup les faces latérales.

163. En opérant comme nous l’avons dit au n® 130, on construira les figures 8 et 10 qui contiennent les ellipses suivant lesquelles les deux cylindres de la douelle

et de l’extrados sont coupés par les faces duparallélipipède enveloppe. Par suite de la symétrie , les mêmes figures, retournées, contiendront les sections des deux cylindres par les plans opposés duparallélipipède.

Ainsi les panneaux déterminés sur les figures 8 et 10 , avec les deux patrons de développements de la figure 5 , suffiront pour construire tous les claveaux courants de la voûte.

On fera bien de construire ces panneaux en zinc ou en tôle afin qu’ils ne soient pas altérés par l’usage.

164. La taille du voussoir ne présentera aucune difficulté. Ainsi, après avoir appliqué les deux panneaux des figures 8 et 10 sur les faces correspondantes du parallélipipède, on retournera ces mêmes panneaux, que l’on appliquera sur les faces opposées.

Les arcs d’ellipses, sur lesquels on aura le soin de bien indiquer les points de repères , seront les directrices des surfaces cylindriques sur lesquelles , lorsqu’elles seront taillées, on appliquera les panneaux de développement de la tigure 5.

Les courbes bd, hk de ces panneaux détermineront les surfaces liélicoïdes qui doivent former les joints de la voûte.

165. Si, pour le raccordement avec les têtes, on doit faire quelques voussoirs un peu plus courts, on pourra toujours les tailler avec les mêmes panneaux et les raccourcir après la taille.

166. Enfin , si l’on veut faire la voûte en briques , on pourra tailler avec précision un voussoir en pierre, et faire mouler les briques sur ce modèle. Cela sera évidemment plus solide que des briques ou des moellons rectangulaires , surtout s’il s’agit d’une voûte d’un faible rayon.

167. Joints plans. — Lorsqu’un joint courbe, déve-* loppable ou gauche , a beaucoup d’étendue , on doit conserver sa courbure. C’est le cas où l’on se trouve à l’égard des surfaces bélicoïdes qui forment les joints continus ; mais , lorsqu’il s’agit d’une petite surface , comme celles qui forment les joints transversaux, on peut, surtout dans les grands ponts, faire abstraction de la courbure, et remplacer par un plan , la surface gauche bélicoïde indiquée par la théorie.

Le plan qu’on emploira dans ce cas , devra contenir, figure 5 , la corde H"H" de la partie d’hélice qui forme l’arête de joint, et la normale K"L'' passant par le point K" milieu de cette arête.

Cette normale percera l’extrados en un point L" qui sera déterminé sur l’hélice par la droite K”L" per¬

pendiculaire à C"l", et les trois points H"H"L" étant reportés sur la pierre, cela suffira pour tailler le joint plan dont il s'agit , sans qu’il soit nécessaire d’en construire les projections.

168. Cependant, comme il s’agit toujours ici , d’études théoriques, et que l’on ne saurait trop multiplier les occasions de s’exercer à l’application des principes , j’engagerai le lecteur à exécuter les opérations suivantes, que nous avons déjà exposées aux n“® 465 et 466 du traité de la coupe des pierres.

On construira (fi, g. 6) le triangle rectangle CID, dont la hauteur ID est à la base CT, comme la circonférence de la section droite m'm! est au pas des hélices.

L’hypothénuse CD sera la tangente au point C de l’hélice qui occupe exactement le milieu de la douelle du voussoir. Cette hélice n’a pas été tracée sur l’épure.

Le plan perpendiculaire à la tangente CD, sera normal au point C de la voûte, et coupera les quatre arêtes

du voussoir suivant des angles qui différeront très-peu de l’angle droit, surtout vers les arêtes d’intrados, ce qui est le plus important.

Les sommets aaee de ces quatre angles , étant projetés sur la figure 3, appartiendront à un quadrilatère a'a'e'é qui est la projection de la section du voussoir par le plan

Les arcs de cercles a'a' , ee' formant deux côtés de ce quadrilatère, sont les projections des arcs d’ellipses suivant lesquels le plan figure 6, coupe les deux surfaces cylindriques de la douelle et de l’extrados.

Les deux côtés a'e' du quadrilatère a'e'a'e' , figure 3, sont deux courbes, puisqu’elles proviennent de la section par le plan Pj des surfaces liélicoïdes qui forme les joints continus de la pierre ; mais la courbure de ces lignes est insensible, et peut être négligée dans la pratique ; cependant on pourra, comme étude, construire sur chacune deces courbes un point intermédiaire cd qui sera déterminé d’abord sur la figure 6, par la rencontre du plan P^ avec l’hélice qui partage partout en parties égales le joint continu du voussoir.

Cette hélice projetée sur la figure 3, par l’arc de cercle jdx' passera sur la figure 6, par les milieux de toutes les génératrices du joint continu.

Lorsque le quadrilatère a'e'a'e' sera déterminé sur la figure 3, on pourra supposer qu’on le fait monter ou descendre de manière que ses quatre sommets ne quittent pas les hélices correspondantes, jusqu’à ce qu’il soit arrivé dans la position où l’on voudra faire un joint plar transversal a'"e'"a'"e'".

Les droites a!" a", perpendiculaires au pîan de la figure 3, détermineront (fig. 4), la projection horizontale ^ivgiv^ivgiv (Je la face plane du voussoir, et les droites a^^a", e‘V' perpendiculaires à la direction du berceau , détermineront sur la figure 5, les côtés a"a!' , e"e" du quadrilatère

cherché. Théoriquement, ces deux li gnes sont courbes , puisqu’elles appartiennent aux sinusoïdes suivant lesquelles se développeraient les ellipses provenant de la section des deux cylindres par le plan figure 6, mais leur courbure est insensible et l’on peut sans inconvénient, les remplacer par leurs cordes , qui sur les figures 3, 6 et 5 doivent être parallèles entre elles.

Si l’on veut obtenir (^fig. 1) le panneau précédent en véritable grandeur, on pourra supposer qu’on l’a fait tourner autour de la normale du point C'". Les distances des sommets a^, e" et des points intermédiaires x'’ à cette normale, seront égales aux distances des points correspondants de la figure 6 au point C, qui est la projection horizontale de la normale {fig. 1).

169. La disposition d’épure que nous venons d’indiquer pourrait être employées la taille des voussoirs d’une voûte dont l’extrados (^7. 13) serait formé par un cylindre circulaire, qui aurait son axe O' au dessous du. plan de naissance. Dans ce cas, on ferait encore tourner les voussoirs A, B, etc., jusqu’à ce qu’ils viennent se placer en G ; puis, on opérerait comme si le voussoir A était extradossé par le cylindre de rayon ON, le voussoir B serait extradossé par le cylindre de rayon OV, etc., mais alors le travail graphique serait augmenté, par la nécessité de construire des panneaux differents pour les voussoirs qui n’auraient pas la même surface d’extrados.

170. Résumé des études précédentes. — Construction complète d'un pont biais. —Joints normaux hélîcoïdes,

Pl. 7. — Quoique cette planche soit deux fois aussi grande que le format ordinaire de l’allas , il n’a pas été possible d’y placer tous les détails; mais, ce qui a

pii être conservé suffira je l’espère pour faire comprendre le reste.

171. L’exemple qui fait le sujet de cette épure doit encore être considéré comme une élude théorique, pour laquelle on a exagéré la courbure et la grosseur des pierres , afin de rendre plus sensible le contournement des arêtes j et des surfaces de joint. Mais, il est évident, qu’en aug- ' mentant le nombre des voussoirs, et diminuant l’épaisseur de la voûte , on réduira les dimensions , autant qu’il t sera nécessaire pour ne pas excéder les limites des blocs employés dans la pratique.

' La figure 23 est la demi-section droite du pont, dont I la voûte est comprise entre deux cylindres circulaires et j, concentriques , qui ont pour rayons les droites G'-8.

!j La partie désignée par la lettre M, est la coupe de la l| ^ile ou pied droit désigné parla même lettre sur les figu- 1 res 13, 16 et 1 1 .

I La figure 20 est une coupe de la pile par le plan hori- I, zontal qni contient la naissance de la voûte , elle indique j par conséquent la liaison des coussinets, qui à Fexcep- 1 tion des quatre angles de la pile, sont tous égaux entre ] eux et de la forme qui est indiquée en perspective parla j figure 22.

La disposition d’appareil de la figure 20 dépendra du nombre de coussinets, de leur grandeur, de l’épaisseur delà pile, et de la place qui conviendra le mieux pour I établir de bonnes liaisons avec l’assise supérieure.

I L’espace indiqué sur la figure 23 parla lettre T, estla ! coupe de l’assise en pierre de taille ou en maçonnerie qui ■ est au-dessus des coussinets.

j! On sait que dans un pont biais les hélices ou arêtes des j joints de lit, presque horizontales pour les pierres qui sont

dans les parties les plus élevées de la voûte, sont au contraire fortement inclinées dans le voisinage des naissances, et pour combattre la force qui tend à faire glisser les premiers voussoirs sur leurs joints, il pourra être utile, dans certains cas , de les enraciner fortement dans la masse de la pile.

C’est ce que l’on pourra faire, en doublant chacune des pierres de la première assise Çfig. 5), par un renfort R, dont les faces verticales 31-27 viendraient s’emboîter avec précision entre les deux pierres adjacentes, de sorte que l’assise Çfig. 12) qui est au-dessus des coussinets, se composera d’une suite de voussoirs identiques, égaux chacun à la pierre qui est dessinée en perspective sur la figure 5.

Il faut cependant excepter la pierre II, et la pierre XIV de la figure 12. En efiet , les joints de lits surtout pour les voussoirs de naissance, ayant une inclinaison très-prononcée de gauche à droite, il s’ensuit que les voussoirs qui forment l’arc de tête du côté de l’angle obtus sont entraînés par leurs poids dans la direction suivant laquelle la masse de la maçonnerie leur oppose une résistance suffisante, tandis que, du côté de l’angle aigu F^, toutes les pierres tendent à glisser sur leur lit, et à tomber dans le vide; ce qui arriverait infailliblement, si elles n’étaient retenues par l’adhérence des mortiers, et enchevêtrées les unes dans les autres par le contournement de leurs surfaces de joint.

Beaucoup de constructeurs ont cru devoir rattacher ces voussoirs au reste de la voûte , par des tirants et des armatures.

D’autres fois , on a employé dans cette partie de la construction , quelques pierres d’une grosseur exceptionnelle et suffisante pour former plusieurs voussoirs, séparés en apparence par de faux joints pour la régularité de l’appareil.

Les figures 12 et 6 feront comprendre comment cette difficulté peut être résolue.

La pierre I (fig. 12), qui correspond à l’angle de la pile M, contient une assise du bandeau, et termine vers la droite la crémaillère formée par les coussinets XVL

La pierre II, figures 12 et 6, sera placée sur la pierre I, en faisant coïncider les points désignés par les mêmes chiffres sur les deux figures.

Enfin, la figure 4 représente le renfort de la pierre II vue par derrière.

Le système d’appareil à crochets que nous venons d’indiquer peut être continué jusqu’à une certaine hauteur, comme on le voit sur la figure 2; l’irrégularité qui résulterait du brisement des arêtes du joint serait amplement compensée par l’avantage d’augmenter beaucoup la solidité de la voûte.

J’ai fait exécuter de cette manière un modèle au dixième, dans lequel toute tendance au glissement des voussoirs était complètement arrêtée.

172. Corne de vacbe. — Si l’on jette un coup d’œil sur la figure 23 de la planche 1, on verra qu’au point n de la pile, il existe un angle très-aigu formé par la rencontre de la douelle avec la face de tête, et cet inconvénient se reproduit pour tous les voussoirs compris entre le point n et la clef, en s’affaiblissant, il est vrai, à mesure que l’on approche du sommet de la voûte.

De plus, les premiers joints de lit, par suite de leur inclinaison , rencontrent obliquement les plans de tetes.

Il existe donc dans cette partie de la construction, deux sortes d’angles aigus qu’il faut chercher à faire disparaître.

On peut obtenir ce résultat par des moyens que nous allons indiquer.

Pour éviter (^7. 27 et 26) les angles aigus que la douelle ou intrados du berceau fait avec les plans verticaux des têtes, on coupe l’angle KLB de la pile, par un plan vertical BF perpendiculaire à la face de tête AB, ou faisant avec cette face un angle obtus PBF (fig. 25) , puis, audessus de la naissance, on prolonge le pan coupé vertical BF, par une surface courbe à laquelle on a donné le nom de corne de vache.

Le problème dont il s’agit alors peut être résolu de plusieurs manières.

173. Première méthode (fi". 27). — Le point U étant le plus élevé de Tare de tête , on tracera la droite UF, que l’on pourra considérer comme la trace d’un plan vertical ; ce plan coupera la douelle ou intrados du berceau suivant un arc d’ellipse UF, que l’on prendra pour directrice d’une surface cylindrique UBF , perpendiculaire à la face de tête AB.

La courbe UF, directrice de la surface cylindrique UFB, devient une arête, commune à la douelle du berceau et à la corne de vache ; ces deux surfaces forment à la naissance un angle obtus BFK, qui augmente de grandeur à mesure* que l’on s’approche du point U, et qui , devenant égal à 180°, s’efface complètement lorsque l’on arrive à ce point.

La solution qui précède, a l’inconvénient de briser la ligne AUF qui limite la douelle du berceau. En outre elle détruit la symétrie de l’arc de tête, qui dans le cas d’un berceau circulaire se composerait du quart d’ellipse projeté sur le plan horizontal par la droite AU , et du quart d’ellipse UB, suivant lequel le plan de tête est rencontré parla surface cylindrique UFB, qui forme la douelle de la corne de vache.

Ces deux courbes se raccorderaient au point U, l’inégalité de leurs ra^^ons horizontaux AÜ, UB détruirait toute symétrie, et les douelles des voussoirs de même rang ne seraient plus égales des deux côtés de la te te.

174. Deuxième méthode. — Le défaut de symétrie qui existerait entre les deux parties AU et UB de l’arc de tête (fig. 27), pourrait être facilement évité en prenant pour courbe directrice de la corne de vache (fig. 26). la section du berceau par le plan vertical qui aurait pour trace la droite AF.

Dans ce cas , l’arête de tête sera formée par l’ellipse AB, suivant laquelle la section AF se projette sur le plan vertical AB.

175. Troisième méthode. — On peut remplacer la surface cylindrique AFB (fig. 26), par une surface réglée conoïde dont la génératrice horizontale BF, s’appuierait constamment sur l’une des deux courbes AB ou AF, et sur la droite suivant laquelle se rencontrent les deux plans verticaux AE, BH ; mais, si l’on prend pour directrice de la conoïde, la section du berceau par le plan vertical AF, l’arête AB de l’arc de tête ne sera plus une ellipse; et si l'on veut que cette dernière condition ait lieu, c’est-à-dire que l’arc de tête AB soit une ellipse, l'arête AF sera une courbe à double courbure disgracieuse , aussi difficile à bien tracer qu’à tailler.

176. Quatrième méthode. — On ferait disparaître l’irrégularité dont nous venons de parler, en employant (fig. 25) une surface conoïde dont la génératrice horizontale BF, s’appuierait sur l’ellipse EF, suivant laquelle la douelle du berceau est coupée par le plan vertical EF, parallèle à

PONTS BÎAÎS.

la face de tête, et qui aurait pour seconde directrice la verticale élevée par le point suivant lequel le plan vertical AS , est percé par la droite horizontale CS perpendiculaire au milieu G de EF.

La section de la surface précédente par le plan AB de la tête , sera une ellipse de même hauteur que la directrice EF, dont elle ne différera que par son axe horizontal AB , et l’angle PBF de la pile M sera égal à Fangle TAS de la pile N, ce qui donnera pour la face de tête un appareil symétrique.

177. Cinquième méthode.- — Je n’ai parlé des méthodes précédentes, que pour avoir l’occasion d’en signaler quelques inconvénients oui n’ont prohahlement pas échappé aux constructeurs. En effet, on remarquera (fig. 26 et 25), que du côté de la pile M, la corne de vache forme avec la doLielle du berceau principal des angles saillants vxz, toujours très-faciles à tracer et à tailler; mais, il n’en est pas de même pour les voussoirs qui sont du côté de la pile N, et l’inspection des figures 26 et 25 suffit pour faire reconnaître qu’au point o, par exemple, les génératrices horizontales oy et ho, delà douelle et delà corne de vache, formeront un angle rentrant boy, c’est-à-dire qu'une partie de la corne de vache pénétrerait dans le cylindre qui forme la douelle du berceau, ce qui gênerait beaucoup pour tailler les surfaces de douelle du berceau et de la corne de vache.

Cet inconvénient , provenant de la direction horizontale des génératrices des deux voûtes, existerait également, quoiqu’avec moins d’intensité, si l’on employait pour douelle de la corne de vache l’une des surfaces conoïdes indiquées aux n°® 175 et 176 : mais, si au lieu de conoïde, on emploie (fig. 25) un cône dont le sommet S serait situé dans le plan de naissance, et qui aurait pour directrice la sec-

tion du berceau par le plan vertical EF, toutes les diflicultés précédentes auront complètement disparu.

Car il est facile de reconnaître par l’inspection de la figure 28, qu’aucune partie delà surface conique qui, dans I ce cas formerait la corne de vache, ne pénètre dans l’intérieur du cylindre dont la section droite est la demicironférence A'U'F'. D’où l’on peut conclure que nulle part les douelles des deux voûtes ne se rencontreront suivant des angles rentrants.

J’ai cru devoir donner une certaine étendue à la discus- )j sion précédente , parce que beaucoup de constructeurs de f ponts biais n’ont pas cru devoir employer des cornes de ii vache : mais en faisant abstraction d’une augmentation de dépense peu considérable , si on la compare à l’importance du travail dont il s’agit , on reconnaîtra facilement que, loin d’augmenter les difficultés d’appareil, cette con- \ struction, au contraire, les évite complètement, en faisant disparaître tous les angles aigus qui existeraient si la douelle et les joints de lits étaient prolongés jusqu’aux plans verticaux des têtes. Les études suivantes ne laisse- I ront aucun doute à cet égard.

^ 178. Épure. — Les données de la question à résoudre

sont :

L’axe GG et la largeur du berceau (fig. 13) , la section droite (fig. 23), et l’angle que le plan AB de la tête fait avec la direction O'G de la voûte.

I Gela étant admis , on exécutera successivement les opérations que nous avons exposées dans les articles précéj dents ; ainsi :

I 179. Projection horizontale (/î^. 13). — Après avoir I déterminé les projections des piles dont l’écartement est égal au diamètre de la circonférence 0-8 (fig. 23), on con-

PL. i.

struira les traces horizontales PP des deux plans de tête : on fera ÜG égal à la largeur que l’on veut donner à la corne de vache ABFE, et la droite EF, parallèle au plan P de la tête , déterminera le point F.

La droite CS, perpendiculaire au milieu de EF, rencontrera la ligne de naissance AS, en un point S, que l’on joindra au point F, par une droite dont le prolongement FB sera l’évasement de la corne de vache du côté de la pile M.

La droite EF située dans le plan P^ sera l’arête commune au berceau et à la corne de va^he dont la douelle sera projetée sur le plan horizontal par le trapèze ABFE.

Les lignes Pg parallèles aux plans P^ sont les parements intérieurs des murs de tête , dont l’épaisseur, indiquée sur l’épure par une teinte légère, est comprise, par conséquent, entre les deux plans vecticaux et parallèles qui ont pour traces les droites PP et

180. Développement. —11 est évident que l’appareil de la voûte doit être étudié comme si le berceau était limité par les deux plans verticaux P^ Ainsi, en opérant comme nous l’avons dit au n° 56, on construira 14) le développement du cylindre d’intrados dont on n’a pu conserver ici qu’une partie, mais qu’il sera facile de compléter lorsque l’on pourra disposer d’un plus grand espace.

Si Tare de tête doit contenir quinze voussoirs, la corde de la sinusoïde, suivant laquelle se développe Tellip se EF, sera partagée en quinze parties égales, et la direction E'K" des hélices développées sera déterminée en opérant comme nous l’avons dit au n® 57.

Les perpendiculaires abaissées par les points suivant lesquels la droite F"K" coupe les génératrices de l’intrados développé, détermineront sur la figure 13 la projection de l'hélice correspondante FK.

On déterminera de la même manière les projections ho-

rMon taies de toutes les autres hélices qui pourront, comme nous l’avons dit au n® 66 , être tracées avec un patron ou pistolet que l’on ferait glisser parallèlement à la direction du cylindre en s’assurant, pour plus d’exactitude , que le contour de ce patron passe bien exactement par tous les points déterminés sur la figure 13, par les perpendiculaires abaissées des points correspondants de la fig. 14.

On déterminera Jes coupes de joints transversaux sur le développement, fig. 14, de manière à ne pas excéder les limites des pierres dont on pourra disposer, et l’on tâchera, comme nous l’avons dit au n® 65, de faire autant que possible tous les claveaux courants de même longueur, afin de simplifier les opérations de la taille (158).

Dans l’épure actuelle , il sera difficile de satisfaire à cette condition, par suite du petit nombre de voussoirs qui forment la voûte ; mais dans un grand pont , où les joints sont très - nombreux , il sera beaucoup plus facile de réussir (65). i

La même cause ne permet pas , ici , de disposer avec régularité les coupes postérieures des voussoirs des têtes.

Mais dans une voûte contenant un grand nombre de voussoirs, il sera facile d’arranger les pierres comme on le voit fig. 21 , en comptant la longueur de chaque voLissoir, à partir de la sinusoïde, sur la génératrice qui partage la douelle en deux parties égales.

181. La partie qui est désignée sur la fig. 14 par une teinte de points, est le développement de la surface d’extrados comprise entre les génératrices DD' {fig. 13 et 23) et les deux plans verticaux PgPj

Les sinusoïdes G"J" de la fig. 14 sont les développements des ellipses suivant lesquelles les deux plans P,P,

coupent la surface cylindrique 8-D' qui forme l’extrados du berceau, fîg. 23.

182. L’épure actuelle étant une étude des joints normaux qui sont indiqués par la théorie , on a supposé que les coupes transversales étaient formées , comme dans les épures précédentes, par des surfaces réglées héîicoïdes, lieux géométriques des normales qui s’appuient sur les hélices perpendiculaires aux arêtes des joints longitudinaux. '

183. Coupes des joints de lit par le plan — Nous avons dit que, pour éviter les angles aigus, on ne prolongerait pas l’appareil hélicoïdal du berceau a u delà de l’espace compris entre les deux plans verticaux P^Pj {fig- 13).

Il faut donc déterminer les courbes suivant lesquelles le plan P^ coupe le berceau et les joints de lit.

La section du berceau par le plan P^ sera évidemment une ellipse verticale EF projetée et rabattue en vraie grandeur (/îÿ. 16) par la courbe

Le demi-axe horizontal C"F"' de cette ellipse , est égal à la droite GF de la figure 13, et le demi-axe vertical est éfiral au rayon CH' de la section droite rabattue (fig. 23).

Cette ellipse pourra facilement être construite au moyen de ses deux axes ; mais on fera bien de s’assurer que les points 10, 11, 12, 13, etc., suivant lesquels cette courbe est rencontrée par les hélices, qui forment les joints de lit du berceau, sont à la même hauteur sur les quatre figures 23, 16, 11 et 12, et si la projection horizontale de chacun de ces points résulte bien exactement de la position qu’il occupe sur la sinusoïde correspondante du développement (fig. 14).

On doit se rappeler que toutes ces vérifications ont été indiquées au n® 68.

184. Les courbes suivant lesquelles les surfaces hélicoïdes qui forment les joints de lit sont coupées par le plan Pj seront déterminées d’abord sur le plan de la section droite (fig. 23) , en opérant comme nous l’avons dit aux n°® 82, 83, 99, etc.

Ces opérations déjà étudiées plusieurs fois n’ont pas dû être conservées sur l’épure.

185. Si l’on prolonge la droite K"F" (fi, g. 14) jusqu’à ce qu’elle rencontre le plan Pg de section droite qui contient le centre C de l’ellipse EF , on déterminera le point Z", et la distance G'TJ’ étant portée de G' en Z', sur la verticale (fig. 23), on obtiendra le foyer Z', vers lequel concourentles tangentes aux points d’intersections de la circonférence F'H', avec les projections des courbes suivant lesquelles le plan vertical (fig. 13 ) coupe les surfaces hélicoïdales qui forment les joints de lit de la voûte.

On a vu, au n” 107, quelles sont les considérations géométriques qui déterminent la construction précédente.

186. Le point 7J que nous venons d’obtenir sur la fig. 23, pourra servir à vérifier la courbure des coupes de joint parle plan P^ mais il ne doit pas être confondu avec le point de concours dont M. Buck avait cru reconnaître l’existence (70).

En elTet, si l’on dirigeait les coupes de joint par le plan P^ vers le foyer Z' que nous venons d’obtenir, cela reviendrait à remplacer chacune de ces courbes par sa tangente, et l’écartement de ces deux lignes vers l’extrados modifierait sensiblement la surface hélicoïdale qui forme le joint

187. Je crois donc que, si l’on veut avoir des coupes de joint droites sur les têtes , sans altérer d’une manière sensible les surfaces des joints continus, il vaut mieux, supposer SL^ec M. Buck qu’il existe un point O', vers lequel concourent les cordes de toutes les coupes.

Si le point dont nous parlons existait réellement , et que l’on connût sa position , il est évident que cela dispenserait de construire les courbes de sections des joints de lit par le plan puisque ces courbes seraient remplacées par leurs cordes, dont on aurait le point de concours.

188. Or on peut sans inconvénient pour la pratique admettre l’existence de ce point , et dans ce cas, on pourra le dé terminer avec une exactitude suffisante par la rencon tre de la verticale H'G' avec la corde de l’une des courbes suivant lesquelles le plan Pj coupe les joints hélicoïdaux.

Il suffira donc de construire avec soin l’une de ces courbes.

189. J’ai choisi de préférence la coupe de joint qui, sur la figure 23, est la troisième à partir delà naissance, parce qu’au-dessous, et par suite de la variation trop sensible de courbure de ces lignes, les points suivant suivant lesquels leurs cordes coupent la verticale H'C s’éloignent trop du point de concours TJ des tangentes , et pour les coupes de joint au-dessus, ces intersections se feraient suivant des angles trop aigus pour que l’on pût compter sur leur exactitude.

D’ailleurs, pour les courbes supérieures, les cordes se rapprochant de la verticale , leur direction ne peut pas être affectée d’une quantité appréciable, par la différence qui existe entre le point O’ et les points suivant lesquels chacune d’elles coupe la verticale H'C. "