OBSERVATIONS

o,5ooo

5ooo

-pN

Limite de l'atmosphère qui serait

vt-

construite avec la valeur abrégée de y.

4oooo

» On voit que l'expression abrégée de Bessel donne toujours des densités peu différentes de l’expression complète, mais constamment un peu plus fortes. Leur substitution dans les formules d’intégration devra donc donner des réfractions un peu plus grandes qu’elles ne résulteraient de l’hypothèse de Kramp, si elle était soumise à un calcul rigoureux. Mais ce travail serait fort inutile : car le décroissement des températures, dans l’atmosphère de Kramp, ne s’accorde nullement avec l’observation.

» La loi de ce décroissement est immédiatement déterminée par l’équation de dilatabilité

i + eti y

oc ,

En effet, le rapport - étant, par l’hypothèse e b on en tire :

t - tt= - i

» Le terme exponentiel se trouvant toujours moindre que t, pour toutes les valeurs de as, la température ira en s’abaissant à mesure que la hauteur augmentera. En cela, l’hypothèse est conforme aux phénomènes.

» La vitesse locale de ce décroissement à diverses hauteurs, pour i degré centésimal, est généralement

iïr = —

or l’expression précédente de t — t, étant différentiée, donne

/ \ as

as / —~z a . .

on a en outre :

dt dt ds

dr ds dr

a dt r1 ds ’

. dt

de là, on déduit ^ et ensuite, par inverse :

rïr =

Dans la couche inférieure - est i et t = tK, le décroissement initial est

donc

(c?r), = — - — I + sf,

i -t- et.

» Il est donc le même que dans l’atmosphère limitée de Bessel, et se trouve de même beaucoup trop lent. Mais, dans celle-ci, sa vitesse ultérieure allait toujours en s’accélérant, conformément à ce qu’on observe dans l’atmosphère véritable, quand on s’élève au-dessus de ses couches les plus troublées ; au lieu que, dans l’atmosphère de Kramp, l’expression précédente de âr montre que sa vitesse se ralentit continuellement à mesure que la hauteur augmente, ce qui est contraire aux faits. Toutes ces incompatibilités deviennent manifestes dans le tableau suivant qui est calculé pour la température normale de Bessel, 2, = 9°,3o56.

Tableau du décroissement absolu et local des températures , . à diverses hauteurs, dans

l’atmosphère de Kramp.

» Il résulte de la discussion précédente que, ni l’hypothèse physique de Kramp, ni l’expression abrégée de la densité que Bessel en a déduite, ne représentent, même approximativement, la constitution réelle de l’atmosphère terrestre, voulût-on se borner à ; la considérer dans son état moyen. Les Tables de réfraction calculées d’après ces hypothèses, ne peuvent donc être qu’empiriques, et Bessel n’a pas envisagé autrement la sienne. Il a seulement voulu qu’elle fournît les valeurs, aussi approchées que possible, des réfractions qui s’opèrent régulièrement à toute distance du zénith, dans chaque état météorologique de la couche inférieure, sauf à n’en attendre que des indications moyennes, mais toutefois les plus probables, pour celles auxquelles le voisinage immédiat de l’horizon imprime des irrégularités accidentelles que l’on ne saurait prévoir. Il reste à examiner comment ce but a pu être atteint.

» Oublions l’hypothèse d’où Bessel est parti. Prenons seidement la formule analytique qu’il en a dérivée, et qu’il adopte comme l’expression générale des réfractions à toute distance du zénith, dans chaque état donné de la couche d’air inférieure. Cette formule contient trois constantes l, a, g , qui, une fois assignées en nombres, déterminent la valeur absolue de la réfraction B. 16

pour chaque distance zénithale apparente Qt. La constante g est entièrement arbitraire; mais les deux premières, l, <jl} ne sont pas au service des hypothèses. Elles entrent dans l’expression différentielle même de la réfraction, à titre d’éléments physiques propres à la couche d’air inférieure où les trajectoires lumineuses viennent aboutir. L’une l dépend du poids spécifique de cet air, l’autre a du pouvoir réfringent qu’il exerce dans son état de densité actuel ; de sorte que toutes deux doivent être prises et acceptées, telles que les expériences physiques et les épreuves astronomiques les donnent, pour ces conditions spéciales, sans qu’on ait le droit de les altérer. Bessel viole cette règle pour le besoin de son hypothèse. Car, ayant entrepris de reproduire toutes les réfractions, depuis l’horizon jusqu’au zénith, par la formule mathématique qu’il a fabriquée, il y traite, non-seulement la constante g, mais encore la constante a, comme si elles étaient toutes deux entièrement arbitraires. Il l’applique avec ces éléments indéterminés, à un grand nombre d’étoiles circompolaires, tant hautes que basses, observées dans leurs passages supérieurs et inférieurs ; puis il tire de là les valeurs qu’il faut leur attribuer pour que toutes ces observations se trouvent représentées, en somme, avec le minimum possible d’erreur. Cela lui donne la constante a tant soit peu moindre qu’elle ne se conclut des expériences physiques, et des observations mêmes d’étoiles circompolaires, spécialement appropriées à sa détermination. Or cette différence, toute petite qu’elle est, a une conséquence grave, en théorie comme en pratique. Car, ainsique Laplacel’a démontré, depuis le zénith jusque vers 80 degrés de distance zénithale, l’expression complète et générale de la réfraction se déduit directement de l’équation différentielle, sans avoir besoin de faire aucune hypothèse sur la constitution de l’atmosphère. Il ne faut pour cela que développer cette équation en une

série, qui est rapidement convergente lorsque le rapport est une petite

fraction de l’unité, auquel cas ses deux premiers termes donnent la réfraction correspondante à chaque distance zénithale apparente 0, , sans erreur pratiquement appréciable, pourvu que l’on attribue aux constantes l et a, les valeurs exactes que les expériences physiques et les épreuves astronomiques leur assignent. Toute cette portion si étendue du phénomène, qui peut être calculée immédiatement sans incertitude, se trouve donc viciée dans son évaluation, quand on veut l’associer, dans une même hypothèse, avec la portion plus basse et plus difficilement appréciable, qui ne les embrasse toutes deux approximativement, qu’aux dépens de la rigueur dont une seule est susceptible. C’est là le défaut inévitablement attaché au procédé

empirique d’après lequel Bessel a construit sa Table générale de réfractions. Pour connaître les erreurs qu’elle comporte, dans les limites de distance zénithale où l’exactitude a été sacrifiée à la généralisation, je compare ces indications à celles que fournit le développement immédiat de l’équation différentielle, obtenue parLaplace, en attribuant aux constantes / et a leurs vraies valeurs. Tel est l’objet du tableau suivant, qui est calculé pour la pression pA = om,r]6, en attribuant aux températures tt les valeurs successives, — 5°, o°, + io° du thermomètre centésimal. Les réfractions de Bessel sont prises des Tabulœ Regiomontanœ , où elles sont déduites de la même hypothèse, et présentées comme ses résultats définitifs {*).

DISTANCES ZÉNITALES APPARENTES.

Co°

r Laplace . . .^

Bessel

Laplace

6o,5oi

io4,56i

Bessel

Bessel.

— i,4oo

Laplace

Bessel

ioo,358

Bessel

— o,3oi

» Dans toute cette amplitude de distances zénithales, où les réfractions peuvent être obtenues directement, sans incertitude, celles de Bessel se montrent relativement trop faibles, par suite de la valeur moindre que sa formule empirique lui a donnée pour la constante a, quand il a voulu lui faire embrasser la totalité de ces phénomènes depuis le zénith jusqu’à l’horizon. Maintenant de quel côté est l’erreur? La formule approximative de L^place, dans les limites d’application qu’il lui assigne, est théoriquement

(*) Les réfractions données par la formule de Laplace sont tirées de la Table que publie la Connaissance des Temps, d’après les calculs exécutés par M. Caillet pour y introduire les véritables coefficients de l’air et du mercure. J’ai calculé les réfractions de Bessel d’après la transformation très-commode que M. Airy a faite de sa Table, dans l’Appendice au Recueil des observations de Greenwich pour 1 836.

incontestable. Des deux constantes l et a qu’elle renferme, la première i s’obtient par des pesées comparatives de l’air et du mercure, auxquelles on ne peut, aujourd’hui, rien objecter. La seconde a lui avait été donnée par Delambre, qui l’avait conclue directement d’observations astronomiques. Sa valeur s’est trouvée identique à celle que nous avons obtenue, Arago et moi, par des expériences physiques sur le pouvoir réfringent de l’air, comprenant plus de 4oo observations faites à des températures et sous des pressions très- variées ; observations dans chacune desquelles la réfraction effectivement mesurée était toujours cinq ou six fois plus grande que la constante a qu’on en déduisait. Les indications d’une formule établie sur des principes aussi assurés, et ne contenant que des données immédiatement fournies par l’observation ou l’expérience, ne sauraient, ce me semble, être légitimement contre-balancées par celles que l’on tirerait d’une expression hypothétique, dont les données se déterminent par empirisme, en associant les phénomènes simples à ceux qui sont complexes, et les réguliers aux irréguliers. Nous pouvons donc, sauf plus ample examen, regarder au moins comme très- vraisemblable, que, dans les comparaisons précédentes, l’infériorité relative des réfractions fournies par la Table de Bessel, donne à la fois la preuve, et la mesure, des erreurs qu’elle comporte, dans les distances zénithales auxquelles nous l’avons appliquée.

» Ces erreurs, si j’ose les nommer ainsi, sont numériquement fort petites; et il n’en saurait être autrement. Car même à 80 degrés du zénith, toutes les atmosphères sphériques, en équilibre, composées du même gaz que la nôtre, donnent des réfractions qui ne peuvent pas s’écarter des véritables au delà de

2" Les différences que nous trouvons ici tombent fort en deçà de cette limite.

Mais, toutes petites qu’elles sont, elles auraient une grande importance, se produisant dans la portion du ciel, où les observations astronomiques sont les plus fréquentes, et les réfractions moins troublées par les accidents atmosphériques. Elles sont de l’ordre des quantités que les astronomes s’efforcent aujourd’hui d’atteindre et d’assujettir à des déterminations précises. Elles rendraient ces déterminations impossibles, en les compliquant, en les viciant, de leurs propres irrégularités. Si, comme il y a lieu de le croire, ce sont des erreurs, il n’est pas improbable que déjà, l’emploi trop confiant des réfractions de Bessel, a déjoué les espérances que des observateurs habiles avaient légitimement fondées sur de longs et pénibles travaux.

» D’après la série d’études que je viens de soumettre à l’Académie, la formule approximative de Laplace, applicable jusque vers 80 degrés de dis-

tance zénithale, est aujourd’hui la seule qui, dans cette amplitude restreinte, donne, pour tous les états météorologiques de la couche d’air inférieure, des valeurs de la réfraction que l’on puisse admettre, comme étant légitimement déduites de la théorie et justifiées parla pratique. A des distances zénithales plus grandes, la connaissance de cet état local ne suffit plus, pour prévoir les effets des influences lointaines que les trajectoires lumineuses subissent avant de parvenir à l’observateur; et la constitution réelle de l’atmosphère est encore trop ignorée, pour que l’on sache rattacher ces effets lointains, aux mutations survenues dans le lieu d’observation. On ne peut plus alors espérer que de constater les valeurs moyennes, autour desquelles les réfractions oscillent. Or, en s’aidant de la foi mule de Laplace, tout observateur peut, sans aucune intervention d’hypothèses, se procurer une Table complémentaire qui lui fera connaître très-assurément ces moyennes, ainsi que les amplitudes des excursions qui s’opèrent autour d’elles dans la localité où il est placé; et, s’il existe quelque relation simple, qui permette de prolonger les prévisions un peu au delà de la formule, avec assez de constance pour qu’on puisse s’en prévaloir, quoique la théorie ne l’ait pas encore mise en évidence, il la découvrira infailliblement.

» Une condition essentielle à la bonne exécution de ce programme, c’est de n’y faire servir que des étoiles, dont les distances polaires aient été déterminées par des observations de distances zénithales qui n’excèdent point, ou même n’atteignent pas 80 degrés, afin d’exclure complètement des résultats toute évaluation hypothétique de la réfraction. Ceci convenu, choisissons des observateurs laborieux et habiles. Établissons-les avec de bons instruments dans des stations assez isolées et élevées au-dessus du sol environnant, pour que la couche d’air située à leur niveau échappe aux perturbations immédiates qu’engendrent des dispositions moins favorables. Puis, supposons, qu’ainsi préparés, ils entreprennent de déterminer les réfractions moyennes qui se produisent autour d’eux dans un azimut défini, dans le méridien, par exemple, aux distances de leur zénith comprises entre 80 et 88 degrés, s’ils jugent inutile d’aller au delà.

» Considérons d’abord des stations qui seraient situées dans notre hémisphère boréal, sous des latitudes comprises entre 3o et /jo degrés. Les observateurs qu’on y aura placés pourront se suffire à eux-mèmes, ne leur accordât-on que des instruments portatifs.

» Prenons en effet, comme exemple, la latitude de 4o degrés. A cette limite, la distance du pôle au zénith est 5o degrés. Elle se trouve comprise dans la formule de Laplace. L’étoile qui passe au méridien, sous le pôle, à 88 degrés

SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES, de distance zénithale, a donc 38 degrés de distance polaire. Ainsi, quand elle revient dans ce même plan, au-dessus du pôle, elle se trouve à 1 2 degrés au nord du zénith; ce qui donne la possibilité d’observer encore ce second passage avec une suffisante exactitude, même au cercle répétiteur. L’observateur que nous considérons, en s’aidant de la formule de Laplace, et de ses propres observations d’étoiles circompolaires , pourra donc, sans autre secours, déterminer la vraie distance du pôle à son zénith, vérifier la constante a de cette formule, et obtenir les valeurs des réfractions que les étoiles observées auront subies dans leurs passages inférieurs, depuis 80 jusqu’à 88 degrés du zénith, en retranchant des distances zénithales apparentes qu’elles ont eues alors, leurs distances zénithales vraies, conclues des distances polaires qu’il aura mesurées dans les passages supérieurs. La même étude aussi complète, aussi indépendante, pourra s’effectuer par les mêmes procédés, sous toutes les latitudes plus méridionales, où les étoiles qui entourent le pôle ne descendront pas, dans leurs passages inférieurs, trop loin du zénith pour que la formule de Laplace puisse s’y appliquer. Mais, dans ce dernier cas, la distance vraie du pôle au zénith se conclurait de distances polaires mesurées sous des latitudes plus élevées, et le reste du travail s’achèverait immédiatement par l’observation.

» Transportons-nous maintenant sous un parallèle plus boréal ; celui par exemple, dont la latitude est 5o degrés, ce qui réduit la distance du pôle au zénith à L jo degrés. Alors les étoiles qui feront leurs passages inférieurs entre 80 et 88 degrés de distance zénithale, auront leurs distances polaires comprises entre 4 o et 48 degrés. Leurs passages supérieurs s’opéreront donc, depuis le zénith même, jusqu’à 8 degrés au sud de ce point; et l’on ne pourra plus les observer avec sûreté aussi proche de la verticale, au moyen des cercles répétiteurs portatifs. Mais, à défaut d’autre secours, on pourra emprunter leurs distances polaires déterminées sous des latitudes plus grandes ou moindres, à des distances zénithales auxquelles la formule de Laplace s’applique, ce qui donnera de même les réfractions qu’elles auront subies dans leurs passages inférieurs. Si l’observateur est pourvu d’instruments qui permettent d’observer aussi près du zénith, comme cela a lieu dans les grands observatoires fixes, on déduira ces mêmes réfractions des distances polaires déterminées immédiatement . Ces diverses opérations seront également réalisables sous toutes les latitudes plus élevées; et, en les assujettissant aux mêmes règles, elles feront connaître avec la même sûreté, sans aucune intervention d’hypothèses, les réfractions qui se seront opérées, au delà des limites de distances zénithales que la formule théorique de Laplace peut embrasser.

» A mesure que l’on obtiendra ces résultats, on les enregistrera dans une Table, présentant en regard, pour chaque observation, les indications du baromètre, du thermomètre, de l’hygromètre, ainsi que la distance zénithale apparente, et la réfraction que l’on a conclue. L’ensemble de ces tableaux fera connaître, sans aucune hypothèse, les réfractions moyennes, qui s’opèrent au nord du zénith, dans la localité choisie, sous toutes les distances zénithales auxquelles les observations ont été appliquées; et si, par delà 80 degrés, il existe encore quelque relation approximativement constante entre les réfractions et les indications des instruments météorologiques, on aura toute chance de la découvrir. On obtiendrait des résultats analogues pour les réfractions qui s’opèrent au sud du zénith, ou dans tout autre azimut, en s’aidant des distances polaires déterminées sous d’autres latitudes, à des distances zénithales auxquelles la formule approximative de Laplace, permet d’évaluer théoriquement la réfraction.

» Dans la préface des Tabulæ Regiomontanœ , page LXII, Bessel dit avoir vérifié sa Table par des observations d’étoiles circompolaires jusqu’à 85° de distance zénithale. Mais si, comme cela est très-vraisemblable, la valeur de la constante a, qui lui avait été donnée par son hypothèse, est trop petite, cette erreur a dû affecter les distances polaires conclues des passages supérieurs, ainsi que la distance même du pôle au zénith, de sorte que l’on ne peut pas logiquement dire que la Table a été ainsi vérifiée, dans cette partie supérieure de son application. La même objection me semble s’appliquer aux amplitudes d’erreurs occasionnelles de ses indications depuis 45° jusqu’à 89° 3o' du zénith, que Bessel rapporte comme lui ayant été communiquées par l’habile astronome M. Argelander. Car toutes ces évaluations ne peuvent être réputées absolues, qu’autant que les couples d’observations supérieures et inférieures d’où on les déduit, ont un de leurs éléments théoriquement assuré, condition que la formule approximative de Laplace peut seule remplir ; soit qu’on veuille l’employer avec la valeur de la constante a qu’il avait admise, et que les expériences physiques ont pleinement confirmée, soit que l’on juge convenable d’en assurer de nouveau la détermination par des observations astronomiques spécialement appropriées à ce but comme je l’ai tout à l’heure expliqué. Elle seule est vraie et certaine en soi, parce qu’elle ne repose que sur les propriétés statiques nécessairement inhérentes à une atmosphère gazeuse, possédant un pouvoir réfringent connu. Les discussions minutieuses, dans lesquelles je suis entré, montrent, je crois, suffisamment, qu’il n’y a aucun fonds de réalité dans toutes les hypothèses mathématiques, où la portion complexe et irrégulière du

phénomène des réfractions est associée à la régulière, au détriment de la rigueur avec laquelle celle-ci peut être évaluée isolément, par la formule théorique que Laplace nous a donnée. Je ne regretterais ni le temps ni la peine, que m’a coûté ce long travail, s’il pouvait persuader aux astronomes de s’accorder à calculer généralement leurs réfractions par cette formule, dans les limites de distances zénithales qu’elle embrasse; ce qui serait l’unique moyen de rendre uniformes, et comparables entre elles, les déterminations délicates qu’ils s’efforcent maintenant d’obtenir. Persister à évaluer ces phénomènes, dans les différents observatoires, par des Tables empiriques, construites sur des hypothèses dissemblables, et dont les indications discordent entre elles, cela équivaudrait, en physique, à mesurer les températures par des thermomètres, dont les échelles de graduation auraient leurs points fixes inégalement placés, et mal définis. Quant à construire une Table générale de réfractions, qui soit théoriquement modelée sur la constitution véritable de notre atmosphère, l’espoir en est, au moins, bien éloigné. Trop de données nous manquent. Les unes, que l’on pourrait connaître par des séries d’ascensions aérostatiques convenablement instituées, seraient difficiles, délicates, et surtout trop coûteuses à recueillir, pour que l’on puisse, de longtemps, les espérer. Les autres, ne se trouveraient qu’à des hauteurs, oû l’homme ne peut vivre. Une de celles-ci, et des plus importantes, parce quelle intervient sans cesse dans ce genre de recherches, c’est l’élévation absolue de l’atmosphère. Peut-être réussirait-on à déterminer très- approximativement sa limite sensible, par des observations longtemps suivies de la courbe crépusculaire, surtout de son mouvement progressif d’ascension ou de descente, à mesure que le soleil se rapproche de l’horizon oriental avant son lever, ou s’abaisse sous l’occidental après son coucher. Des îles isolées dans l’Océan, loin des côtes, offriraient des stations éminemment convenables à cette étude. Mais ce sont là des vœux pour l’avenir. En attendant qu’ils se réalisent, servons-nous de ce que nous possédons, et tâchons de l’accroître par l’observation ou l’expérience. Mais craignons de le gâter, en le compliquant d’hypothèses, qui ne seraient bonnes qu’à nous égarer »

PARIS. — IMPRIMERIE DE MALLET-BACHELIER, rue du Jardinet, n° 12.