Il est évident que l’on géra beaucoup plus près de

PQNTS BIAIS.

la vérité , si l’on remplace chacun des côtés du polygone inscrit par un arc de cercle, dont la différence avec la partie correspondante de la courbe donnée pourra toujours être aussi petite que l’on voudra. De sorte que la question sera réduite à rectifier la courbe formée par les arcs de cercle par lesquels on aura remplacé les côtés du polygone inscrit.

32. Pour atteindre ce but, exprimons (^fig. 6) l’arc de cercle MKN par a, l’angle MON par a, la corde MN par c et le rayon OM par R. On aura (Géométrie) :

TüRa

mais (Trigonométrie) le triangle rectangle MIO onne

d’où :

MI = MO sin. MOI = R. sin. | a

(2) c = 2MI = 2R sin. | a ,

et par conséquent,

a -ira

c 360 sin. | a

Ainsi, le rapport d’un arc à sa corde ne dépend que du nombre de degrés de cet arc, quel que soit le rayon du cercle auquel il appartient.

33. Cela étant admis, supposons qu’il s’agit de rectifier une courbe quelconque.

On choisira sur cette ligne des points assez rapprochés pour que la courbure des arcs compris entre deux points consécutifs soit sensiblement circulaire, puis on tracera les cordes qui forment les côtés du polygone inscrit,

Or, en exprimant ces cordes par c, c\ c" et c'", les arcs

de cercle sous-tendus par a, a', a" et a'", formés par les normales consécutives par aura (3) :

7ra

360 sin. ~ a

Tza!

360 sin. I a'

Tta*'

360 sin. I a'"

etc

et les angles a, a', a", on

Puis, en exprimant la courbe rectifiée par L, on a

Ttac I Tca'c' I TzaJ'c" ,

360 sin. I a 360 sin. f a' 360 sin. | a" ' ‘

Or si l’on fait a = a = a , on aura :

Tca

360 sin.

(c + c' -f c" + ... etc.)

Le tout sera donc réduit :

1» A remplacer la courbe donnée par une suite d'arcs de cercle semblables entre eux;

2° WBBBB A rectifier le polygone formé par les cordes que sous-tendent ces arcs de cercle;

Tra

30 msÊmss A multiplier le résultat obtenu par — r“-

^ ^ 360 sin. I a

34. La décomposition de la courbe en arcs semblables peut se faire graphiquement d’une manière très-simple.

Supposons par exemple (fig. 29) qu’il s’agit de rectifier la partie de courbe AD comprise entre les deux normales AH, DK dont nous supposons les directions bien exactement déterminées.

1® — iiKitiiH On tracera par un point O pris à volonté (fig. 28)

les deux droites OA',OD', parallèles aux normales extrêmes de la courbe que Ton veut rectifier.

2“ iiHii ■iiwi On partagera l’angle A'OD' en autant de parties égales que l’on supposera d’arcs de cercle dans la courbe à plusieurs centres par laquelle on veut remplacer la ligne donnée, et l’on tracera un rayon par chacun des points ainsi obtenus sur Tare A'D'.

3® On construira une normale à la courbe donnée (fig. 29), parallèlement à chacun des rayons 0-1, 0-2 de A'D' (fig. 28).

Ces normales partageront la ligne donnée AD

en une suite d’arcs semblables entre eux et dont chacun diliérera très-peu de la portion de courbe qu’il aura remplacé.

35. On remarquera que ces arcs seront proportionnels à leurs rayons, et deviendront par conséquent plus petits lorsque la courbure de la ligne donnée deviendra plus grande ; ce qui augmentera beaucoup l’exactitude , quand même on se contenterait de rectifier le polygone inscrit,

TZee

sans multiplier le résultat par le coefficient — - — ^ - -, —

^ ^ 360 sin. I a

36. Lorsqu’on aura déterminé les points qui partagent la courbe AD en un nombre suffisant d’arcs semblables :

On tracera la corde de chacun de ces arcs ;

On fera la somme de toutes ces cordes , ce qui revient à rectifier le polygone inscrit ; (33) : puis

On multipliera le résultat ainsi obtenu par

-na

360 sin. I a

Si l’on a bien compris tout ce qui précède, il est évident que le problème de la rectification des courbes se

PL. I

trouve réduit à remplacer la ligne donnée par une suite d’arcs de cercles semblables entre eux^ et dont les extrémités seront déterminées par les normales parallèles aux rayons qui partagent en parties égales V angle des normales extrêmes; d’où il résulte, que la question peut être considérée comme complètement résolue pour toutes les courbes auxquelles on sait mener une normale parallèlement à une droite donnée.

Lorsque la courbe à rectifier ne sera pas définie géométriquement, on pourra se contenter de construire avec soin la développée KH (fig. 29), puis on construira une tangente à cette développée , parallèlement à chacun des rayons qui sur la fig. 28 partagent en parties égales l’angle formé par les normales extrêmes. Ces tangentes seront normales à la courbe, et partageront cette ligne en arcs semblables ; mais lorsqu’il s’agira d’une courbe définie, on pourra toujours construire les normales avec une grande exactitude (EX-393).

37. Dans l’application, la construction de la développée donnera presque toujours une exactitude suffisante.

38. Si l’angle AUD formé par les deux normales extrêmes (fig. 29) n’est pas donné en nombre , ou si l’on ne peut pas obtenir ce nombre par le calcul, on pourra le mesurer avec un bon rapporteur, et même avec un rapporteur médiocre. Pour cela on mesurera l’angle plusieurs fois en partant successivement des points 0, 10, 20, etc. de l’instrument, puis on prendra la moyenne des mesures obtenues, ce qui n’est autre chose que le principe de la répétition appliqué à un instrument commun.

39. Pour avoir la somme des cordes, on les transportera sur une même droite à la suite les unes des autres, et pour

mesurer le polygone ainsi rectifié on emploiera un mètre divisé avec soin ; si l’on compte la longueur successivement à partir des n®® 1 0 , 20,30, etc . , on pourra en prenant la moyenne obtenir beaucoup d’exactitude.