CHAPITRE V
JOIIVTS CYLINDRIQUES.
‘406. Joints continus. — A Texception de M. de la Gournerie, les ingénieurs qui ont écrit sur la construction des ponts biais se sont presque exclusivement occupés de la disposition plus ou moins rectangulaire des arêtes de douelles ; mais la nature des lignes de joint n’a ici qu’une importance secondaire ; ce qui était beaucoup plus essentiel, c’était de ramener la résultante des pressions dans un plan parallèle aux têtes du berceau, afin d’éviter toute espèce de poussée au vide.
Pour résoudre cette partie de la question, nous allons retourner, pour un instant, à la planche 14, afin de rappeler au lecteur quelques-unes des idées précédentes.
407. Si l’on employait pour surfaces de joints (fig. 3) des plans normaux passant par les génératrices du cylindre, les pressions de toutes les parties de la voûte sur ces plans se composeraient (^fig. 4) suivant deux résul-
tantes F, F, perpendiculaires à la direction du berceau, et qui tendraient évidemment à renverser les angles aigus A et B des pieds-droits^ or c’est précisément cette poussée au vide qu’il faut tâcher d’éviter.
L’appareil hélicoïdal et les modifications que nous lui avons fait subir dans les chapitres précédents font disparaître une partie de cette poussée, mais la question est encore loin d’être résolue d’une manière complète.
Je rappellerai d’abord {fig. 13) que les mouvements de rotation que l’on a souvent remarqués au moment du décintrenient , sont dus principalement (fig. 14) à l’inclinaison en sens contraire des surfaces réglées normales formées par les joints des moellons, briques ou pierres appareillés qui composent la voûte , et nous avons dû en conclure (310) que cette cause de torsion serait annulée en partie, si l’on prenait pour joints transversaux des plans parallèles aux têtes; de sorte qu’il ne restera plus qu’à détruire le couple de rotation provenant de l’inclinaison en sens contraire des surfaces réglées qui forment les joints continus. Nous allons voir comment on peut atteindre ce but.
408. Joints cylindriques. — On remarquera que la projection v'u'n' de la normale sur le plan de la figure 5 se confond avec celle du rayon m'u' , tangent à la projection de la trajectoire. En efi’et, soit (fig. Il) cao, c'o'y les projections de la section circulaire parallèle aux têtes du berceau; la droite tu, t'u', tangente à cette courbe sera parallèle au plan vertical de projection, et, par conséquent, à la vrace verticale du plan tangent en u, d’où il résulte que la projection verticale vn de la normale doit se confondre avec le rayon um du cercle cao.
Ainsi (fig. 5) les projections verticales des normales à la voûte se confondront avec celles des tangentes à la
trajectoire, d’où il résulte que le cylindre horizontal projetant de cette courbe sera tangent à la surface réglée normale dans toute l’étendue de l’aréte de joint.
De Y^los, ces deux surfaces différant très-peu l’une de l’autre dans les limites déterminées par l’épaisseur de la voûte, il sera permis de remplacer la surface normale par le cylindre projetant de la trajectoire.
409. Cette dernière surface , indépendamment de la simplicité de sa génération, satisfait de la manière la plus complète aux conditions de stabilité*, car il est évident que les forces provenant de la pression exercée sur les joints par le poids des assises supérieures se composeront, dans le cas actuel, comme si elles agissaient sur des plans tangents au cylindre projetant de la courbe ax (fig. 9 et 12), et la résultante de toutes les pressions qui ont lieu sur les joints longitudinaux, sera, par conséquent , ramenée dans un plan parallèle aux têtes.
410. M. de la Gournerie, à la page 111 de son beau Mémoire, a démontré qu’en chaque point de la trajectoire le plan tangent à la surface du lit est perpendiculaire au plan de tête, et il ajoute dans une note : «C’est cette » propriété qui forme l’avantage essentiel de l’appareil » orthogonal. Nous n' osons pas la présenter comm.e nou- » celle, et cependant nous ne l'avons vue explicitement ex- 'ù primée nulle part.))
Or, je rappellerai ici que, dès l’année 1840, lorsque je me suis occupé pour la première fois de ponts biais, dans la deuxième édition de mon Traité de la coupe des pierres, j’ai appelé l’attention des ingénieurs sur la propriété précédente, qui permet de détruire complètement
la poussée au vide, en remplaçant les joints normaux continus par les CTiiiMDREü projetants res trajectoires.
M. de la Gournerie est donc arrivé, en 1851, par l’analyse algébrique , au point où j’étais parvenu, en 1840, par des considérations plus élémentaires.
Dominé par cette idée , que les joints d’une voûte doivent être nécessairement normaetl à la douelle , il n’a pas cru devoir entrer dans la voie que j’avais indiquée. Ainsi, après avoir reconnu que les plans tangents à la surface normale, suivant les différents points de la trajectoire, sont perpendiculaires aux plans des têtes, il ajoute, page 111 : « Les plans tangents aux autres points » d’un lit ne sont pas perpendiculaires aux plans de têtes.
» RANS AECCN APPAREIE R’ ARCHE RIAISE, Cette per-
» pendicularité ne peut être établie pour tous les points » de la surface des lits : il faudrait pour cela que les lits » pussent être des cylindres perpendiculaires aux têtes , ce » qui est impossible, »
Il conclut de là que, dans une arcbe biaise, il y a toujours une poussée au vide très^faible avec V appareil orthogonal.
411. Cette dernière remarque devient évidente si l’on jette un coup d’œil sur la figure 5, où l’on peut facilement reconnaître , comme nous l’avons déjà dit, le peu de différence qui existe entre la surface normale comprise entre les deux courbes az et n'r et le cylindre projetant de la première ; d’où il résulte que la poussée au vide sera cohreetehent rétreite si l'on remplace la surface normale par le cylindre projetant de la trajectoire.
412. Il n’est donc pas exact de dire que, dans une arche biaise^ il est impossiree que les lits soient des cylim dres perpendiculaires aux têtes.
PONTS BÏAIS.
Sans doute cela serait impossible si l’on était absolument forcé d’employer la surface normale comme lit. Mais cette obligation n’existe pas : M. de la Gournerie sait trèsbien qu’il est non-seulement permis, mais très-souvent utile dans la pratique, de remplacer les surfaces normales indiquées par la théorie par d’autres surfaces qui en diffèrent peu, mais dont la génération moins composée permet d’obtenir plus d’exactitude dans la taille, et d’augmenter, par conséquent, la solidité de la construction.
Il est donc évident, que l’impossibilité dont M. de la Gournerie a parlé plus haut doit s’entendre des surfaces normales y et non des lits qui, dans les arches biaises, et surtout avec l’appareil orthogonal, peuvent très-hien être des cylindres perpendiculaires aux têtes.
413. D’ailleurs le but que l’on se propose principalement dans l’emploi des surfaces normales étant d’éviter les angles aigus formés par la rencontre des joints avec la douelle , il est évident que l’on pourra fort souvent satisfaire à cette condition en remplaçant la surface normale CO (Jig. 2), par une autre surface ab qui lui serait tangente suivant l’arête d’intra<los et lorsque la surface normale est inclinée de manière à diriger la résultante des pressions vers les points où la résistance est insuffisante, il faut nécessairement chercher d’autres moyens de solution.
Or, dans la question actuelle, la condition la plus importante est de détruire la poussée au vide et de ramener toutes les pressions dans la direction du chemin, ce qui aura lieu complètement en adoptant :
l® Pour ligrnes de joints les sections parallèles aux têtes et les courbes qui les rencontrent partout à angles droits ;
2® Ponr surfaces de Joints les plans verticaux qui contiennent les premières courbes, et les cylindres horizontaux qui projettent les secondes sur un plan parallèle aux têtes.
414. Ponceau biais en pierres de taille. — Les principes précédents ont été appliqués (p/. 17) à la construction d’un ponceau biais en pierre de taille.
On a fait passer les trajectoires (fig. 3 et 5) par les points qui partagent en parties égales la section cao, faite au milieu de la voûte par un plan parallèle aux têtes.
La figure 9 est le développement de la douelle et la figure 6 est celui des joints cylindri{[ues.
Les figures 7 et 8 représentent les pierres de la clef.
415. Taille. — . Supposons que l’on veuille tailler le voussoir A (pg. 3 et 5). On préparera la pierre sur le panneau de projection vertical mntivrs, et l’on taillera d’abord les deux joints cylindriques nu, vr {fig. 1).
On appliquera ensuite le panneau de tête mnxzrs donné par la figure 3, et l’on tracera sur les surfaces de joints les deux courbes xu, Zv, en prenant sur la figure 5 les ordonnées de ces courbes ou bien en se servant des panneaux de développement [fig. 6).
Enfin, on taillera la surface cylindrique de la douelle {fig. 2), en faisant glisser une règle sur les quatre courbes xu, XZ, ur, zv, après avoir marqué sur ces courbes les points de repère donnés par les projections 3 et 6.
Les lignes tracées en points sur la projection horizontale de la pierre A {fig. 5) sont les génératrices des surfaces cylindriques de douelle et de joints.
Les parallèles au berceau sont les génératrices de la
doaelle, et les perpendiculaires aux plans de tête sont les génératrices des surfaces de joints.
416. Pose. Les joints de la clef et des pierres adjacentes sont formés de deux surfaces cylindriques, courbées en sens contraires et qui se touchent suivant l’horizontale projetante qui contient le point le plus élevé de la trajectoire. C’est ce qui produit le point de rebroussement a sur la projection verticale de cette courbe {fig. 5, pL 14).
Cette différence de courbure dans les joints s’opposerait à la pose des voussoirs, si l’on ne prenait pas les précautions que nous allons indiquer ;
1” B—™ On disposera l’appareil de manière à faire passer un joint transversal par chacun des points a\ a! qui correspondent au changement de courbure des joints continus.
2° On posera les pierres dans l’ordre indiqué par des chiffres sur la projection horizontale 5).
C’est-à-dire qu’après avoir posé toutes les pierres qui ne sont pas numérotées, on posera successivement deux par deux les pierres désignées par les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5, en terminant par ces dernières.
Il résulte de ce que nous venons de dire que les pierres 5 devraient être coupées aux points a" par des joints transversaux; mais comme ces coupes seraient trèsprès des plans de têtes, on pourra les supprimer, et, dans ce cas, on fera la petite portion de joint a^'w verticale, ou bien on prolongera jusqu’aux plans des têtes les joints cylindriques qui ont pour directrices les courbes
417, Lorsque le berceau aura beaucoup de biais, les
plans de joint parallèles aux tètes rencontreront la douelle suivant des angles qui seront tres-aigus vers les naissances.
J’ai conservé cette disposition dans l’exemple qui est donné ici comme étude de coupe de pierres, et dans lequel toutes les irrégularités sont exagérées avec intention, par le peu d’étendue de la voûte et par le petit nombre de voussoirs qui la composent; mais, dans la pratique, les angles aigus qui ont lieu vers les naissances pourront toujours être ramenés dans des limites convenables, en remplaçant le cintre demi- circulaire de l’exemple actuel par un arc de cercle ou d’ellipse dont les extrémités s’appuieraient sur des pieds-droits verticaux, comme on peut le voir sur les figures 14 ou 21 de la planche 11 ; et d’ailleurs, comme je l’ai fait remarquer au n® 313, les joints discontinus étant verticaux et parallèles à l’inclinaison des lits ne sont soumis à aucune pression; ce qui permet d’employer des angles plus aigus qu’il ne serait permis de le faire dans toute autre circonstance.
418. Quant à la courbure des lignes de joint sur les têtes, elle ne paraît étrange que par défaut d’habitude; car si le berceau de la planche 17 est vu de face et à quelque distance, la symétrie qui existe entre les joints de tête de gauche et les projections des trajectoires de droite, ne produit pas un efi’et plus désagréable à l’œil que beaucoup d’autres dispositions d’appareils que l’on rencontre à chaque pas dans un grand nombre de voûtes et de voussures des anciens monuments.
Enfin, dans une construction de ce genre les conditions de solidité doivent dominer toute autre considération , et si Ton ne pouvait pas éviter la courbure des lignes de joint sur les têtes, il ne faudrait certainement
ponts biais.
pas hésiter à sacrifier l’élégance de l’appareil à la sécurité des voyageurs.
419. J’ai fait exécuter avec soin le modèle du ponceau qui fait le sujet de l’étude précédente ; puis, après avoir retiré le cintre, j’ai placé sur l’extrados EE' une masse de plomb de 3600 grammes , ce qui équivaut à plus de quatre fois le poids du modèle entier, et quoique aucune liaison n’ait été introduite entre les trente-deux voussoirs qui composent la voûte, il ne s’est manifesté aucune torsion, aucune poussée au vide, aucun éclat pendant cette épreuve, que j’ai répétée un très-grand nombre de fois.
420. La théorie et l’expérience s’accordent donc pour démentir cette assertion, avancée par quelques ingénieurs, qu’aucun appareil, quels qu’en soient les artifices, ne peut détruire complètement la poussée au vide. Selon M. Graeft, à la page 6 de son Mémoire, « la poussée » au vide ne peut être annulée par aucune espèce d'appa- » reil , elle est dans la nature des choses -, mais un bon » appareil en diminue les effets. »
J’en demande bien pardon a M. Graeft, mais la poussée au vide n’est pas du tout dans la nature des choses ; elle est tout entière dans le système d’appareil adopté. Ainsi, la poussée au vide qui serait considérable si l’on appareillait un pont biais comme un berceau droit ordinaire, devient beaucoup plus faible avec l’appareil hélicoïdal; elle diminue encore si l’on adopte l’appareil orthogonal, et devient AnsoiiiiifiEiiT avec des joints cylindriques ;
en admettant, cela est bien entendu, que les joints transversaux seront des plans parallèles aux têtes (310) ; car il est bien évident que, dans ce cas, toutes les pressions dues à la pesanteur, toutes les résultantes provenant de
Finclinaison des lits, tous les petits ressorts qui résultent de l’élasticité des matériaux, toutes les contractions, enfin, qui proviennent de la compression des mortiers, agiront dans des plans parallèles aux têtes. Je craindrais de faire injure à l’intelligence du lecteur si j’employais le calcul intégral pour démontrer une vérité aussi élémentaire.
421. Application des principes précédents. — Le seul reproche sérieux quei’on pourrait adresser à la disposition d’ay)pareil adoptée pour l’épure précédente seraitla grande difiérence qui existe entre les largeurs des voussoirs de tête. On pourra facilement faire disparaître cette irrégularité en divisant l’arc de tête en parties égales , comme on le voit sur le pont qui fait le sujet de la planche 18 *, mais alors on retrouvera les crochets dont nous avons déjà parlé au n" 392. Ces crochets qui, dans un pont en petits matériaux , n’auraient à nos yeux qu’une importance trèssecondaire, ne peuvent pas être admis dans une voûte qui serait construite entièrement en pierres de taille.
En efî’et, si le joint mn (fig, 4) était prolongé jusqu’à ce qu’il rencontre en x la face postérieure du voussoir H de la tête , les parties v eiu des pierres D et K seraient évidemment trop faibles. Il sera facile d’éviter cet inconvénient en reliant les assises de la voûte avec les voussoirs de tête par des pierres que nous nommerons crochets de raccordement, et qui sont indiqués sur la figure 9 par une teinte plus foncée, afin que l’on puisse mieux en comprendre la forme.
Cette irrégularité, peu apparente, ne diminuera en rien la solidité de la voûte.
422. On pourrait bien faire passer les trajectoires qui forment les arêtes des joints continus par les points qu^ divisent les arcs de tête en parties égales; mais alors les
lignes de joint qui contiennent les points de division de Tune des têtes ne se raccorderaient pas avec celles qui aboutissent aux points de division de la tête opposée.
Dans ce cas , on pourrait, comme l’a proposé M. Graeft, altérer les trajectoires de manière à les raccorder vers le milieu de la voûte ou les faire aboutir à une chaîne de pierre, placée à égale distance, et parallèlement aux arcs de tête.
Ces deux moyens, que j’ai essayés, ne m’ont pas paru produire un bon effet et augmenteraient beaucoup les difficultés de la taille. C’est pourquoi je préfère la disposition que j’ai adoptée et qui, à la grande simplicité d’exécution, réunit l’avantage de ne rien faire perdre à la solidité du monument.
On pourra d’ailleurs , si quelques crochets étaient trop saillants, réunir deux pierres en une seule, comme, par exemple, la pierre F avec D {fig. 13). Puis on ferait un faux joint mns pour rétablir, autant que possible, la régularité de Pappareil.
Cette solution , qui exigerait quelques pierres d’une grosseur exceptionnelle, serait une augmentation de dépense insignifiante , si on la compare à l’importance du travail dont il s’agit.
Au surplus, les difficultés que nous venons de rappeler et que nous avions déjà rencontrées au n" 392 sont inévitablement la conséquence des inégalités de largeur des assises de l’appareil orthogonal.
423. Les joints cylindriques adoptés dans le cas actuel n’ont pas seulement l’avantage de détruire complètement la poussée au vide ; mais leur position dans l’espace et la simplicité de leur génération, ont pour conséquence nécessaire l’économie de la pierre , celle de la maind’œuvre, et, par suite, une exactitude dans la taille, que
POINTS BIAÎS.
l’on n’obtiendra jamais avec des joints gauches, quelle que soit du reste la courbe directrice de ces surfaces.
424. Épure. — Malgrél’étendueducadredecette épure, il ne m’a été possible d’y mettre que la moitié du plan; mais le lecteur pourra facilement compléter cette projection en employant une feuille plus grande. On pourrait d’ailleurs tailler la voûte entièrement avec les figures qui sont tracées sur la planche actuelle. En effet, si l’on faisai.t exécuter à la figure 9 une demi-révolution autour de la verticale projetante du point E jusqu’à ce que les deux points aient changé de place entre eux. On obtiendrait ainsi la seconde moitié du plan , dont l’ensemble se composerait alors de la figure 9 actuelle, et de la même figure telle qu’elle serait après la demi-révolution que nous venons de supposer.
Gela étant admis, il nous restera très-peu de chose à dire pour expliquer cette grande épure dont la construction est très-simple.
425. Les données delà question étant le plan figure 9, et l’arc de tête M^O'Mj que nous supposerons circulaire {fig. 7), on divisera cet arc en parties égales. H y a ici trente et un voussoirs.
On coupera la voûte par une suite de plans parallèles aux têtes, et l’on obtiendra, pour sections, un pareil nombre d’arcs de cercles, que l’on projettera sur la figure 7.
Ces arcs de cercles seront égaux entre eux et à l’arc de tête M^O'M^
On n’a conservé sur l’épure que les arcs provenant de la section de la voûte par les cinq plans
Les centres de ces arcs de cercles sont déterminés par les points suivant lesquelles la projection ho-
rizontale de l’axe C^E (fig. 9) est coupée par les traces des cinq plans parallèles Pg P^ et Pjj
Les projections verticales de ces points de centre sont situées sur la droite ZZ qui contient le centre G' de l’arc de tête
426. Quand ces dispositions préliminaires seront adoptées, on construira la projection verticale O'G’ d’une trajectoire, en opérant comme nous l’avons dit au n" 363; puis, en faisant avancer cette courbe horizontalement, on tracera les projections verticales de toutes les arêtes des joints continus.
On peut, comme nous l’avons déjà dit, décrire toutes ces courbes avec un seul patron découpé sur la première trajectoire obtenue (369).
Pour tracer les arêtes des voussoirs des têtes, on fera passer les trajectoires par les points qui divisent l’arc MjO'Mj en parties égales, et pour les arêtes des joints longitudinaux de la voû te on fera passer les trajectoires par les points qui divisent en parties égales l’arc MgE'M^ qui provient de la section du cylindre d’intrados par le plan Pg parallèle, et à égale distance des deux têtes.
427. Les coupes de joint sur le parement de la tête seront formées par les projections verticales des trajectoires, prolongées jusqu’à ce qu’elles rencontrent les lits de moellons, de briques, ou de pierres appareillées qui doivent former la maçonnerie du mur.
A compter du cinquième joint, en partant de la naissance, les trajectoires seront prolongées par leurs tangentes verticales jusqu’au plan horizontal par lequel on veut extradosser les voussoirs correspondants.
