Enfin la partie solide qui aurait pour arête les

quatre hélices 1-13', l^^-13‘^ 1"-14', peut être con¬

sidérée comme engendrée par le rectangle 13'-14'-13‘''- 14*"^, et n’est autre chose que la courbe rampante dont nous avons déjà parlé aux n®® 152 de V introduction et 466 du traité de la coupe des pierres.

Cette dernière remarque est très-importante pour la suite.

PL. I

25. Hélice à base elliptique. — Les hélices dont nous venons de parler sont à hase circulaire, parce qu’elles sont tracées sur des cylindres circulaires , mais on peut avoir à construire les projections d’hélices qui seraient tracées sur un cylindre elliptique.

Or, l’hélice devant couper toutes les génératrices du cylindre , suivant un angle constant (15), se développera toujours en ligne droite, quel que soit le cylindre sur lequel elle aura été tracée; d’où il suit (/Ig. 36) , que les projections 1-9 des deux hélices tracées sur le cylindre qui a pour section droite la demi-ellipse 1-5-9 (^g. 34), pourront être déterminées en opérant comme nous l’avons dit au 11° 1 8.

Mais, si l’on voulait construire l’hélice par la méthode indiquée au n“ 19, il faudrait auparavant que la demiellipse 1-5-9 fût partagée en parties égales, et nous verrons bientôt comme il faut opérer dans ce cas.

26. Rectification de la section droite.-— La première et la plus essentielle des opérations nécessaires pour construire un pont biais, consiste à développer le cylindre d’intrados. Or, ce développement dépendant de la section droite , il s’ensuit que l’exactitude de l’épure dépendra du soin que l’on aura mis à rectifier cette courbe.

Dans la pratique, on se contente ordinairement de porter à la suite les uns des autres tous les côtés du polygone inscrit, et l’on considère le résultat ainsi obtenu comme sufiisaroment exact : ce qui est vrai dans le plus grand nombre de cas.

En effet (^g. 18), dans une épure de coupe de pierres, pour la construction d’une voûte ou d’un arc de pont, dont le cintre KH aurait un très-grand rayon de courbure, il est évident que, si l’on remplace cette courbe par le polygone ABG.,,D, l’erreur sera tout à fait insensible, par

suite du peu de dilférence qui existe entre chacune des cordes et la partie de courbe qu’elle sous-tend.

On peut même ajouter que, pour la stabilité de la construction, l’erreur sera absolument nulle, pourvu (fig. 1) que les surfaces de joint CD rencontrent les cordes DD suivant des angles parfaitement identiques avec ceux qui sont indiqués par l’épure. Il en résultera seulement qu’après l’exécution on aura construit un berceau prismatique au lieu d’un berceau cylindrique qui était projeté. Mais il est évident qu’en taillant la surface cylindrique après la pose, ou après le tracé des coupes de joints sur les faces de tête, on rétablira la courbure demandée, quel que soit le rayon de la voûte.

Il est donc certain que, dans un grand nombre de cas, on pourra remplacer la courbe donnée par le polygone qui lui est inscrit.

Cependant il peut exister des circonstances où l’on aurait besoin de connaître la longueur d’une courbe avec une grande exactitude, et la théorie nous donnera plusieurs moyens d’arriver à ce but.

27. Quand il s’agira d’un berceau circulaire, la question ne présentera aucune difficulté. En efï’et, en exprimant par R le rayon du cylindre que l’on veut développer, on aura 27cR pour la section droite rectifiée et les points qui partageront cette ligne en parties égales , détermineront les génératrices correspondantes avec la plus grande exactitude.

Mais , lorsque la section droite du berceau sera une ellipse, ce moyen ne conviendra plus, et dans ce cas, on pourra opérer de plusieurs manières.

28. Première méthode. On peut calculer la demi-circonférence de l’ellipse par la formule

tô -3

— etc.

dans laquelle e = - = - ?L ; mais , on remarquera

que les valeurs de et de e ne sont que des approximations ; d’où il résulte que la somme des erreurs qui affectent les termes négatifs du facteur polynôme sera multipliée par Tia. D’ailleurs cette formule ne conviendrait pas pour obtenir le développement d’un berceau surbaissé dont la section droite ne serait pas une demi-ellipse complète.

29. Deuxième méthode. Le calcul intégral donne, il est vrai, le moyen de rectifier l’arc d’eilipse compris entre deux points déterminés de la courbe ; mais les praticiens ont toujours été rebutés par la longueur excessive des calculs qu’il faut faire dans ce cas , pour n’obtenir, après tout, qu’une approximation. Nous continuerons donc à regarder cette solution comme une étude plus curieuse que véritablement utile.

30. Troisième méthode. J’ai donne au n® 382 de mon recueil d’exercices une méthode de rectification que je crois devoir reproduire ici, afin de rapprocher autant que possible tous les éléments de la question qui nous occupe.

Je ferai remarquer d’abord que si pour obtenir une plus grande exactitude on augmente le nombre des points de division delà courbe que l’on veut rectifier, on diminue, il est vi-ai, la différence qui existe entre chacune des cordes et l’arc sous-tendu; mais, d’un autre côté, on multiplie le nombre des erreurs, et, par conséquent, on perd d’un côté une partie de ce que l’on avait gagné de l’autre.