LA THEORIE DES

REFRACTIONS

l’état météorologique pour lequel il l’a fabriquée. Vraie ou fausse, elle ne peut donner les réfractions que pour cet état spécial, non pour aucun autre. C’est donc à tort qu’Ivory prétend la leur appliquer, et qu’il la présente comme étant, sous ce rapport, plus générale que celle de Laplace. Toute la différence, c’est qu’il a méconnu cette limitation, que Laplace avait comprise.

» Dans un Mémoire postérieur de quinze années, qui est inséré aux Transactions philosophiques de i838, Ivory a repris ce travail avec de nouveaux développements analytiques, appliqués à des hypothèses de même forme, seulement composées de plus de termes que celles de i8a3. Mais, il entreprend toujours le problème à ce même point de vue, qui renferme l’incompatibilité que j’ai signalée tout à l’heure. Car il se propose de constituer une atmosphère fictive en équilibre, représentant l’état moyen de l’atmosphère réelle si elle était soustraite aux causes qui la troublent, d’y calculer les valeurs moyennes des réfractions, et de les adapter ensuite à des états météorologiques quelconques de la couche inférieure, sans changer les éléments déterminatifs de l’atmosphère moyenne, qui est supposée les produire (*). Voilà aussi ce qu’il fait en définitive. Car, après avoir déterminé de nouveau son coefficient f, qui dépend du décroissement initial de la température, il le conserve constant dans ses réductions, par la raison, dit-il, qui il ne parait pas sujet à changements dans notre climat (**). Or il est au contraire perpétuellement variable. Dans ce même travail, il entreprend d’étendre sa théorie à une atmosphère humide, admettant d’apres les expériences faites par Arago et moi, que cette circonstance influe seulement sur la stratification des couches aériennes, sans que le pouvoir réfringent de l’air, à pression et température égale, en soit sensiblement altéré. Mais, avec cette simplification même, le problème ne serait accessible que si l’on connaissait, au moins approximativement, la proportion moyenne, et graduellement décroissante de vapeur aqueuse, qui existe dans l’atmosphère à diverses hauteurs. Cette difficulté a été cachée à Ivory, par une fausse équation de dilatabilité de l’air humide sur laquelle il se fonde (***),.

(*) Phil. Trans., 1 838, page 187.

(**) Ibid., pa^22i.

(***) Ibid., i838, page igg. Soit (p) la densité de l’air humide , sous la pression p et à la température t. Nommons (p), , pt, t,, les éléments analogues dans la couche inférieure

et qui, dit-il, équivaut à celte que M. Biot établit dans les Additions à la Connaissance des Temps de 1839, page 18. Mais cette équivalence n’est pas réelle. L’équation d’Ivory n’est vraie que dans deux cas : lorsque les couches d’air sont tout à fait privées de vapeur aqueuse; et lorsque la tension de la vapeur aqueuse y est partout proportionnelle à la pression, ce qui n’a pas lieu dans notre atmosphère, puisque la vapeur aqueuse y devient insensible à des hauteurs où la pression est encore très-forte. La preuve de cette erreur est si simple, que je l’insère en note au bas de cette page; et, par une conséquence inévitable, la suite entière de ses calculs en est viciée.

» De tout cela, cependant, Ivory déduit une Table de réfractions appli-

de l’atmosphère. L’équation de dilatabilité, posée par Ivory, est .

p{ (1 H- er.) (p ),’

e étant le coefficient de la dilatation des gaz. Désignons maintenant par p et p, les densités de l’air sec, sous les mêmes pressions , et les mêmes températures. On aura encore , dans ce cas :

p, 1 -h st, p,

cette seconde équation ne peut s’accorder généralement avec la première , que si l’on a :

fp).~V

or cette égalité de rapports ne peut exister que dans deux cas : i° si la quantité de vapeur contenue dans (p) et (p), est nulle; si la tension de cette vapeur est, dans (p) et (p), , proportionnelle aux pressions p et p,.

La véritable équation de dilatabilité, que j’ai établie à la page 18 de mon Mémoire, et qu’Ivory a citée, est :

P ( 8 P ) __ (1 -+- st) (p)

JïJ

(p) et (p)i représentent les densités actuelles des deux mélanges gazeux, et er, ct, , les tensions de la vapeur qu’ils renferment. Comme je supposais alors le coefficient £ égal à 0,00375 ou TTtr» j’avais remplacé par sa valeur 100 s. De plus, ayant spécifié la signification des symboles employés dans mes formules , j’y avais exprimé les densités actuelles des mélanges gazeux par p et p, , sans parenthèses. C’est là probablement ce qui aura trompé Ivory.

cable à toutes les distances zénithales, et à tous les états météorologiques de la couche d’air inférieure, Table, selon lui, bien plus exacte que celle de la Connaissance des Temps, et concordante avec celle de Bessel jusque vers 88° ou 88a \ de distance du zénith. Mais cette conformité de nombres, conclus d’hypothèses diverses, prises en dehors des réalités, ne prouve point la justesse physique de ces hypothèses. On n’y peut voir que le résultat commun d’un empirisme différent. Or, autre chose est de composer une formule, qui reproduise approximativement, et en moyenne, les réfractions qu’on observe, ou de les déduire d’une théorie générale, fondée sur des principes physiques et mathématiques rigoureux. Aux distances du zénith qui sortent de l’approximation générale, la théorie d’Ivory n’offre pas plus que celle de Laplace ce dernier caractère, quoi qu’il ait cru pouvoir le lui attribuer à meilleur titre. Il nous reste à voir si Bessel, en se bornant au dessein plus modeste, de composer une Table des réfractions moyennes, suffisamment approchée pour les besoins des astronomes, a été conduit à des formules, dans lesquelles les caractères réels de notre atmosphère se trouvent plus fidèlement empreints. C’est ce que leur interprétation va nous apprendre ; et je terminerai par là cette longue étude.

Formules qui définissent les propriétés caractéristiques de ! atmosphère d’Ivory.

Ces formules ne seront que des applications particulières de celles que j’ai établies dans les Additions à la Connaissance des Temps de i83getde 1841, pour des atmosphères quelconques, sèches ou humides, dans lesquelles la relation générale des densités aux pressions , est donnée. C’est pourquoi je me bornerai ici à montrer la marche du calcid par laquelle on les obtient, en indiquant les pages de ces deux Mémoires, où l’on trouvera les détails des démonstrations.

Soit généralement — — x, — ■= y \ et désignons par l0, la valeur de la constante l, à la P ' P>

station d’observation , quand la température r, est o degré. Nommons e le coefficient de la dilatation des gaz. Alors l’atmosphère considérée étant supposée sèche , l’expression générale de l sera

l— /„( i +e f, ) Mémoire de 183g, page 1 3.

Dans ces mêmes circonstances, on aura :

l’équation de la dilatabilité

(t + et) x

i + «fi y

l’équation de l’équilibre

(2) Idx — : ydr

Mémoire de i84u pages 6g et 70, en y faisant nuis &> et &>,, qui représentent les tensions de la vapeur aqueuse.

La première étant differentiée donne :

dt {ydx— xdy)

En divisant cette valeur de dt, par celle de dr , prise dans l’équation {2), on au — • Or,

si l’on désigne par Sr le nombre de mètres dont il faut s’élever au-dessus de la distance r du centre, pour que la température t s’abaisse de 1 degré centésimal, les formules générales de variation, établies dans mon Mémoire de 1841, pages 7 1 et 72, étant appliquées à ce cas spécial, donneront :

en effectuant les calculs indiqués, on trouve ainsi :

quand la relation donnée entre x et y est :

(4 ) x = Ay -+- B y1 -+- G,

il en résulte

C’est l’expression que j’ai rapportée dans le texte.

L’équation différentielle (3 ), étant retournée, donne :

d y z=^-dx

*(iH- zt, )

dt.

Remplacez dx par sa valeur, prise dans l’équation de l’équilibre ; puis divisez les deux membres par dr , et substituez à — sa valeur — —■> vous obtiendrez : r dr Sr

dy a 2 y'1 e y"1

dr r1 Ix x ( 1 -4- s t, ) S r

Ivory remplace rpar une autre variable s, telle qu’on ait

r = a 4- Is ; et de plus il fait y = 1 — « ,

il en résulte donc généralement, dans sa notation,

dt» a- j2 ô/0 y1

ds r* x xâr

go SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES.

A la station d’observation r est a, et x, y sont tous deux égaux à H- x . On a donc alors :

c’est l’équation de condition qu’Ivory pose à la page 424 de son Mémoire. Mais il écrit mal à propos, dans le second membre , l au lieu de l0.

Il ne reste plus qu’à découvrir la relation qui existe entre les densités et les hauteurs, dans l’atmosphère considérée. Pour cela, de l’équation (4) qui la définit, tirez, par la différentiation, dx en fonction de dy, et substituez-le dans l’équation de l’équilibre. Il en résultera

a dr r 2

-F- 2 B ^ré-

intégrant les deux membres de celle-ci, et ajoutant une constante arbitraire C', on a , en logarithmes tabulaires :

7=:(fil0^+2B')+c,i

Mestle module o,4342945> dont le logarithme tabulaire est 1,6377843. La constante C' se détermine par la condition que l’égalité subsiste à la station d’observation, où y est -f- 1 et r égal à a ; cette condition exige qu’on ait :

En retranchant la première égalité de celle-ci, la constante C' disparaît, et l’on a enfin :

'~ïr (|)

r — a est la hauteur au-dessus de la station d’observation. Nommons-la z; et faisons, pour abréger,

H ~ (^) + 2B(i -■rt]»

ou aura

et, par suite,

La hauteur z devient infinie quand H = a, ce qui répond à une certaine valeur de y, dépendante de celles des coefficients A, B. Ainsi, dans le cas même où l’atmosphère caractérisée par l’équation (4) aurait une étendue infinie, la condition de son équilibre exige que la densité ne devienne pas nulle à sa limite. Si on lui assigne toute autre densité finale u, plus

SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. qi

grande que celle-là, sa hauteur sera limitée, et on la connaîtra par l’équation (5). C’est ainsi que j’ai calculé les deux exemples rapportés dans le texte, en attribuant à / la valeur 8253m,23, qui résulte des données adoptées par Ivory, lorsqu’on l’applique à la température de 5o° Far., ou io° cent, pour laquelle ses calculs sont établis.

Il pourra ne pas être inutile d’ajouter ici un mot d’explication, relativement au passage de mon Mémoire, inséré aux additions à la Connaissance des Temps de 1 8/j i , sur lequel je me suis appuyé. Dans ce passage, pages 71 et 72, Sr etây expriment généralement les variations algébriques de r et de y qui répondent à un accroissement t1 — t de la température, égal à

i° centésimal. Alors est -t- ■ ; et oy est y— ■ - ■ • Mais, si l’on veut que ces mêmes

W vw

symboles, répondent à un abaissement de i°, il faut supposer é — régala — i°;cequi donne :

c’est ainsi que j’ai dû les employer dans l’application actuelle ; comme je l’avais fait également dans le tableau numérique inséré à la page 73 de mon Mémoire.

[Séance du 1 9 février 18 55.)

Sur le degré de confiance que L’on doit accorder aux Tables de rejr action actuelles. Examen de la théorie de Bessel.

« Avant de commencer cette nouvelle lecture, j’ai besoin de répondre a une pensée qui s’est présentée à l’esprit de plusieurs de mes amis, dont la bienveillance, ainsi que les lumières, me rendent les avis scientifiques tresprécieux. Considérant que la constitution réelle de l’atmosphère terrestre 11e nous est pas connue, qu’elle a même été jusqu’ici, à peine explorée dans ce qu’elle aurait d’accessible; pourquoi, disent-ils, vous obstinez-vous à scruter minutieusement des théories qui ne peuvent être qu’hypothétiques, au lieu d’employer le’peu qui vous reste de temps et de forces, à des recherches d’un intérêt plus immédiat, et plus apparent? Je sais gré du conseil ; je ne saurais accepter la conséquence. On enrichit les sciences quand on leur apporte des vérités nouvelles ; on les fortifie en les débarrassant des fausses appréciations. Si les Tables de réfraction, actuellement en crédit, n’avaient d’autre défaut que de devenir incertaines aux approches de

l'horizon, elles ne tromperaient personne. L’excessive mutabilité que les phénomènes acquièrent alors, par des accidents lointains hors de toute prévision, montre suffisamment qu’aucune théorie ne peut enchaîner leurs caprices. Mais supposez que, pour les réunir approximativement dans une même loi avec ceux qui sont plus réguliers, les auteurs de ces théories aient affaibli insciemment la rigueur, la certitude, qu’elles pouvaient avoir, étant limitées à des distances zénithales moindres ; qu’y aurait-il de plus utile que d’en avertir, quand on songe que toute la précision de l’astronomie observatrice en serait compromise? Les Tables de Bessel, aujourd’hui presque universellement adoptées, sont-elles, en ce point, irréprochables? c’est ce que je me propose d’examiner. J’y procéderai avec tout le respect, et toute la défiance de moi-même, que doit inspirer un nom si justement célèbre ; mais aussi avec la plénitude de la liberté scientifique. Maintenant, comme toujours, on peut aimer Platon ; mais il faut aimer davantage la vérité.

» Les recherches de Bessel sur les réfractions astronomiques, datent de 1 8 1 8 ; elle sont postérieures de 1 3 ans, à la théorie que Laplace avait donnée de ces phénomènes dans le livre X de la Mécanique céleste. Il fut conduit à les entreprendre par son mémorable travail sur les observations de Bradiey; car leur réduction exigeait la détermination exacte des réfractions qui les affectent, en même temps qu’elles lui fournissaient les données les plus précieuses, comme les plus abondantes, pour l’obtenir. L’exposé de ces recherches se voit au chapitre IV des Fundamenta astronomiœ , avec la Table générale de réfractions que Bessel en a déduite. C’est la même qu’il a reproduite, avec quelques modifications relatives à l’emploi des éléments météorologiques, et à la valeur absolue de la constante a, dans le célèbre recueil intitulé : Tabules Regiomontanœ , qui est aujourd’hui comme le code légal des astronomes. Mais il n’a rien changé aux principes mathématiques sur lesquels il l’avait établie, non plus qu’aux formules générales qu’il en dérive. Nous pouvons donc apprécier complètement les bases et les conséquences de sa théorie, dans ce premier travail, où tous les détails des calculs analytiques sont exposés.

» Laplace avait mis en évidence les difficultés physiques du problème, que lui-même avait ouvertement signalées. Considérant la presque impossibilité de former une hypothèse assurée, sur la loi de décroissement des densités dans l’atmosphère terrestre, parmi les continuelles perturbations qu’elle éprouve, Bessel déclare « qu’il s’est uniquement proposé, de coin- » poser une expression générale des réfractions qui satisfasse le mieux pos-

» sible aux observations des astronomes (*). » Or, ayant atteint ce résultat à sa propre satisfaction, que partage le plus grand nombre des observateurs de nos jours, il y a un grand intérêt, non pas à contester l’hypothèse mathématique dont il est parti, mais à en déduire les hypothèses physiques qui s’y trouvent implicitement comprises; à voir ce qu’elles représentent; jusqu’à quel point elles s’accordent avec les réalités; et enfin si toute la série de ses calculs s’y adapte fidèlement. C’est à ce point de vue d’une exploration, pour ainsi dire expérimentale, que je vais me placer. Pour la faire, je n’aurai qu’à m’autoriser des formules générales que j’ai exposées à la suite de ma communication précédente; et c’en sera une application très-facile.

» Désignons, comme je l’ai fait toujours,

par x, et — par y . Bessel

adopte pour circonstances météorologiques normales de la couche d’air inférieure, la température de 48°, 75 Farenheit, ou 9°,3o56 centigrades ; et la pression p, de 29pces,6 anglais, ou om,75i8. A cette température, il prend la constante L égale à 4226', 85 ou 8236m,73; et comme l’expression générale de / est :

l — 10 (1 -+- et,),

s étant le coefficient de la dilatation des gaz, qu’il suppose d’après Gay-Lussac être 0,03^5, il en résulte :

l0 = 7959°, o log l0 = 3,9oo8585.

Les autres données linéaires, qu’il exprime de même en toises de Paris, et que je traduis aussi en mètres, sont :

» i°. Le rayon terrestre à la station d’observation :

a — 6372969™, log a — 6,8o434i8,

d’où il résulte

^=0,00124887, log ^ = 3,0965167,

» 20. Une constante arbitraire g, dont j’expliquerai l’emploi tout à l’heure, et dont la valeur est :

g = 227 775m,6, log g = 5,3575073,

(*) Fundamenta astronomie?. Prœfat., page 27.

d’où il résulte

lo

o,od49423,

log^ = 2,5433512.

Ces éléments de calcul étant préparés, Bessel les associe dans une combinaison analytique très-simple, qui lui permet d’emprunter toutes les formules d’intégration que Laplace avait établies pour le cas d’une température uniforme, en les rendant susceptibles d’une application plus générale. Dans ce cas d’uniformité si l’on fait, comme Laplace au § 5 du livre X de la Mécanique céleste :

s, étant une nouvelle variable, dont les valeurs extrêmes sont o et + 1 , on

trouve, après avoir introduit la condition de l’équilibre, que les densités —

ou y, sont liées à la variable s, par l’équation suivante :

as

dans laquelle e désigne la base des logarithmes hyperboliques. Bessel lui substitue hypothétiquement :

— i.as

i, étant un coefficient, qui a pour expression générale :

où g est la constante arbitraire dont on a vu plus haut la valeur numérique; et il dit l’avoir déterminée, par la condition de représenter le mieux possible les réfractions inférieures de 24 étoiles circompolaires, que Bradley avait observées un très-grand nombre de fois dans leurs deux culminations (*). D’après ces mêmes épreuves, il adopte, pour la constante a, une

(*) Fund. Prœf., page 4o. En exposant page 27 son hypothèse mathématique, Bessel dit que le produit as représente la hauteur de la couche aérienne. Ce ne peut être là qu’un énoncé approximatif, fréquemment usité, mais qui n’est applicable qu’à des hauteurs res-

freintes. En effet, si as était supposé rigoureusement égal à r — a, s serait Alors,

valeur moindre que celle de Laplace, et qui s’accorde moins bien avec les déterminations physiques. Il la fait, en secondes sexagésimales, égale à .* *>7", 538 dans les circonstances météorologiques qu’il a choisies comme fondamentales. Celle de Laplace, transportée à ces mêmes circonstances, serait 57", 940. La différence absolue des deux évaluations o",4 est fort petite; mais son influence s’agrandit considérablement, dans les réfractions voisines de l’horizon. Sur ces données, le calcul algébrique s’achève par les formules delà Mécanique céleste , que la présence du coefficient i, n’empêche pas d’être analytiquement applicables; et c’est de là que Bessel conclut les valeurs numériques des réfractions, dans l’état normal de l’air à la station d’observation. Il les transporte ensuite à tout autre état de cet air, en faisant varier analytiquement la température et la pression inférieure, dans tous les termes de leur expression algébrique qui contiennent ces deux éléments, et en calculant les réductions qui doivent en résulter. C’est le seul moyen correct de les obtenir. Ivory et d’autres, lui ont emprunté cette méthode sans le citer; et une phrase des Tabulæ Regiomontanæ , qui fait allusion à cet oubli, montre que Bessel n’y a pas été insensible (*).

» La relation hypothétique (2) doit, comme celle qu’il remplace, être supposée astreinte à la condition de sphéricité des couches aériennes, ainsi qu’aux équations de l’équilibre et de la dilatabilité des gaz. J’ai montré que la sphéricité est toujours admissible, pour chaque trajectoire lumineuse, à titre de construction auxiliaire. La condition d’équilibre est nécessitée, non seulement par l’analogie des formes, mais aussi parce que, sans elle, on ne saurait admettre qu’il pût exister une relation fixe entre les densités et les hauteurs. D’ailleurs, la constante /, n’a d’application physique, qu’en admettant que la pression pt représente le poids total des couches supérieures a la station d’observation; et la condition de dilatabilité, est également supposée par le mode de variation que l’on attribue à cette même constante, en fonction de la température tt. Nous pouvons donc à juste titre appîi-

dans l’application à des atmosphères indéfinies, les intégrales relatives à la variable x devraient être prises depuis i = o jusqu'à s — : co . Or celles que Bessel emprunte à Laplace,

pour des cas pareils, sont prises depuis s — o jusqu’à .v = 1 , parce que x y est fait égal à

Ce doit donc être là aussi l’expression exacte de la variable r dans les formules de Bessel ; et cela se voit aussi, par la forme sous laquelle il la fait entrer, page 28, dans l’expression complète de la densité, donnée par la condition de l'équilibre.

(*) Tabulæ Regiomontanœ, Introduction, page LX.

g6 SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES.

quer ces deux conditions à l’équation (2) de Bessel, pour en déduire les caractères constitutifs de l’atmosphère, où elle existerait.

» La condition d’équilibre établit entre la pression tance /', la relation suivante :

— ou x et la dis-

Iclx = — —7jdr ;

qui, en remplaçant r, par son expression en s, devient :

Idx — — ayds.

Or l’équation hypothétique (2) donne :

dy — ayds ;

il en résulte donc et en intégrant :

idx = dy ix -i- c = y;

c est une Constante arbitraire, qui doit se déterminer de manière que legalité subsiste à la station d’observation, où x et y deviennent tous deux égaux à -4- 1 . Cette condition donne c = 1 — 1; d’où résulte ensuite généralement :

(3) ix-ht — i = y;

si l’on construit géométriquement cette équation en prenant les pressions — ou x , pour abscisses, et les densités ^ ou y, pour ordonnées, elle représente une ligne droite, inclinée sur l’axe des pressions d’un angle I, tel que

tangl = i".

Or, d’après l’ascension de Gay-Lussac, comme d’après les mesures barométriques de MM. de Humboldt et Boussingault, cette relation rectiligne est effectivement celle que l’on trouve exister dans l’atmosphère réelle, quand on s’y élève au-dessus des couches d’air les plus habituellement troublées par les accidents météorologiques; et même, la valeur de l’angle I qui se déduit de ces observations diffère très-peu de celle que l’hypothèse de

SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. g:

Kessel donne pour les valeurs correspondantes de la constante /, comme je le prouverai dans un moment par les nombres.

» A la limite supérieure de l’atmosphère, où la pression x doit devenu nulle, l’équation (3) assigne à la densité une valeur finale u, qui est

dans l’hypothèse de Kessel, / est i ; il en résulte donc :

D’après la petitesse du coefficient e, et le peu d’étendue dans laquelle les températures tK oscillent naturellement, on voit que la densité finale restera toujours une petite fraction de l’unité dans les applications; c’est-à-dire qu’elle ne sera jamais qu’une faible partie de la densité inférieure p,, qui est prise pour unité de toutes les autres.

» Le fait d’une densité finale, qui subsiste encore quand la pression devient nulle, est conforme aux considérations physiques. Mais la formule de Bessel la ferait varier avec la température dont l’influence ne pourrait s’étendre aussi loin. Cet inconvénient sera commun à toute hypothèse où l’on prétendra lier les pressions aux densités par une même loi de dépendance continue, s’étendant à toute l’atmosphère. Car l’état de celle-ci ne varie très-probablement que dans les couches inférieures, et doit se maintenir constant, ou à peu près constant, à une certaine élévation.

» Puisque la condition de l’équilibre exige que la densité finale u , soit égale à 1 — t, tous les systèmes d’atmosphères, résultants de l’hvpothese mathématique de Bessel, prise dans sa généralité algébrique, seront complètement définis par les deux équations suivantes :

dans lesquelles on a :

u — - et

en nommant z la hauteur de la couche atmosphérique dont la distance au centre est r, et la densité y.

» Quand la densité finale u sera donnée par son expression convention-

nelle -> l’équation (2) fera immédiatement connaître chaque valeur de la

densité j qui correspond à une valeur assignée de la variable s, et réciproquement. Car, en prenant les logarithmes tabulaires des deux membres, on obtient :

— (1 — u) y .y loge

loge a pour valeur o, 434^845. . . Je le désigne par M, dont le logarithme tabulaire sera 1 ,6377843. Si s est donné, on aura tout de suite y Si au contraire y est donné, on dégagera s. Pour connaître la hauteur z de la couche aérienne qui y correspond, il n’y a qu’à remplacer s par l’expression équivalente î et alors, en faisant, pour abréger :

on obtiendra :

a — II

si l’on prend y égal à la densité finale m, z sera la hauteur de l’atmosphère à laquelle cette densité appartient. Je la désignerai généralement par Z.

» En la calculant avec les données numériques que Bessel adopte, pour des valeurs graduellement croissantes de la température inférieure tK , par conséquent aussi de la constante /, on trouve qu’elle en résulte de plus en plus grande. Toutefois, même en laissant à l’expression qui la donne toute sa généralité de variation analytique, la hauteur Z ne peut jamais devenir infinie. Car, pour que cela arrivât, il faudrait que le produit que j’ai désigné par H, pût se trouverégal à a. Or, d’après les conditions assignées par Bessel il restera toujours inférieur à la constante g, qui est moindre que a.

» En effet, dans son hypothèse, la densité finale «, a pour expression

générale -■ Remplaçant donc Z, dans H, par sa valeur gu, et^y par «, pour

signifier que nous cherchons Z, nous aurons :

La densité finale m est toujours moindre que 1 qui représente la densité de

la couche inférieure. Représentons-la généralement par 1 — w, co désignant une fraction positive quelconque. lien résultera :

loge

Le facteur logarithmique peut se développer en une série toujours convergente, puisque w est moindre que 1 . En le faisant, et achevant les opérations indiquées, on trouve en définitive :

ce qui montre que H ne pourra jamais surpasser, ni même égaler la constante g, que Bessel a faite conventionnellement moindre que a.

» Si on laissait cette constante g, par conséquent, la densité finales, entièrement arbitraire, tout en conservant à l la liberté naturelle de ses variations, on pourrait rendre Z infini, en posant la condition :

7 loe(-)=fl, ce qui donne: u —

■{ 1 — « J log e 0 \ u ) n

et il ne resterait qu’à déduire u de cette égalité. Je me borne à la mentionner ici, parce que nous en retrouverons l’application plus ta/d.

» Ce point établi, je cherche le mode de distribution des températures. On le connaîtra par l’équation de dilatabilité, qui, dans les atmosphères dépourvues de vapeurs aqueuses, comme celles que nous considérons

ici, est :

en la combinant avec la relation assignée des x aux y, qui est : (3) ;=(i-k)x + «,

il en résulte :