inclinaison des joints continus. — Si le lit de

pose est une surface courbe , on supposera que la pression agit sur un plan tangent à cette surface , au point où elle serait percée par la résultante des forces qui sollicitent les assises supérieures.

Ainsi , pour étudier les effets de la poussée sur le joint hélicoî-dal OAB d’un pont biais (fiçj. 7), nous supposerons que toutes les pressions provenant des assises supérieures

agissent suivant les différents points de l’hélice 0-8 qui le partagerait en deux parties égales; et pour simplifier la question, nous remplacerons la surface par le plan qui lui est tangent au point suivant lequel agit la force que nous voulons apprécier.

285. Supposons, par exemple (fig,.!) , que nous voulons déterminer les effets delà pression au point 5 du joint hélicoïdal AOB qui appartient à un pont dont la section droite demi-circulaire est rabattue {fig. 6) : nous commencerons par construire le plan tangent au point dont il s’agit.

Ce plan sera déterminé par la normale génératrice du joint hélicoïdal, et par la tangente au point 5 de l’hélice 0-8. Ainsi :

aasBEsa La droite 5 W tangente au point 5' de la section droite (fig. 6), sera la projection verticale de la tangente au point 5 de l’hélice 0-8.

2® maaorn On portera de 5' en u’ les parties de l’arc de cercle 0-5' dont on obtiendra ainsi la longueur rectifiée.

30 mmmm La perpendiculaire w'w déterminera (fig, 7) le point U , que l’on joindra avec 5, ce qui déterminera la projection horizontale 5-w de la tangente au point 5 de l’hélice 0-8.

4® Ma™ La normale 5-n , 5'-n' génératrice du joint réglé hélicoïdal pourra être considérée comme une deuxième tangente au point 5, 5’ de cette surface, et le plan tangent au même point , sera par conséquent déterminé par les deux tangentes ô-u et 5-n , dont on construira les traces horizontales n , t? , et par suite la trace vn du plan Pg tangent au point 5 de Thélice 0-8.

PL. i\.

PONIS BIAIS.

La droite 5-m, perpendiculaire sur la trace vn du plan tangent sera la ligne de plus grande pente de ce plan , et représente par conséquent la direction suivant laquelle le voussoir tend à glisser sur son lit.

286. Si l’on connaissait la quantité et la direction exacte de la pression qui agit au point 5, on pourrait déterminer par le calcul , et même par une construction graphique , l’énergie de la force qui tend à entraîner le voussoir.

Mais l’impossibilité dans laquelle on se trouve de déterminer exactement les résistances qui résultent pour un point donné, du frottement , de la courbure du lit , de l’adhérence des mortiers , et de l’enchevêtrement des voussoirs, rend ces recherches plus curieuses que véritablement utiles pour la pratique; et dans tous les cas , elles détourneraient l’attention du lecteur de la question qui nous occupe , et qui dépend plus delà direction, que de l’intensité des forces agissantes.

287. En opérant comme nous l’avons dit au n® 285 , on obtiendra la direction de la plus grande pente du plan tangent , non-seulement pour chaque point de l’hélice 0-8, mais encore , si l’on veut , pour un point quelconque du lit.

La figure 7 contient les traces horizontales des plans tangents aux points 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., du joint hélicoïdal 0-8; celanous suffit pour expliquer ce qu’il est essentiel de bien comprendre dans la question actuelle.

Chaque flèche indique la direction de la ligne de plus grande pente pour le plan tangent correspondant. Cette direction change à mesure que l’on s’élève en suivant l’hélice 0-8, ce qui a conduit plusieurs ingénieurs à faire une observation très-importante.

PL. il.

288. Supposons, par exemple, qu’une partie du berceau circulaire, projeté sur les figures 6 et 7, forme la voûte d’un pont biais dont le plan de tête An', parallèle à CD, serait , comme nous l’avons dit bien des fois, perpendiculaire ou à peu près, à la tangente horizontale OL de l’hélice d’intrados 0-8.

On remarquera que depuis la flèche 0 jusqu’à celle qui correspond au point x , les lignes de pente des plans tangents sont dirigées du côté du plan de tête où existe le vide ; tandis que , depuis la flèche jusqu’au point qui est le plus élevé de la voûte , ces flèches sont dirigées du côté où la masse de la maçonnerie oppose une résistance suffisante.

D’où il résulte que si l’on supprimait toute la partie de voûte qui est au- dessous de la génératrice horizontale qui contient le point x de l’hélice 0-8 , on aurait retranché tous les voussoirs qui tendent à se détacher delà masse.

Les voûtes biaises projetées sur les figures 14 et 21 feront comprendre l’application du principe que nous venons d’exposer , et l’on conçoit alors combien il devient intéressant de connaître exactement la hauteur de la génératrice horizontale au-dessous de laquelle les voussoirs tendent à être entraînés dans le vide.

M. Buck, dans l’ouvrage que nous avons plusieurs fois cité; M. de Gayflier, dans Tune des notes du manuel, et M. de la Gournerie dans son Mémoire ( Annales des Ponts), ont employé le calcul pour déterminer la position du point dont il s’agit.

Nous n’emploierons ici que la géométrie descriptive qui nous donnera une exactitude suffisante pour la pratique.

289. Supposons que le point 0 de l’hélice 0-8, se mette en mouvement sur cette courbe, en entraînant avec lui le

PL. il.

plan tangent à la surface réglée hélicoïdale qui forme le joint continu ABO. Ce plan changera de direction pour chaque position du point mobile, et la question revient à déterminer quelle doit être la position de ce point, pour que le plan tangent correspondant soit perpendiculaire au plan Aîi' de la tête, ou, ce qui est la même chose, parallèle à une droite ON qui serait perpendiculaire au plan vertical An'.

Le problème à résoudre peut donc s’énoncer ainsi : construire un plan tangent à une surface réglée hélicoïdale^ parallèlement à une droite donnée. Cette question que nous avons déjà rencontrée au n° 380 du Traité des Ombres , peut être résolue de la manière suivante :

Le plan tangent au joint réglé hélicoïdal , en un point quelconque de l’hélice 0-8 , sera déterminé par la tangente à cette courbe, et par la normale génératrice de la surface du joint.

Ces deux lignes, perpendiculaires l’une à l’autre , coupent la génératrice du cylindre d’intrados , suivant des angles constants; d’où il suit que les plans tangents aux différents points de l’hélice 0-8, feront tous le même angle avec l’axe du cylindre , et par conséquent seront tous également inclinés sur le plan de section droite n'v' ou IL.

Cette inclinaison sera exprimée par l’angle ALO, parce qu’au point 8 del’h^élice 0-8, le plan tangent devient vertical, puisqu’il contient évidemment la verticale projetante du point O.

Or, si nous faisons tourner autour de l’axe de la voûte le plan vertical tangent au point 8 du joint réglé hélicoïdal ABO , la droite horizontale OL engendrera le cône circulaire LOT, et tous les plans tangents à ce cône couperont le plan de section droite IL suivant l’angle constant ALO.

Mais parmi tous les plans tangents au cône dont nous venons de parler, il y en aura un parallèle au plan de-

Î’ONTS BIAIS.

mandé, et pour obtenir sa direction dans l’espace, il suffira de construire un plan tangent au cône LOI perpendiculairement au plan An' de la tête. Pour cela , on tracera :

1» EffiBOBH La projection horizontale d’une droite ON passant par le sommet O du cône , et perpendiculaire au plan An' de la tête.

2» maiEsa La projcction verticale O'N' de cette droite sera parallèle au plan horizontal et par conséquent à la droite nV.

30 ssmsasi Le cerclc de rayon O'L' (fig. 6) sera la section du cône LOI par le plan IL perpendiculaire sur son axe.

On déterminera le point N' suivant lequel la droite ON perce le plan vertical qui contient la base IL du cône.

50 La droite N'K' tangente au cercle de rayon O'L' pourra être considérée comme la trace verticale du plan tangent vertical OL que l’on aurait fait tourner autour du cône auxiliaire , jusqu’à ce qu’il contienne la droite ON , et qu’il soit par conséquent perpendiculaire au plan An' delà tête.

6° ■aossasi Le rayon n'k' parallèle à la trace K'N' du plan tangent déterminera la projection x' du point cherché sur le plan de section droite n'v' ^ et par suite la projection horizontale x du même point sur l’hélice d’intrados 0-8 (^fig. 7).

Le plan tangent au point xx' contiendra la droite x'r' ^ xr, tangente au point x de l’hélice 0-8 et la normale xe génératrice du joint continu AOB figure 7.

51 l’on a bien opéré, la trace er de ce plan sera perpendiculaire au plan An' de la tête et sa ligne de plus grande pente xy sera par conséquent parallèle aux têtes.