RELATIF A LA QUADRATURE DU CERCLE

Quoique depuis longtemps la généralité des géomètres ait admis en principe que le problème de la quadrature du cercle est insoluble, c'est-à-dire qu'il est impossible de réduire le périmètre du cercle en celui d'un carré équivalent, et vice versa; cependant la solution de ce problème n'a jamais cessé d'être le point de mire des recherches de certains esprits distingués parmi les géomètres et surtout parmi les calculateurs. L'espoir d'atteindre ce but, à travers le mirage de l'illusion qu^fuit à mesure qu'on avance, était devenu, à une certaine époque, comme une manie épidémique, dont la recrudescence semblait coïncider chaque année avec le retour du printemps. C'est alors qu'on était sûr de voir se rabattre sur le bureau de l'Académie des sciences, comme une avalanche de notes sur la quadrature du cercle, dans lesquelles il ne manquait plus qu'un rien pour arriver à la démonstration exacte, de même qu'aux chercheurs de la pierre philosophale il n'a jamais manqué pour l'atteindre que quelques fagots de plus pour chauffer le four'; car dans l'histoire des passions malheureuses de l'esprit humain, on n'en trouverait pas deux qui aient eu entre elles un caractère d'affinité aussi tranché.

Afin de mettre un frein à cette espèce de monomanie, qui avait fini par gagner de proche en proche jusqu'aux intelligences capables de poursuivre avec succès d'autres solutions, V Académie des sciences avait pris le parti d'arrêter que désormais elle ne s'occuperait plus d'aucun travail ayant pour objet la solution du problème de la quadrature du cercle, et qu'elle jetterait impitoyablement au panier tout mémoire ayant trait à ce sujet.

Cette résolution diminua le nombre de cas do ces sortes d'accès, mais

' Voyez la note à la suite de cet arlicle.

18 INSOLUDILITÈ DU PROBLÈME,

no parvint pas à extirper le germe de la maladie ; et il n'est pas rare encore aujourd'hui de voir certains esprits distingués courir après cet espoir si souvent déçu, au prix de calculs aussi longs et pénibles que malheureux. . Cela vient évidemment de ce que ceux qui considèrent le problème comme ! frappé d'insolubilité sont aussi peu en état de démontrer leur opinion que ' ceux qui croient pouvoir arriver à le résoudre; et de part et d'autre l'impossibilité de la démonstration n'a d'autre base que l'inutilité des tentatives; i car la thèse est soutenue de part et d'autre d'une manière empirique plutôt que mathématique. Or il est généralement convenu que la faute en est, ; pour et contre, à la défectueuse définition de la ligne droite, que nous a ' transmise Euclide et qui n'a pas varié jusqu'à nous ; définition qui réside | tout entière dans la plus grossière des comparaisons, à savoir, que la ] ligne droite est le plus court chemin pour arriver d'un point à un autre (une ligne supposée sans largeur et sans épaisseur et que l'on compare à un chemin ! c'est une comparaison, j'espère, qui cloche assez grandement par les deux dimensions) ; et l'on peut dès lors établir que, si la démonstration de Vinsolubilité du problême de la quadrature du cercle est impossible, cela tient à ce que, d'un autre côté, le problème de la' définition de la ligne ! droite a été insoluble jusqu'à ce jour. j

Mais depuis que nous avons trouvé une définition positive* de la ligne, I définition fondée sur la théorie atomique appliquée à la géométrie, la po- \ sition du problème se présent mt en des termes tout autres, il est facile de 1 démontrer que : • 1

L'idée de réduire et transformer le cercle en un carré équivalent 1 est essentiellement contradictoire dans les termes, et par conséquent | FRAPPÉE d'absurdité ; ' I

Et c'est ce que nous allons mettre en évidence : ;

1° La géométrie n'est pas une science plus abstraite que h physique et la J chimie; ou bien ces deux sciences, en théorie, le sont autant qu'elle.

2o Or pour ne pas viser à cet infini que les bornes de notre intelligence ne nous permettent pas d'atteindre, la physique, qui a pour objet l'étude des , propriétés des corps, et la chimie, qui a pour objet l'étude de leurs affinités, i de décomposition en décomposition analytique, sont forcées de s'arrêter à I l'unité atomique, et d'admettre, comme limite de la division indéfinie, un atome indivisible et sphérique dans son état d'activité. ,

3° Les différents corps de la nature sont un composé d'atomes égaux enveloppés d'une atmosphère variable en diamètre. ,

4" La géométrie qui a pour but la mesure des mêmes corps que la phy- '

* Voyez Bevjie élémentaire de médecine et de pimrmacie domestiques, ainsi que des sciences accessoires, iom. I, pag. 518, liv. de mars 18i8.

RELATIF A LA QUADRATtJRE DU CEnCLE. 10

sique pèse et que la chimie transforme et décompose, la géométrie, de division en subdivision théorique des mêmes corps, ne saurait arriver qu'à l'idée de la même unité qu'admettent la physique et la chimie. Dès ce moment le point mathématique n'est autre que l'atome sphérique, c'est-à-dire, pouvant tourner en tous sens sur lui-même, dans un espace donné, entre deux points.

5° Ces deux points sont les deux pôles de l'atome que nous désignerons sous le nom de foints polaires.

6° Cela admis, la ligne en général est une série d'atomes ou points géométriques.

7" La ligne droite, ou une droite tout simplement, est une série d'atomes qui ont tous leurs points de contact [h) aux points polaires [aa,) comme on le voit sur la figure 6, pl. H, dont on peut continuer de la sorte la série à l'infini.

8° La ligne courbe^ au contraire, ou une courbe en général est une série d'atomes dont les points de contact (b) ont lieu successivement au-dessous du point polaire (a) de l'atome précédent. La figure 7, pl. ii, offre un commencement de ligne courbe.

9° La ligne circulaire est une série d'atomes dont le point de contact a lieu, pour tous, à la même distance du point polaire de l'atome précédent.

40» Les autres courbes sont celles dont les distances, entre les points de contact et les points polaires, varient après une certaine séries d'atomes.

11° Ce qui revient à dire que, dans la ligne droite, les atomes sont rangés polairement, et dans la courbe graduellement.

12° Cela étant admis, il est de la dernière évidence, que la ligne droite se raccourcit quand ses atomes se rangent en cercle, et que la ligne courbe s'allonge quand ses atomes se rangent en ligne droite.

13» Soit en effet une série hnéaire ou polaire dont la figure 6, pl. II, offre pour ainsi dire le patron que l'on peut continuer de cette manière iiidéfiniment : dans cet échantillon, la série de deux atomes occupe une Iongueur égale à la somme des deux diamètres ou des deux plus grandes épaisseurs de l'atome. Mais dès que ces deux atomes se rangeront graduellement et circulairement {fig. l,pl. H), la longueur occupée par ces deux atomes, limitée par les deux tangentes polaires extrêmes (ac) sera moindre que les deux diamètres (aa, fig. 6) de toute la quantité que la tangente polaire (b) du premier atome aura rognée au diamètre de l'atome subséquent, c'està-dire de la quantité comprise entre les deux tangentes médianes bb = ca.

14» Chaque atome de la série linéaire ou polaire, en s'arrangeant en lio-ne circulau'e ou graduée, et subissant le même retranchement de la part^de là tangente polaire de l'atome précédent, il s'en suivra qu'une fois tous les