Application des principes précédents. — La

planche 10 a pour but l’étude d’un pont biais à section droite circulaire pour la construction duquel on aurait

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employé les méthodes exposées dans les articles précédents. Cette épure sera donc le résumé de tout ce que nous avons dit depuis le n° 220 jusqu’au point où nous sommes parvenus.

Les données de la question à résoudre étant la projection horizontale du pont (fig. 6) et l’une des deux sections droites rabattues (fig. 8,9, 13 et 14).

On déterminera l’appareil des piles et l’épaisseur de la voûte, puis on exécutera successivement les opérations suivantes ;

1° KBBa On divisera les arcs de cercles 0-6, fig. 8 et 14 en parties égales et l’on construira les génératrices du cylindre d’intrados, sur la projection horizontale (fig. 6), et sur le développement (fig. 4 ou 12).

Ces génératrices n’ont pas été conservées sur l’épure .

2” MB On construira (fig. 4) la sinusoïde acs suivant laquelle se développe l’arc de tête as et l’on divisera la corde de cette sinusoïde en autant de parties égales que l’on voudra obtenir de voussoirs sur la tête.

Dans le cas actuel , chaque tête contient vingt et un claveaux.

30 Bmm On déterminera la direction des hélices développées , et par suite, l’angle intradossal, en opérant comme nous l’avons dit au n“ 57.

4" Kawwirtj Les hélices étant développées [fig. 4) , il sera facile de construire leurs projections horizontales (fig. 6), et les projections verticales des mêmes courbes sur la ligure 5 (66, 67).

b'* En faisant OO' de la figure 5 , égale à la droite CO de la figure 4, on obtiendra le foyer O' vers lequel on fera concourir toutes les coupes des joints parle plan de tête , en remplaçant chacune de ces courbes par sa tangente , ce qui ne présente pas ici l’inconvénient

que nous avons signalé au n*" 191 , parce que les joints longitudinaux ne sont pas brisés par ceux de la corne de vache.

6® On supposera dans cet exemple [fig. 5) que les faces des voussoirs de tête sont limitées en dessus par l’ellipse suivant laquelle le plan de tête couperait le prolongement du cylindre qui a pour directrice l’arc 20-19 de la section droite (fig. 8).

261. Taille des voussoirs. Si le pont doit être entièrement en pierres de taille, on étudiera l’appareil sur le développement (fig. 4), que l’on complétera comme cela est indiqué sur la figure 26 de la planche 1.

On économisera beaucoup le temps et la pierre si l’on peut faire tous les voussoirs égaux ou à peu près entre eux. Nous avons dit au n° 65 comment on pourra obtenir ce résultat.

Cela étant fait, on taillera autant de voussoirs qu’il en faut pour construire la voûte et les têtes.

Tous ces voussoirs devant être égaux entre eux, il suffira d’en projeter un seul, et l’on choisira pour plus de simplicité l’un de ceux dont le centre est situé dans le plan vertical qui contient l’axe du berceau (158).

Les voussoirs pourront être taillés par l’une quelconque des méthodes indiquées aux n®® 157, 224, 241 ou 247.

Je n’ai indiqué sur l’épure actuelle que la méthode du n« 157;

WH» Parce que c’est la seule qui conserve dans toute leur intégrité les propriétés géométriques indiquées par la théorie.

2° Parce qu’elle est extrêmement simple , puisque les deux panneaux A", A"' de la figure 6 et le panneau de développement A*'" (fig. 17) suffiront pour tailler toute la voûte.

Si l’on veut employer d’autres méthodes , on consultera les deux planches précédentes.

Si le pont doit être en maçonnerie, on ne taillera que le nombre de claveaux nécessaire pour les têtes.

Dans le cas actuel , on devra tailler quarante-deux claveaux.

Les dimensions du voussoir projeté en A devront être calculées d’après la longueur du plus grand des claveaux que Ton veut obtenir; c’est-à-dire que la courbe rampante AA (fig. 6 et 8) doit excéder un peu la longueur que doit avoir le voussoir lorsque l’on aura taillé la tête.

On pourra économiser la pierre en faisant deux projections : l’une pour les grands voussoirs de la tête, et l’autre pour les petits.

262. J’ai rappelé par les figures 9 et 13 les deux méthodes exposées aux n®® 255 et 259 pour obtenir les beuveaux nécessaires à la coupe des plans de tête. La figure 13 contient les beuveaux obtenus par la méthode indiquée dans le mémoire de M. de la Gournerie. Pour éviter la confusion , je n’ai conservé les lignes d’opérations que pour le deuxième beuveau , à partir de la naissance. Ainsi, on se rappellera qu’après avoir fait G'O" de la figure 13 égale à GO de la figure 4 , et 0"Q' de la figure 13, égale à sO de la figure 4.

Il ne reste plus pour chaque beuveau qu’à tracer :

1® ““ le rayon G'V;

2® KM la droite VV' tangente au point V ;

3® MMB la droite Q'V' perpendiculaire sur la tangente VY' ;

4° — la droite 0"V.

Ce qui donnera l’angle demandé DV'T, dont on remplacera le côté droit V'T par l’arc d’ellipse V'K (258).

263. Sur la figure 9 j’ai rappelé la construction que j’ayais indiquée au n® 257.

Ainsi , après avoir décrit du point O comme centre les deux cercles 0'0"0'" et QSQ' qui ont pour rayons les droites CO et sO de la figure 12 , on tracera :

1® mfWÊB Le rayon YG' que Ton prolongera jusqu’à ce qu’il coupe les deux circonférences concentriques aux points E. et S.

2® mBom On construira le triangle RSN rectangle en N.

3» hhbbbs La droite NY'D sera l’un des côtés V'D de l’angle cherché dont on remplacera le second côté par l’arc d’ellipse V'K (268).

On remarquera que l’ellipse 0"NQ^, dont nous avons parlé au n® 256 , n’est employée ici que comme vérification ; de sorte que tout se réduit, comme nous l’avons déjà dit (257), à la construction des quatre droites VS , RN, SN et m’B.

264. Liaison des vonssoirs de tête avec la maçonnerie du mur. — Si l’extrados des voussoirs de tête reste parallèle au cylindre d’intrados Çfig. 8), les moellons qui forment la maçonnerie du mur s’appuyeront sur des surfaces inclinées en sens contraires.

Les uns, du côté de l’angle obtus, tendront à glisser suivant la direction de la flèche b , mais ils rencontreront dans la masse une résistance suffisante , et l’eftèt sera réduit à la compression des mortiers. Mais, du côté de l’angle aigu, le danger peut être beaucoup plus grand ; et si les matériaux n’ont pas été bien liés , une partie HH' de la maçonnerie du mur (fig. 6 et 5) pourra se détacher et tomber dans le vide, en glissant sur l’extrados des voussoirs , suivant la direction indiquée par la flèche d.

Dans tous les cas , en admettant que la liaison des assises horizontales des moellons s’oppose au déversement et

par suite au gauchissement du mur, il existera toujours sur les voussoirs de tête une pression verticale , et les effets que cette force produit au moment du décintrement paraîtront d’abord très-singuliers.

266. En effet, par suite de l’inclinaison en sens contraire, des joints continus hélicoïdaux, on devrait penser que les claveaux du côté de l’angle aigu a de la tête tendront à glisser sur leur lit , en se dirigeant vers le vide , tandis que du côté de l’angle obtus s ils seront entraînés vers la pile. Or, cela aurait évidemment lieu si les voussoirs n’étaient entraînés que par leur propre poids. Mais, par suite de la pression verticale exercée sur l’arc de tête par les assises en maçonnerie du mur, c’est précisément le contraire qui a lieu.

C’est-à-dire que les voussoirs du côté de l’angle obtus tendent à sortir, tandis que du côté de l’angle aigu ils rentrent dans la masse. Ce dernier effet, se bornant à la comj pression du mortier qui garnit le joint postérieur du vous- I soir , ne présente pas un grand inconvénient^ mais il n’en j est pas de même du mouvement vers le vide des voussoirs I de l’angle obtus qui ne peuvent souvent être retenus que I par des tirants reliés avec les assises de la pile ou de la 1 tête opposée. Ces mouvements, observés par M. Graelî’, i au moment du décintrement de plusieurs ponts biais,

I proviennent sans doute de l’inclinaison en sens contraires ! des surfaces d’extrados des voussoirs de tête.

I En effet, du côté de l’angle obtus s la pression verticale I produite par le poids des assises du mur agit sur l’extra- ! dos de l’arc de tête comme sur la face d’un coin dont la j tête serait tournée en dehors , ce qui évidemment aurait pour résultat de chasser ce coin dans le vide.

I Cette force sera en partie détruite par l’inclinaison du ! joint béiicoïdal sur lequel le vouçspir est placé ; mais ce

dernier joint, qui forme le lit de pose, étant moins incliné que le joint supérieur sur lequel agit la pression, Felïet que nous venons d’indiquer sera le résultat de la différence de ces deux inclinaisons.

Du côté de l’angle aigu , au contraire, la force produite par le poids des assises du mur agit sur l’extrados des voussoirs comme sur un coin dont la tête serait tournée du côté dupont; et si nous admettons que la maçonnerie soit assez Lien liée pour qu’aucune partie du mur ne puisse se détacher de la masse et glisser dans le vide , la pression verticale agira seule et son effet sera de faire rentrer le voussoir autant que le permettra l’élasticité du mortier qui garnit le joint postérieur.

266. Il résulte évidemment de ce qui précède , que l’on neutralisera en partie la cause de destruction que nous venons de signaler en extradossant les voussoirs de tête par une surface cylindrique perpendiculaire au plan P qui forme le parement extérieur du mur.

Cela pourra se faire comme on le voit sur les figures 2 et 3.

267. Ainsi lorsque l’on aura taillé le plan de tête, en opérant comme nous l’avons dit au n'* 254, on y appliquera le panneau correspondant M , donné par la figure 5 ; puis on taillera la petite surface cylindrique mmnn perpendiculaire au plan de tête.

Il n’est pas nécessaire que ces coupes soient indiquées sur l’épure , on peut facilement les faire sur le chantier, et même sur le cintre , avec une équerre ou heuveau en fer placé comme on le voit sur les figures 2 et 3.

Pour les voussoirs de l’angle aigu (fig. 2), il suffira de retrancher la partie de pierre mmnnuu , mais il est évident que du côté de l’angle obtus (^fig. 3) le voussoir ne serait

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pas assez grand , et Ton devra lui donner plus de hauteur afin qu’il puisse contenir la partie mnu comprise entre l’extrados mk du berceau , et la petite surface cylindrique mmn perpendiculaire au plan de tête.

268. On peut facilement déterminer les dimensions des blocs nécessaires pour obtenir ce résultat. En effet . supposons que le rectangle 20-21-22-23 désigné sur la figure 6 par une teinte de points. Soit la projection horizontale de la surface cylindrique qui doit former l’extrados des voussoirs de tête; la droite 21-22 sera la projection d’une ellipse égale et parallèle à 20-23. La projection verticale de l’ellipse 21-22 sur le plan de section droite (fig. 8), sera une demi-circonférence 21-18-22 dont le centre 24 Çfig. 6) sera projeté en 24 sur la figure 8 , et qui aura pour rayon la droite 24-21 égale à G- 20 : de sorte que la projection du cylindre horizontal et perpendiculaire aux têtes, qui doit former l’extrados des voussoirs, sera limitée, pour les voussoirs de l’angle aigu, par l’arc de cercle 20-19. et du côté de l’angle obtus par l’arc 21-18.

Par conséquent, si du côté de l’angle obtus, on prolonge l’épaisseur des voussoirs de tête, jusqu’au cylindre qui aurait pour section droite le quart de cercle 21-18, la pierre que I on obtiendra dans ce cas sera suffisante pour que l’on puisse tailler le petit cylindre mmn perpendiculaire au plan de tête (fig. 3) .

269. L’arc 21-18 (fig. 8) n’ayant pas le même centre que l’arc d’intrados 0-6, il faudrait opérer comme nous l’avons dit au n“ 169, et faire par conséquent une projection particulière pour chaque voussoir, ce qui augmenterait beaucoup le travail , et par suite les chances d’erreur. Je crois donc qu’il vaut mieux sacrifier un peu de pierre , et tailler tous les voussoirs de la tête, du côté de l’angle

obtus , comme si Fextrados était formé par le cylindre circulaire qui aurait pour section droite l’arc de cercle 21-36, décrit comme l’intrados, du point G comme centre.

270. La solution précédente détruit les forces qui tendent à faire gauchir le mur , en entraînant dans le xide la partie qui correspond à l’angle aigu 5 mais les moellons posés sur la surface cylindrique 20-21-22-23 ne sont pas dans de bonnes conditions de stabilité, et l’on satisfera beaucoup mieux à la question qui nous occupe en extradossant les xoussoirs de tête, comme on le voit sur la figure 16, qui est la projection de la tête formée par le plan

En effet, les faces supérieures des voussoirs seront alors des plans horizontaux parfaitement convenables pour recevoir les moellons du mur.

Ces lits se tailleront comme les surfaces cylindriques dont nous venons de parler, c’est-à-dire qu’après avoir dressé le plan de tête (fig. 10 et 11), on y appliquera le panneau correspondant M' donné par la figure 16, puis avec un beuveau rectangulaire on taillera la face horizontale mmnn du voussoir.

Quant à la face verticale m'xnz , on la fera également perpendiculaire au plan de tête , ce qui sera facile du coté de l’angle aigu, en entaillant la pierre comme on le voit figure 10.

Pour les voussoirs qui sont du côté de l’angle obtus , cela ne sera plus possible ; et si l’on se contentait d’abattre les angles suivant des plans perpendiculaires au plan P^ de la tête , la pierre aurait la forme qui est représentée en perspective sur la figure 7, e’est-à-dire que la face supérieure serait le triangle mm'n dont les côtés sont la droite mm' du panneau de tête M' (fig. 16), la courbe mn suivant laquelle le joint hélicoïdal mnkh serait coupé par

le plan horizontal qui contient la droite mm!, et la courbe m’n suivant laquelle le meme plan coupe l’extrados ns du berceau. Tandis que la face verticale m'n'x du voussoir aurait pour côtés la droite m'x du panneau de tête , la courbe n'x intersection du joint hélicoïdal n'r du voussoir par le plan vertical m'n'x et la courbe m'n, suivant laquelle le même plan coupe le cylindre d’extrados.

Or, il est évident que cette solution ne remédierait que d’une manière incomplète aux inconvénients que nous avons signalés au n" 264, et que, si l’on veut augmenter la surface horizontale du lit sur lequel on doit poser les moellons du mur, il faut c[ue le voussoir, du côté de l’angle obtus , ait une hauteur suffisante pour que l’on puisse tailler la face horizontale mmnn' {fig. H).

271 . Dans ce cas, pour déterminer l’épaisseur des claj veaux courants ou courbes rampantes qui doivent contenir les voussoirs de tête, on construira sur la figure 16 une j ellipse 25-26-27, semblable à l’ellipse 32-35-34 et suffij samment grande pour circonscrire entièrement tout l’ap- I pareil de tête.

1 On déterminera sur la figure 6 l’épaisseur 25-28 que l’on voudra donner aux assises du mur, et l’on tracera la droite 28-30 parallèle à 25-27.

Le rectangle 25-27-30-28 , désigné sur la figure 6 par I une teinte de points, contiendra évidemment les projections de tous les quadrilatères horizontaux qui forment les faces supérieures des voussoirs de tête.

Or, si par le point 30 on conçoit une droite KL perpendiculaire sur le plan de section droite {fig. 14), le cylindre circulaire engendré par cette ligne enveloppera tous les voussoirs de tête, et l’épaisseur du plus grand de tous ces voussoirs n’excédera pas la différence qui existe entre les

rayons C-0 et C-36 des deux circonférences concentriques 0-6 et 36-37 (fîg. 14).

Il résulte évidemment de là qu’une seule épure , telle que l’une de celles que nous avons expliquées aux n®® 157, 241 ou 247, suffira pour tailler tous les claveaux des deux têtes du pont.

272. Cependant, si le pont devait être tout entier en pierres détaillé, on ferait bien, comme nous l’avons indiqué sur la planche actuelle, de faire deux épures. Ainsi , les projections A, A", A" (fig. 6) et les développements A‘^ de la figure 17 suffiront pour tailler tous les claveaux courants de la voûte, tandis que les projections B, B", B'" (fig. 6) et les développements B*'" de la figure 1 suffiront pour tous les voussoirs de tête.

Si l’on veut économiser la pierre , on pourra faire une épure spéciale pour les petits voussoirs de tête, et l’on pourra aussi en faire une pour les claveaux du côté de l’angle aigu, qui n’exigent pas autant de pierre que ceux de l’angle obtus.

En effet, on remarquera (fig. 10) que la courbe rampante enveloppe sera suffisante, si l’extrados contient le point m' du panneau de tête Çfig. 10 et 16).

Or , le point m' de la figure 16 se projettera en m” sur la figure 6, et de là en m"' sur la figure 14, en faisant la hauteur de ce dernier point , au-dessus de l’horizontale 30-36, égale à la hauteur de m! au-dessus de l’horizontale 25*27 (fig. 16), et comme le voussoir que nous avons choisi est le plus saillant de tous ceux qui sont du côté de l’angle aigu, il s’ensuit que pour ces voussoirs on pourra se contenter d’extradosser la courbe rampante enveloppe par le cylindre qui aurait pour section droite Tare de cercle 38-39, décrit du point G comme centre (flg. 14) .

273. Corne de vache. On comprend jusqu’à un certain point que les constructeurs de ponts biais aient cru pouvoir accepter les angles aigus que les joints réglés hélicoïdaux font avec le plan de la tête dans le voisinage des naissances. En effet, si les surfaces de pose sont taillées avec beaucoup de précision , si elles sont parfaitement identiques , si enfin le joint est complètement garni de bon mortier , les deux pierres contiguës n’en feront en quelque sorte qu’une seule , et l’angle aigu recevra de l’angle obtus, qui lui est adjacent , le supplément de force qui lui manque. Mais il n’en est pas de même des angles que la douelle ou intrados du cylindre fait avec le plan de tête du côté de l’angle aigu de la pile.

En effet, ces angles, entièrement isolés dans l’espace , exposés par conséquent aux intempéries de l’atmosphère et aux chocs produits par les voitures ou par les matériaux souvent très-volumineux dont elles sont surchargées , ne résisteraient pas longtemps à ces nombreuses causes de destruction; c’est pourquoi quelques constructeurs ont jugé utile de les abattre et, pour éviter les éclats qui pourraient avoir lieu au moment de la pose ou du décintrement , on préfère ordinairement exécuter cette opération sur le chantier. Nous allons indiquer la manière la plus usitée de résoudre cette question.

274. Du côté de l’angle aigu a' {fig. 6) on coupera la pile par un plan vertical, 31-32, perpendiculaire à la face de tête. La position de ce plan dépendra de la largeur que l’on voudra donner à la corne de vache ; et, du côté de l’angle obtus, on coupera la pile par un plan vertical dont la trace , 33-34 , sera déterminée en faisant

Les droites, 31-33 et 32-34, seront les projections horizontales de deux ellipses semblables , qui formeront les arêtes de la corne de vache.

Ces deux ellipses seront coupées par les joints réglés hélicoïdaux , suivant les points 10, 11, 12, etc. ifig. 16).

275. Les droites qui joindront les points 10, 11, 12 , etc. , de l’ellipse 31-33, avec les points correspondants de l’ellipse 32-34, pourront être considérées comme les génératrices d’une surface réglée qui formera l’intrados de la corne de vache.

Cette surface sera beaucoup plus facile à tailler qu'un cône qui aurait pour sommet le point de rencontre des droites 32-31 et 34-33 de la figure 6, parce que les génératrices d’un pareil cône couperaient obliquement les arêtes de joint 10-10 et 11-11 de la corne de vache (fig. 16), tandis qu’en prenant les milieux des deux arcs 10-11 , on déterminera très-facilement une génératrice intermédiaire, 40, sur la douelle de chaque voussoir.

276. Il paraît tout naturel que l’on ait coupé l’angle aigu de la pile par un plan, 31-32, perpendiculaire à la face de tête, mais on ne comprend pas aussi bien pourquoi on a cru devoir également couper l’angle obtus. La nécessité d’une pareille coupe ne paraît nullement motivée au premier abord. Mais en y réfléchissant on verra, qu’à moins d’employer la solution que j’ai donnée sur la planche 7, il était difficile d’agir autrement.

En elTet, si l’on ne coupait pas l’angle obtus, les joints de tête de ce côté conserveraient toute leur lonsrueur, tandis que, du côté de l’angle aigu, ces lignes seraient diminuées de toute la quantité indiquée sur la figure 5 par une ligne de points , G ; ce qui , évidemment , détruirait la symétrie de l’appareil de tête et serait beau-

coup plus disgracieux que la solution qui est projetée sur la figure 16.

Au surplus, en renversant l’épure, on pourra juger de l’effet produit par la disposition d’appareil que nous venons d’indiquer.

277. Nous avons dit précédemment que la taille de la corne de vache ne présentait aucune difficulté.

En effet , quand on aura taillé la face de tête Çfig. 15 ou 11), on y appliquera l’un des panneaux raccourcis, V (fig. 5) ou V' (fi.g. 16), selon l’appareil que l’on aura cru devoir adopter.

On appliquera également sur la douelle le panneau raccourci U' de la figure 12, et les deux arcs 10-11 de ces panneaux, serviront de directrices pour tailler la douelle de la corne de vache dont on tracera une génératrice in- ! termédiaire, 40 Çfig. 16 et 15).

Ainsi, en résumant, on taillera :

1" Le parallélipipède enveloppe , dont les dimensions seront déterminées par les projections *8, B' (fig. 6 et 14).

2° mmÊm Le claveau courant ou courhe rampante , en opérant comme nous l’avons dit aux n®® 157, 224, 241 ou 247.

3® mmamm Le plan de tête , au moyen des heuveaux correspondants donnés par l’une des figures 9 ou 13. 4® Les surfaces cylindric|ues mmnn (fig. 2 et 3), ou les surfaces planes mm'nn, mmnn' (fig. 10 et 11), destinées à recevoir les moellons ou les briques qui doivent former le mur de tête.

5” M Enfin , la corne de vache , en opérant comme nous venons de le dire.

PL. il.