sti j

donc, si l’on veut que t soit partout égal à t,, il faudra poser généralement [1] y = x.

C’est effectivement la relation que Laplace admet; et, en faisant par con-

jo4

vention,

il en tire, comme je l’ai dit, par la condition de l’équilibre,

[2] J—e 1 où l’on a l = /0 (1 H- e£,).

» Mathématiquement parlant , les équations [1] et [2] sont incompatibles. En effet, la première suppose qu’à la limite extrême de l’atmosphère où la pression x doit être nulle, la densité y devient nulle aussi ; mais, d’après l’équation [2], y ne peut devenir nulle que si s devient infini, ce que ne comporte pas la nature de cette variable. Car la plus petite de ses valeurs est o, ce qui arrive dans la couche d’air inférieure où r= a; et la pins grande est 4- 1, ce qui arrive lorsque rest infini, auquel cas la valeur dej"

est e 1 . Il suit de là qu 'une atmosphère gazeuse ne peut pas se maintenir en équilibre , sous l'irifluence d'une gravité réciproque au carré de la distance r, si la température y est supposée rigoureusement constante.

» Renonçant donc à cette condition d’égalité absolue, qui donnerait x égal a y, proposons-nous de constituer une atmosphère en équilibre, où la relation algébrique des ^ aux x, soit seulement astreinte à être linéaire, comme l’était l’équation [r|. La forme la plus générale que l’on puisse attribuer à cette relation sera :

i et b étant deux constantes indéterminées. Pour que l’égafité ainsi exprimée, se vérifie dans la couche inférieure, où x et y sont tous deux égaux à 4- 1, il faudra faire b = 1 — i ; ce qui donnera en définitive :

[3] y=ix-hi - i.

» Le coefficient i reste indéterminé. Mais, quel qu’il soit, on voit qu’à la limite supérieure de l’atmosphère où x doit devenir nul, la densité y conservera une valeur finale 1 — i.

« Cette relation étant ainsi établie dans toute la généralité qu’elle peut admettre, appliquons-lui l’équation de l’équilibre :

Idx = — ayds.

dy ia

Il en résultera

SUR LA THEORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. io5

équation dont l’intégrale est :

ia'

Il n’y a pas de constante arbitraire à ajouter, parce que la condition que y soit -+■ i quand s est o, se trouve satisfaite.

» En représentant la densité finale i — i par u , les équations [2] et [3] deviennent :

ce sont les deux mêmes que nous avons déduites de l’hypothèse mathématique de Bessel, sauf que nous y laissons maintenant le coefficient i indéterminé. Elles auront donc les mêmes conséquences générales.

» Si l’on veut que S soit la valeur de s , à la limite extrême de l’atmosphère, où y est u ; l’équation [2] donnera pour ce cas :

ce qui établit une condition de dépendance mutuelle entre u et S.

» Laplace fait S = 1; ce qui donne à son atmosphère hypothétique une étendue infinie. Alors la valeur de u sera déterminée par l’équation :

c’est en effet la même que nous avons reconnue précédemment, comme devant rendre la hauteur Z de l’atmosphère infinie.

» Il .est facile de prévoir, que la valeur de u qui satisfera à cette égalité, sera d’une petitesse excessive. Car le nombre e est 2,7281823... ; et, dans

toutes les’ applications habituelles le rapport surpassera 700; puisque la

valeur de l ne deviendrait assez grande pour l’abaisser jusque-là que si la température inférieure i,, s’élevait à -t- 38°, 372 de la division centésimale, en adoptant le coefficient de dilatation 0,00375, comme le font Laplace et

Bessel. Or, dans ce cas extrême, e 1 serait moindre que io3tl ;

» Pour mettre à profit cette circonstance, j’écris l’équation précédente sous la forme :

io6 UR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHERIQUES,

et comme le produit j u, devra être une très-petite fraction, je développe

le facteur qui le contient en série, ordonnée suivant ses puissances ascendantes ; ce qui donne :

d’ou l’on tire :

» En se bornant au premier terme du second membre qui est indépendant de «, on a :

» Il est visible que l’erreur de cette approximation ne commence que

dans les termes de l’ordre e 1 . Cefa suffit donc pour prouver que, dans l’application de l’hypothèse mathématique, définie par l’équation [2], en y laissant le coefficient i quelconque, au lieu de le particulariser comme le fait Bessel, les atmosphères de toute dimension, que l’on en peut déduire, conservent toujours une densité finale u ou 1 — £, qui ne devient jamais absolument nulle, même quand leur hauteur est infinie.

» Dans toutes ces atmosphères l’équation de dilatabilité donnera, comme on l’a vu précédemment:

seulement la densité finale u n’y étant plus rendue dépendante de comme dans l’hypothèse de Bessel, la liberté de ses variations est beaucoup plus étendue. Ainsi, dans le cas extrême que nous considérions tout a l’heure, l’excessive petitesse de la densité finale u fera que t paraîtra presque constant et égal à f,, à toutes les hauteurs où la densité y pourrait avoir quelque influence appréciable sur les réfractions. Toutefois t ne sera pas constant à la rigueur ; car, à la limite de l’atmosphère où y devient égal à u, la formule donne :

» Prenons une de ces atmosphères, d’une hauteur quelconque, correspondante à une certaine valeur S de la variable s; et supposons, qu’à cette limite, elle conserve une certaine densité finale u. Pour évaluer la réfraction totale qui doit s'y opérer, sous chaque distance zénithale apparente 0,, il faudra d’abord effectuer l’intégration générale depuis s = o jusqu’à ^ = S, ce qui donnera la portion de cette réfraction qui est indépendante de la couche terminale. Arrivé là, on calculera l’angle v' que la tangente à cette dernière portion courbe de la trajectoire lumineuse forme avec le rayon central r qui y correspond. Cet angle s’obtiendra généralement par la formule :

shu’' = f 5 dans latl"elle “• =

On pourra l’en conclure directement si le rapport j est une très-petite frac-

tion de l’unité; mais il conviendra de l’évaluer par sa cotangente, si ce rapport diffère peu de 1, comme cela a lieu dans toutes les atmosphères peu étendues (*).

» v' est l’angle de réfraction intérieur suivant lequel l’élément lumineux s’est dirigé, lorsque, sortant du vide, il a traversé la couche terminale, sans épaisseur, dont la densité est u. Conséquemment, si l’on nomme w la déviation qu’il a subie dans ce passage, son angle d’incidence extérieur, compté de la même normale, a dû être v' -+- u. Cette déviation s’opère suivant la loi de Descartes, avec un rapport de réfraction qui est sji -1- (\kpi u. On doit donc avoir

de là on tire :

sin ( v' -1- « ) = sin v ' \j\ H- ] k p , u

sin w — 2 sin 2 - w tange' =

4 A p,u tangt»'

Si l’on ne tient compte que des termes qui contiennent la première puissance du produit kpt u , ce que la petitesse, physiquement nécessaire de la densité finale u, permettra presque toujours, l’égalité précédente donnera simplement :

«"= nR"kp,u tange',

R" désignant le rayon du cercle réduit en secondes, lequel, dans la division sexagésimale, a pour logarithme tabulaire 5,3 1 44^5 1 . La valeur complète

( *) Voyez les Additions à la Connaissance des Temps de 1 83g, pages 77 et suivantes.

io8 SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES,

de la réfraction produite par l’atmosphère considérée, sera ainsi :

Re, -+- w".

» Appliquons d’abord ces règles de calcul, à une atmosphère d’une étendue infinie. C’est le cas que Laplace a traité. Pour former Re , on devra étendre les intégrations depuis s =o jusqu’à s = i. C’est ce qu’il fait. A cette dernière limite, le rayon centra! r étant infini, l’angle v' devient nul, et la dernière tangente de la trajectoire lumineuse se trouvant perpendiculaire à la couche terminale, il ne peut s’y produire aucune réfraction Ainsi, tant par cette circonstance, qu’à cause de l’excessive petitesse de la densité finale u, «" est nul, et la réfraction totale se réduit à Rfl. . Le calcul de Laplace est donc correct.

» Mais, d’après les mêmes principes, celui que Bessel applique à ses atmosphères d’une'étendue bornée, semblerait analytiquement fautifen deux points. Premièrement, au lieu d’effectuer les intégrations qui s’y rapportent depuis s = o jusqu’à la valeur très-petite S, qui a lieu à leur limite supérieure, et qui s’élève à peine à 0,006, il les étend, comme Laplace jusqu’à s = ï, c’est-à-dire jusqu’à des valeurs infinies du rayon central r; en sorte qu’il continue ainsi de les appliquer à des hauteurs où la pression deviendrait algébriquement négative dans ses atmosphères, ce qui répugne à toute interprétation physique. Secondement, il ne tient aucun compte de la portion de la réfraction qui se produit dans leur couche terminale. Or il s’en faut qu’elle puisse être négligée ; non-seulement parce que sa

densité u est toujours fort sensible, mais aussi parce que le rapport j étant

très-peu différent de l’unité à la limite de ces atmosphères, la dernière tangente des trajectoires lumineuses voisines de l’horizon, arrive à cette couche sous des incidences intérieures très-considérables, ce qui accroît là grandeur de la déviation que l’élément lumineux y subit. Si l’on suppose, par exemple, que, dans la couche d’air inférieure, la température soit o°, et la pression om,76, la valeur finale de l’angle v' , pour la trajectoire qui arrive horizontale à l’observateur, est 8405o'4ï"; et comme la densité finale u est alors, o,o35, la valeur résultante de w" est 23", 5, quantité trop notable pour qu’on puisse la négliger.

» Quoique les démonstrations précédentes ne me semblent pas pouvoir être contestées, l’autorité scientifique de Bessel est, à juste titre, si grande, et sa Table de réfraction est si généralement acceptée comme loi par les astronomes, que j’ai jugé indispensable d’en vérifier les résultats par des

épreuves numériques directes et rigoureuses, avant de me hasarder à dire, ou même à croire, qu’ils pussent être inexacts.

» Pour cela, j’ai encore eu recours au zèle et à l’inépuisable obligeance de mon ami M. Caillet, examinateur de la marine. Je l’ai prié de vouloir bien appliquer aux atmosphères bornées de Bessel la méthode générale des interpolations paraboliques, dont l’exactitude semble avoir été suffisamment prouvée par l’usage que j’en ai fait précédemment pour calculer les réfractions dans les hypothèses analytiques de Newton et d’Ivory, comme on le pourrait avec non moins de sûreté et de concordance numérique dans toute autre [*). Opérant donc ici, comme je l’ai tout à l’heure expliqué, on effectue d’abord les interpolations depuis la couche inférieure de ces atmosphères jusqu’à leur sommet, ce qui donne la portion principale de la réfraction que j’ai appelée R5i , On évalue ensuite la portion ultérieure w" de cette même réfraction qui s’opère dans leur couche finale, dont la densité est désignée par l’hypothèse même. La somme Rô( -+- représente la réfraction totale qui doit se produire à la distance apparente 0n pour laquelle on a effectué le calcul.

» M. Caillet a d’abord cherché, par cette méthode, la valeur de la réfraction horizontale, dans l’atmosphère constituée pour les circonstances météorologiques que Bessel adopte comme normale, et de laquelle j’ai consigné plus haut tous les caractères déterminatifs. Voici quels ont été les résultats (**) :

Portion principale de la réfraction horizontale R? 35' .44* >699

Portion complémentaire opérée dans la couche terminale ... u" o' . 22" , 700

Réfraction totale résultante + w 36'. 7", 399

La même, par la Table de Bessel 36' .6", 86

Excès des interpolations sur la Table + o' .0", 54

» M. Caillet a effectué le même calcul poür l’atmosphère de Bessel, correspondante aux conditions météorologiques I, = — o°,6944 et p , = om,rj6. Quoique Bessel ait établi ses réductions analytiques de pression et de température sur des considérations analytiques parfaitement exactes, la complication des formules a pu le contraindre d’admettre quelque tolérance approximative dans leur application. En outre, il y a une petite faute dans

(*) Additions à la Connaissance des Temps de 1839, pages 8 t et 107.

(**) N’osant pas insérér ici les éléments des interpolations partielles, pour ne pas trop étendre cette communication , je les dépose au Secrétariat , où chacun pourra les consulter et en vérifier l’exactitude.

uo SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES,

l’emploi du coefficient de dilatation de l’air, qui est pris à partir de 10 degrés, comme s’il partait de o degré (*). Quoi qu’il en soit, voici le résultat de cette seconde épreuve :

Portion principale delà réfraction horizontale R? 38'. 4o ,30^

Portion complémentaire opérée dans la couche terminale. w" o'. 23", 481

Réfraction totale résultante

La même, par la Table de Bessel

. Rj + u» .3q'. 3", 788

Excès des interpolations sur la Table

» Cette différence, occasionnée par les réductions, est insignifiante dans un résultat pareil. La première, de sens contraire, était presque nulle.

» Ces épreuves nous conduisent à une conséquence fort étrange. L’hypothèse de Bessel, régulièrement interprétée, donne des atmosphères dont les hauteurs, au-dessus de la surface terrestre, atteignent à peine 0,006 de son rayon dans les applications qu’on en peut faire; et elles ont toutes des densités finales dont l’effet réfringent est fort sensible. Bessel y calcule les réfractions, par les formules de La place, comme si ces atmosphères, n’ayant pas de densité finale, n’étant pas non plus assujetties aux conditions d’équilibre, s’étendaient depuis la surface de la terre jusqu’à qne hauteur infinie; et les résultats qu’il obtient se trouvent numériquement d’accord avec ceux que fournit le calcul direct appliqué à ces memes atmosphères, considérées dans leurs circonstances réelles de limitation et de densité finale propre. Ceci présente un paradoxe de physique mathématique dont je dois remettre le dénoûment à une séance prochaine. »

(*) Bessel adoptait le coefficient de Gay-Lussai , 0,003^5 ou — - 5 qui suppose la tem

pérature comptée de o degré. Lui attribuer cette valeur quand on la compte de 10 degrés,

c’est le faire originairement égal à 5 ou o,oo38q6; cette faute est corrigée dans les

Tabules Regiomontanœ , avec la particularité remarquable que, dans son introduction, page 60 , Bessel dit avoir été amené , par des observations d’étoiles circompolaires trèsbasses , à prendre pour le coefficient de dilatation o,oo36438, à partir de o degré; ce qui est presque identiquement sa valeur véritable, trouvée sept ans plus tard par Rudberg.

(, Séance du 5 mars i855.)

Sur le degré de confiance que Von doit accorder aux Tables de réfraction actuelles. Examen de la théorie de Bessel. (Suite et conclusion.)

« Dans ma communication précédente, je me suis arrêté à un point de la théorie de Bessel, qui m’a paru avoir besoin d’éclaircissement, je dirais presque de justification. Je m’étais borné à signaler la difficulté qu’il présente : je vais aujourd’hui l’aborder de plus près, en spécifier le caractère, et montrer comment on la peut résoudre.

» Laplace avait, après Kramp, établi le calcul général de la réfraction dans une atmosphère sphérique, en équilibre et de température uniforme. Il commence par prouver qu’alors, la densité à toute hauteur r — a, a pour expression :

s étant une variable assujettie à la relation

de sorte, qu’étant d’abord o, dans la couche inférieure où r= a, elle peut s’accroître jusqu’à H- i, si l’atmosphère a une étendue illimitée, ce qui est le cas extrême que l’hypothèse comporte, et auquel les expressions intégrales des réfractions obtenues par Kramp et Laplace, s’appliquent spécialement.

» Bessel ne définit point la constitution statique de l’atmosphère qu’il séjpropose de considérer. Il se borne à y supposer hypothétiquement :

i étant un coefficient positif, très-peu inférieur à -+- i , qu’il fait généralement égal à i — expression dans laquelle g désigne une constante trèsgrande comparativement à l.

» Cette nouvelle forme dey est empruntée à Kramp, auquel Bessel oublie de l’attribuer (*). Elle ne diffère de celle de Laplace qu’en ce que le coeffi-

(*) Kramp, Analyse des réfractions astronomiques et terrestres, page 24 et 121. Dans la relation de Kramp, la constante l de Laplace et de Bessel est désignée par la lettre h, et le rayon central par y. Pour les applications à de petites hauteurs, il néglige le décroissement de la gravité; mais, quand il y a égard, il remplace comme nous la hauteur y — a ou r — a par

dans l’exposant de la base logarithmique e [voyez page 35 de son ouvrage).

oient j est devenu y- S’autorisant de celte analogie, Bessel admet, sans autre

explication, que l’expression analytique de la réfraction à toute distance du zénith, donnée par Kramp et Laplace pour la forme (i), devra s’appliquer

également à la forme (2), en remplaçant le rapport y par y ? dans tous les termes qui la composent (*). La Table des réfractions des Fundamenla , reproduite dans les Tabulas Regioinontauœ , est numériquement calculée, sur la formule ainsi étendue.

)> Toutefois, cette extension immédiate ne serait pas analytiquement légitime. Les atmosphères qui se déduisent de la forme (1), tout en satisfaisant à la condition de l’équilibre, peuvent avoir une étendue quelconque, même illimitée. Les formules de Kramp et de Laplace sont établies pour ce cas extrême; et, en conséquence, les intégrales relatives à la variable s, y ont été prises depuis s — o, jusqu’à s = -+- 1 . Mais les atmosphères qui se déduisent de la forme (2), assujettie de même à la condition d’équilibre, ont toutes des étendues bornées, telles que les plus grandes valeurs de la variable s, ne s’élèvent pas jusqu’à 0,006 dans les applications qu’on en peut faire. Les intégrales relatives à la variable s , doivent donc y être effectuées depuis o, jusqu’à la limite restreinte de s qui est propre à chacune d’elles, et non pas entre les limites infiniment plus étendues o et +1. Cependant, un calcul direct nous a fait reconnaître que les réfractions déduites par Bessel de ces intégrales ainsi prolongées, 11e présentent pas d’erreurs numériques, sensibles. C’est là le paradoxe qu’il faut dénouer.

» Pour cela il est nécessaire de rappeler ici une hypothèse physique trèssimple, très-ingénieuse, que Bessel emprunte textuellement à Kramp sans le citer, en la présentant même, par oubli, comme sienne (**). Kramp l’avait énoncée, et traduite aussi en langage analytique, dans son remarquable ouvrage sur les réfractions atmosphériques, où la théorie de ces phénomènes a été envisagée pour la première fois dans son ensemble, ouvrage qui a paru en 1798, sept années avant la publication du travail de Laplace, trentedeux ans avant celui de Bessel sur le même sujet, et qui renferme toutes les intégrales générales, qu’on y a, depuis, appliquées.

( * ) Fundarnenta, page 28.

(**) Comparez Bessel, Fundarnenta, page 27, et Kramp, pages 23, 24. Le principe et son énoncé algébrique sont identiques. Il n’y a de différence que dans la valeur attribuée à la constante g. Kramp a bien vu qu’elle devait être beaucoup plus grande que la constante /. Mais n’ayant pour la déterminer que des données très-vagues, il l’estime beaucoup moindre que Bessel , la faisant de 27000 à Soooo toises ; au lieu de i 16866, qui est le nombre des Fundarnenta.

» Kramp appelle élasticité spécifique d’un gaz, le rapport de la pression qu’il supporte, à la densité sous laquelle son élasticité propre , le rend actuellement capable de la soutenir. Prenant donc pour unité de pression, et pour unité de densité, les valeurs simultanées de ces deux éléments, dans la couche inférieure d’une atmosphère en état d’équilibre, ce rapport, à

toute hauteur, sera exprimé généralement par - •> suivant la notation que j’ai

adoptée. Des considérations physiques, portent ensuite Kramp a admettre qu’il doit décroître en progression géométrique pour des accroissements égaux de hauteur. Pour traduire cette loi en analyse, prenons une variable s, qui dépende des distances au centre a et r, par la relation algébrique :

le produite, représentera très-approximativement la hauteur d’une couche quelconque. Alors, en désignant par g, une constante, que nous laisserons d’abord arbitraire, et prenant pour raison de la progression géométrique la

base e des logarithmes hyperboliques élevée à la puissance -» ce qui sim-

plifiera les calculs, on aura généralement dans toute atmosphère en équilibre, ainsi constituée :

Et ces atmosphères ne différeront entre elles que par la valeur que l’on voudra attribuer à la constante g, qui représente ici un certain nombre d’unités linéaires, de même nature que celles dans lesquelles le rayon a est exprimé.

» La relation [i] est précisément celle sur laquelle Bessel se fonde, et qu’il emprunte textuellement à Kramp, sans le citer. Je n’ai fait qu’y désigner la constante par la même lettre g dont il fait usage, pour rendre l’identité plus évidente.

» La relation hypothétique [i] étant combinée avec l’équation de dilatabilité :

i -h et, f

et avec l’équation de l’équilibre :

[3] Idx — — ayds ,

détermine complètement la constitution de l’atmosphère résultante. Cette

relation différentiée, donne d’abord :

di -

et l’équation [3], particularisée pour cette valeur de dx , devient

Sous cette forme elle est immédiatement intégrable, et en déterminant la constante arbitraire par la condition que y soit égal à -+- i quand s est nul, on en tire

» Bessel rapporte cette expression de la densité comme étant la conséquence de la relation [i], ce qui montre qu’il a dû également l’en dériver par l’équation de l’équilibre, en prenant la variable s dans la même acception que nous lui avons attribuée. Mais, en introduisant y comme une fonction de s aussi complexe, dans l’équation différentielle générale de la réfraction établie par Laplace au livre X de la Mécanique céleste, § 6, les intégrations seraient inexécutables. Pour les faciliter Bessel simplifie l’expression de y. Il développe, suivant les puissances ascendantes de s, l’exponentielle qui s’y trouve en exposant, et s’arrêtant à la première de ces puissances, il obtient

ou, en faisant

» Au point de vue purement analytique, cette déduction serait incorrecte.

Be développement de es n’est légitime, du moins ne peut être restreint à ses deux premiers termes, que si le produit •- s est une très-petite fraction

de l’unité. Or, d’après la valeur que Bessel attribue ultérieurement à la constante g-, le rapport - est presque égal à 28. Cela exigerait donc que la

variable 5 restât toujours individuellement très-petite dans les applications; ce qui est loin d’avoir lieu, puisque Bessel y étend ses variations jusqu’à leur

SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. u5

limite extrême -+- 1 . Il se justifie toutefois, en alléguant que l’expression simplifiée (i) peut être admise à priori comme hypothétique, tout aussi valablement que la relation complète [4], qui ne l’est pas moins. A ce titre on ne peut la lui contester; mais alors, pour se réserver le droit de l’employer comme élément d’intégrales prises depuis s=o jusqu’à s= 1, il faut expressément spécifier, ainsi que l’a fait Kramp, que l’on se propose toujours de calculer les réfractions dans l’atmosphère rigoureuse, définie par l’équation [4], laquelle admet une étendue illimitée; et que l’expression simplifiée (1) sert seulement à titre d’évaluation approximative de ses densités à toute hauteur. Car, supposé que cette évaluation ne se trouve pas trop inexacte en pratique, on obtiendra les réfractions qui y correspondent, dans l’atmosphère définie par l’équation [4], en remplaçant le rapport ~

par dans les intégrales analytiquement établies pour le cas d’une atmosphère de température uniforme ; et il ne restera plus qu’à voir si les valeurs numériques des réfractions ainsi obtenues s’accordent suffisamment avec l’observation quand 011 aura déterminé convenablement la constante g. Voilà ce que Kramp a dit à la page 121 de son ouvrage, et Bessel n’a fait que suivre, en cela, ses prescriptions, sans les rappeler. Seulement il a jugé nécessaire de justifier la substitution de la forme abrégée (1), à la forme complète [4]> dans les éléments des intégrales, en montrant que ces deux expressions assignent à la densité des valeurs à peine différentes quand on les calcule pour des valeurs égales des hauteurs as. Voici le tableau de cette comparaison, auquel j’ai ajouté deux termes intermédiaires qui nous serviront plus tard. Les hauteurs as y sont exprimées en toises de Paris.

/as \

i? \ S j as