DIFFÉRENCE
des deux réfractions locales.
Zi
» Coefficient de la réfraction terrestre conclu de ces nombres :
fi = o,i 568oy . v.
» Résultats analogues déduits de la formule approximative , en évaluant les coefficients différentiels
i par la parabole la plus basse conclue de l’ascension de Gay-Lussac :
ds /. \ /s
fi = 0,i56446v; o. H- o\ = -H 4r 4 1 ">604* Erreur de l’approximation : — o",65o.
» Tous les calculs sur lesquels ces résultats sont fondés, se trouvent rapportés en détail dans les Additions à la Connaissance des Temps pour l’année 1842 ( * ).
(*) Je profite de cette circonstance pour indiquer une faute d’impression qui existe à la page 54 du Mémoire auquel je renvoie. Elle porte sur l’expression approximative de fl, qui est écrit avec le signe — ,
tandis qu’il faut —
Ces fautes
au lieu du signe -K On lui a donné en outre pour facteur —
n’existaient point dans le manuscrit , et tous les calculs qui suivent ce passage du Mémoire ont été effectués sur la formule exacte. Elle a été reproduite et employée sous sa forme correcte , dans les Notes du tome 1er de mon Traité d’ Astronomie, pages 262 et suivantes.
» Connaissant, par cette étude préliminaire, les caractères géométriques des portions de trajectoires lumineuses qui ont pu se former entre des signaux terrestres situés à diverses distances, dans un état régulier des couches inférieures de l’atmosphère, qui a effectivement existé^ cherchons quels sont ceux de ces caractères que l’on pourra constater et apprécier par des observations de distances zénithales, effectuées aux deux stations qui les terminent.
» Si deux observateurs placés en ces points extrêmes prennent simullanément les distances apparentes Z,,Z2 de l’autre signal, séparé d’eux par l’angle au centre e, la considération du quadrilatère plan CM' IM", dont les angles internes doivent former en somme quatre angles droits, leur donnera immédiatement l’angle intérieur T" IM' ou 0, lequel aura pour expression :
» Mais cette relation ne s’appliquera à une même trajectoire lumineuse que sous la condition rigoureuse que les distances zénithales réciproques auront été observées simultanément. Car si elles étaient seulement réciproques sans être simultanées, elles appartiendraient généralement aux tangentes extrêmes de deux trajectoires différentes; et la valeur de 0, fournie par la même relation, exprimerait l’angle formé par ces tangentes, qui n’auraient entre elles aucune connexité physique dont on pût se prévaloir.
» La valeur de 0 obtenue ainsi par des observations, même simultanées, représente seulement la somme -h des deux réfractions locales qui ont eu lieu à un même instant, aux deux extrémités d’une même trajectoire. Mais cette donnée est insuffisante pour que l’on puisse en conclure la différence de niveau des deux stations, ce qui est l’usage spécial auquel ce genre d’observations s’emploie dans les opérations géodésiques. Il devient alors nécessaire de connaître aussi la différence c?, — â3 des deux réfractions locales, afin d’avoir chacune d’elles individuellement. On y supplée en les supposant égales, ce que nos tableaux A et B montrent devoir être peu en erreur, aux distances restreintes où la convexité de la Terre oblige de placer les signaux géodésiques. Cela revient à considérer comme circulaire la portion de la trajectoire lumineuse, qui est comprise entre eux. Mais cette hypothèse, suffisante pour la pratique de l’ingénieur, n’est pas théoriquement acceptable comme réalité.
Ayant ainsi constaté l’excessive variabilité physique du coefficient
SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. i5
de do, dans l’expression différentielle
i -+- 4 hp
do,
lorsqu’on l’applique à des couches d’air minces, peu étendues, et peu élevées au-dessus de la surface terrestre, comme sont toujours celles qui se trouvent comprises entre deux signaux géodésiques, supposons que, par des observations de distances zénithales réciproques et simultanées, faites entre deux signaux pareils, on ait, à un certain jour, à un certain instant, déterminé sa valeur actuelle, sur la ligne d’air suivie par la trajectoire
lumineuse qui va de l’un à l’autre, et qu’on l’ait trouvée égale à m étant
un nombre connu. On n’en pourra nullement conclure qu’il aurait encore cette même valeur, à ce même instant, sur les trajectoires lumineuses qui parcourraient des portions de la même masse d’air, comprises entre des signaux moins ou plus distants; et nos tableaux A et B offrent des exemples du contraire. Toutefois, admettons hypothétiquement qu’il en soit ainsi. Alors, tous les éléments de l’intégrale 0, se trouvant constants, et égaux à
— do entre les limites d’amplitude qu’elle doit embrasser, on en conclura
immédiatement, dans ces limites,
Alors — sera ce que l’on appelle le coefficient de la réfraction terrestre,
dans les circonstances supposées; et il est à remarquer qu’il sera essentiellement propre et spécial à ces circonstances.
» Concevons maintenant que l’on demande quel mode de variation des densités il faudrait idéalement établir dans la masse d’air considérée, pour
que le coefficient de do eût précisément cette valeur constante dans
l’amplitude d’épaisseur et d’étendue qu’elle embrasse? La condition à remplir s’exprimera en posant l’égalité :
ds
d’où l’on tire
ds
Sous cette seconde forme, l’intégrale se présente immédiatement, et elle est
A étant une constante arbitraire. Cette constante se détermine par la condition que la densité p, ait sa valeur vraie et observable à la surface de la couche d’air d’où l’on compte les variables s. Pour qu’il en soit ainsi, il faut qu’on ait :
ce qui donne, après l’élimination de A,
I 4 Pi
(i — ^)m, et, par suite
4 a pi /
— Si
ou, en remplaçant i — s par son expression équivalente
» Si l’on a bien suivi les détails de cette déduction analytique, on doit reconnaître avec évidence que la formule (6), à laquelle nous venons de parvenir, n’est légitimement applicable qu’à la masse restreinte d’air où l’on a déterminé par observation le coefficient m; et même, qu’elle ne s’étend à tousses points intérieurs, qu’au moyen de la généralisation hypothétique sur laquelle l’intégration est fondée. Or, non-seulement M. Faye lui attribue virtuellement ce caractère d’application local, mais, par une extension d’idées bien autrement hypothétique, et, je l’ose dire, contraire à toutes les notions de la physique, tant rationnelle qu’expérimentale, il en fait le type d’une loi de variation des densités, qui doit matériellement s’établir depuis la surface de la Terre jusqu’aux dernières régions de l’atmosphère, en conformité avec la valeur actuelle, que l’observation locale aurait donnée au coefficient m !
» Avant de revenir sur cette idée, je ferai remarquer que notre équation (6) est, dans sa composition analytique, et jusque dans sa notation littérale, identique à celle que Laplace donne au § 6 du livre X de \a Mécanique céleste , comme une hypothèse mathématique dans laquelle l’équation différentielle de la réfraction devient rigoureusement intégrable, et conduit à la même expression que la loi de Bradley. Mais, pour que ce mode de décroissement des densités, ou tout autre que l’on voudrait imaginer, puisse, même hypothétiquement, être appliqué à une atmosphère gazeuse, composée de couches pesantes et compressibles , il faut d’abord l’assujettir à une équation de condition, qui est toujours nécessaire pour assurer sa stabilité, dans un tel état; puis, si l’on veut qu elle représente réellement l’atmosphère terrestre, il faudra disposer des constantes qui la définissent, de
manière qu’elle s’y assimile dans ses particularités physiques ; c’est-à-dire que les réfractions à toutes les distances zénithales y soient de même grandeur, et que le décroissement des températures à diverses hauteurs y soit tel qu’on le constate dans notre atmosphère par l’observation. Or, la constitution d’atmosphère représentée par l’équation (6), ne contenant de disponible que la seule constante m, ce serait un singulier hasard qu’elle pût satisfaire à toutes ces conditions d’identité. Effectivement, la relation nécessaire à la stabilité de la masse gazeuse, détermine à elle seule immédiatement cette constante; et, à la température de o degré, sous la pression de ora,76, elle lui assigne pour valeur numérique :
m — 4,25970; d’où ^ = 0,11738;
— est le coefficient de la réfraction terrestre, qui se trouve ainsi notable- 2 m 71
ment moindre que l’observation ne le donne, en moyenne, dans notre atmosphère, m étant ainsi déterminé, il en résulte pour la grandeur de la réfraction horizontale, à o degré de température, et sous la pression totale de om,76,
valeur pareillement beaucoup trop faible, comme moyenne. Enfin le décroissement moyen des températures, près de la surface terrestre, conclu de ce même m, dans les mêmes circonstanüs météorologiques, serait de 1 degré centigrade pour 63m,8 d’accroissement de hauteur, progression environ trois fois plus rapide qu’on ne l’observe réellement.
» Tous ces résultats ont été établis par Laplace au § 6 du livre X de la Mécanique céleste } comme autant de conséquences mathématiquement inhérentes à la constitution d’atmosphère représentée par notre équation (6). Je n’ai fait que lui emprunter ses nombres, et je les ai rapportés avec tout ce détail, pour montrer que la valeur occasionnelle du coefficient m, déterminée par des observations géodésiques faites à travers des couches d’air d’une épaisseur restreinte, et à de petites hauteurs, ne peut pas, sans contradiction mathématique, être employée dans l’équation (6), comme caractérisant un mode de variation des densités applicable à toute hauteur dans notre atmosphère. Car une atmosphère ainsi constituée artificiellement, non-seulement n’aurait pas les qualités physiques de la nôtre, mais ne satisferait pas même à la condition de stabilité nécessaire à son existence.
» Voilà pourtant ce que M. Faye fait, ou prétend faire. Car il demande qu’on emploie les réfractions calculées dans cette atmosphère fictive, pour B. 3
j8 sur la théorie des réfractions atmosphériques.
corriger les irrégularités de celles que l’atmosphère réelle nous présente habituellement, près de l’horizon. Or ces irrégularités ne peuvent être assujetties à aucune théorie générale, parce qu’elles résultent de perturbations opérées dans les couches basses et lointaines de notre atmosphère, par des accidents météorologiques locaux, dont les caprices échappent à toute prévision, et se réalisent même soudainement à notre insu. On ne saurait se débarrasser de leurs effets que par compensation ; et le procédé que M. Faye propose pour y remédier ne ferait que vicier les résultats moyens qui peuvent être obtenus à la longue.
» Supposons, dit M. Faye, qu’une mire éloignée, visible de jour et de nuit, soit placée dans la direction du méridien de l’observateur à une grande hauteur au-dessus du sol, et que l’on ait déterminé sa distance ainsi queson altitude relative, à l’aide d’un nivellement ordinaire à petites portées. On en déduira la distance zénithale vraie de cette mire. L’observation donnera la distance zénithale apparente. La différence sera l’effet de la réfraction (locale); et, comme on connaît l’angle au centre, on aura la valeur actuelle du coefficient de la réfraction terrestre (sur la portion de la trajectoire lumineuse propagée du signal à l’observateur). Ce coefficient, introduit dans l’équation (6) de Laplace, donnera la réfraction astronomique actuelle, sous la forme que lui assigne la loi de Bradley, dont tous les éléments se trouveront ainsi déterminés pour l’application.
» J’ai présenté ici l’esprit de#a méthode aussi fidèlement que j’ai pu le saisir dans la nouvelle notation que M. Faye a substituée à celle de Laplace. Je regrette, pour mon compte^ ces changements de formes symboliques, qui rendent plus pénibles à lire, à retrouver, des théories déjà exposées avec un entier développement, dans des ouvrages célèbres, que tout le monde a étudiés.
» Je ne reviendrai pas sur la difficulté mécanique, toute grave qu’elle est. Je veux considérer ici la méthode, uniquement au point de vue de l’application physique et astronomique. Elle se résume, pour moi, en ce point : que, d’après la quantité de la réfraction observée à l’une des extrémités d’un petit arc de trajectoire lumineuse, réfraction qui n’excédera jamais quelques minutes de degré, M. Faye veut conclure la totalité de la réfraction qui se produira pour des distances zénithales de même ordre, sur toute la longueur des trajectoires lumineuses, qui se seront propagées depuis les extrémités de l’atmosphère jusqu’à l’observateur, en traversant des régions aériennes immensément distantes, dont la stratification pourra n’avoir aucun rapport avec l’état actuel de la même couche d’air comprise
entre l’observateur et le signal observé. Croire que l’état accidentel de celleci pourra, devra, se propager ainsi, instantanément, à tout le reste de la masse aérienne, c’est une concession que la vieille physique, je dirai aussi la vieille logique de mon temps, ne me permet pas de faire, et pourtant elle semble indispensable pour que l’application ait lieu. Mais alors, si le même observateur établissait autour de sa station trois ou quatre signaux terrestres, sur diverses directions azimutales, au nord, au sud, à l’est, à l’ouest, comme les couches basses qui les sépareraient de lui pourraient se trouver, au même instant, dans des états physiques très-dissemblables, il faudrait donc que l’atmosphère réelle se conformât simultanément à tous ces états divers, ce qui ne me parait pas moins dur à concevoir.
» Tels sont les motifs du dissentiment que j’ai témoigné, lorsque ce nouveau moyen de corriger les irrégularités des réfractions atmosphériques, a été annoncé à l’Académie. M. Faye a comparé ma résistance à celle que Flamsteed opposait aux conseils de Newton, quand il voulait lui persuader de joindre à ses observations astronomiques, les indications du baromètre et du thermomètre. Cette comparaison me semble pécher, au moins dans l’un de ses termes. Mais, peut-être, M. Faye n’a pas entendu l’appliquer à lui et à moi, dans toute sa rigueur.
» Je pense qu’il reste beaucoup de perfectionnements à faire dans l’appréciation des réfractions atmosphériques; mais il faut, je crois, les chercher par une autre voie. C’est ce que j’essayerai de montrer dans la séance prochaine, ou dans celle qui suivra. »
( Séance du 16 octobre 1 8 54- - )
Sur la théorie des réfractions atmosphériques .
« La théorie des réfractions atmosphériques n’a été amenée au degré de précision et d’utilité où elle est aujourd’hui, que par les efforts accumulés des plus grands géomètres, combinés avec les perfectionnements progressifs de la physique expérimentale. La multitude de considérations délicates qui y concourent, la rend difficile à pénétrer; et il est plus malaisé encore de s’en être rendu assez maître, pour montrer avec justesse en quoi, et comment , on pourrait l’améliorer. Avant d’y prétendre , il faut voir clairement d’où elle part, et où elle arrive. Il faut définir exactement les concep-
tions mécaniques générales sur lesquelles on l’appuie; distinguer ce qu’elles ont de positif, et ce qui s’y mêle de conjectural; apprécier le degré de certitude, ainsi que la légitimité d’appropriation des données expérimentales qu’on y emploie; et, tout cela reconnu, déterminer les limites d’erreur entre lesquelles nous pouvons espérer de représenter les phénomènes , sous ces conditions. C’est à ce point de vue d’ensemble que je vais me placer d’abord, non sans une grande défiance de me trouver insuffisant à l’embrasser.
» Cette théorie, prise dans son abstraction géométrique, considère l'Atmosphère terrestre, comme une enveloppe gazeuse, de constitution permanente, composée de particules pesantes, compressibles, expansibles, qui possèdent une force d’élasticité propre , variable avec leur densité , avec leur température, et qui exercent sur les rayons de la lumière un pouvoir réfringent proportionnel à leur densité. On donne à ce système un arrangement intérieur, qui, par la généralité de ses caractères, s’assimile aussi approximativement qu’il est possible à l’état moyen de l’atmosphère réelle, sans être compliqué par ses perturbations , dont l’analyse mathématique de notre temps ne saurait pas calculer les effets accidentels. Pour cela on admet que, dans toute son étendue, la densité, en chaque point, dépend seulement de la distance de ce point au centre de la Terre, pouvant d’ailleurs être une fonction quelconque de cette distance , que l’on s’efforce ensuite d’identifier, d’aussi près que possible, à celle qui a lieu effectivement. D’après cette condition conventionnelle, les couches d’égale densité de l’atmosphère fictive sont sphériques , et concentriques à la surface terrestre qui les supporte. Leur ordre de superposition n’est d’ailleurs analytiquement astreint qu’à la seule condition de pouvoir se maintenir stable en obéissant aux lois de la statique des gaz. Sous cette réserve, elles peuvent occasionnellement , se contracter ou se dilater dans leur épaisseur propre par un changement simultané de température , comme aussi être soulevées ou abaissées , pourvu que toutes les colonnes verticales conservent une constitution similaire qui leur permette de se maintenir individuellement sans se rompre ni se désagréger. Dans un système gazeux ainsi constitué, la sphéricité des couches d’égale densité imprime à la force réfringente une direction centrale. Le mouvement des molécules lumineuses, s’opère conformément aux principes des aires et des forces vives, qui, réunis et combinés avec les éléments du contact du premier ordre dans les courbes continues, donnent immédiatement l’équation différentielle de la trajectoire décrite, et l’élément différentiel de la réfraction. Le reste n’est plus qu’une affaire de calcul intégral.
» Telle est la conception mécanique la plus générale que l’on ait jusqu'à présent appliquée au problème des réfractions atmosphériques. Toutes les théories que les géomètres ont données de ces phénomènes, depuis Newton jusqu’à nos jours, ont été fondées sur des hypothèses analogues, mais plus restreintes. Avant de rappeler les résultats qu’ils en ont tirés, il convient d’examiner, jusqu’à quel point les abstractions dont elles se composent sont conformes aux réalités physiques ; et à quel degré les particularités, qui ne s’y trouveraient pas comprises, peuvent vicier les déductions que le calcul en obtiendrait.
» Un état d’équilibre général, et que l’on pourrait appeler sphérique, n’a évidemment jamais lieu dans notre atmosphère. Nous voyons sans cesse ses couches les plus basses, troublées, remuées, agitées, par suite des accidents météorologiques, qui produisant en quelques points des contractions ou des expansions soudaines, engendrent les vents, les tempêtes; et ces fluctuations partielles, se propagent fréquemment jusqu’à plusieurs mille métrés de hauteur. En fait, le repos n’y est jamais qu’accidentel, peu durable, et toujours local. La physique générale nous apprend aussi que la zone gazeuse, située entre les tropiques, étant maintenue dans un état perpétuel d’expansion par l’impression prédominante de la chaleur solaire, l’air qui la compose, est continuellement soulevé et porté vers les régions supérieures de l’atmosphère, d’où il va se déverser vers les pôles ; tandis que le vide formé à sa base, est continuellement suppléé par un courant d’air inférieur qui afflue des pôles vers l’équateur ; ce qui, combiné avec la force centrifuge engendrée par le mouvement de rotation diurne de la Terre, produit le grand phénomène des vents alizés. Des inégalités d’action calorifiques analogues, mais locales, produisent les vents semestriels du golfe du Mexique, et les moussons de l’Inde. Des dérangements soudains, d’une extrême violence, s’opèrent encore fréquemment dans les couches d’air qui recouvrent la surface des mers ou des grands continents d’Amérique et d’Asie, et y propagent au loin leurs ravages. En présence de tels effets, la conception d’une atmosphère partout calme et sphériquement constituée, ne peut être considérée que comme représentant un cas abstrait, qui n’est jamais complètement réalisé.
» Ces mouvements intérieurs de l’atmosphère échappent jusqu’ici à tous nos calculs, même quand on n’envisage que ceux qui sont permanents et réguliers. L’Académie appela, il y a quelques années, sur ce sujet, les efforts des physiciens et des géomètres, en restreignant ses demandes, à la seule théorie des phénomènes constants et généraux. Aucune pièce n’a été apportée au concours. Sans doute le problème est encore inaccessible.
il SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES.
» Cette impuissance trop avérée de l’analyse mathématique, à s’assujettir jusqu’à présent des phénomènes si complexes, semble envelopper un paradoxe des plus étranges. Les conditions statiques, auxquelles les géomètres ont été obligés de plier leurs atmosphères fictives, étant aussi différentes de celles de l’atmosphère réelle que nous venons de le voir, comment a-t-il pu se faire qu’ils en aient tiré des Tables de réfractions si exactement conformes aux véritables, jusque vers 80 degrés de distance du zénith? Que, dans cette grande amplitude d’application, ces Tables s’adaptent si fidèlement aux circonstances météorologiques locales, dans toutes les contrées, dans toutes les saisons, à toutes les hauteurs au-dessus de la surface du globe, où l’on a eu l’occasion de les éprouver? Quel est le principe caché d’un pareil accord? d’autant plus surprenant qu’il n’est pas attaché, à telle ou telle hypothèse géométrique plus ou moins heureuse! Car, jusqu’aux limites de distances zénithales ci-dessus fixées, on l’obtient à peu près aussi parfait, quelle que soit la constitution intérieure de l’atmosphère sphérique à laquelle on applique le calcul, pourvu qu’elle s’accorde avec la réelle dans ses conditions générales d’existence; c’est-à-dire qu’elle soit composée du même gaz, possédant les memes qualités physiques, et stratifiée aussi par couches dont les densités décroissent à mesure qu’elles sont plus élevées, suivant toute loi quelconque, compatible avec les conditions de leur équilibre; l’inférieure seule étant identifiée quant à sa densité, et à la pression qu’elle supporte, à la couche de l’atmosphère réelle, où l’on veut placer l’observateur; de sorte qu’on lui emprunte uniquement ces deux dernières données. La parité presque exacte de résultats numériques, conclus d’hypothèses si diverses, présente déjà un mystère mathématique, qu’il faut nécessairement éclaircir, avant de chercher à découvrir pourquoi ces résultats se trouvent si approximativement conformes aux réalités. C’est aussi à cela que je vais m’attacher d’abord.
» Pour montrer jusqu’où cette liberté d’hypothèse a pu s’étendre, sans discordance notable dans les nombres, tant qu’on ne descend pas à plus de 80 degrés du zénith, je rappellerai ici quelques-unes des plus employées, en spécifiant les qualités physiques des atmosphères qui en résultent, qualités que les premiers auteurs de ces spéculations pouvaient, tout au plus, vaguement soupçonner. Et comment auraient-ils pu en avoir la notion exacte? ce n’est guère que depuis cinquante ans, que l’on connaît avec précision les lois de dilatabilité de l’air et des vapeurs, les conditions de leur mélange à l’état aériforme, leurs densités relatives, l’influence de cette densité et de la température sur le pouvoir réfringent de l’air, enfin l’énergie absolue de ce pouvoir même, qui est l’élément fondamental des réfractions
qu'il peut exercer? Toutefois, chose étrange, et qui montre bien la puissance du génie géométrique, la seule contemplation abstraite des conditions générales d’existence auxquelles l’atmosphère terrestre doit être assujettie, a suffi à Newton pour établir toute la théorie mathématique des réfractions qu elle produit. OEuvi’e admirable, qui est demeurée ignorée pendant cent quarante ans, et que la postérité n’a connue, qu’après s’être avancée une seconde fois, par de longs efforts, aussi loin que lui!
» L’honneur d’avoir donné le premier aux astronomes une Table de réfractions utilement applicable, et théoriquement calculée, est due à Dominique Cassini. Il la publia en 1662. 'Elle est fondée sur un aperçu tout à fait empirique, mais qui se trouve très-approximativement juste dans ses conséquences numériques même à 80 degrés de distance zénithale. Considéré comme s’adaptant à un état de choses réel, cet aperçu revient à concevoirautour delà Terre, une atmosphère d’air sphérique d’une certaine hauteur, uniformément dense, où la lumière se brise à son entrée suivant la loi de Descartes, et se propage ensuite en ligne droite jusqu’à l’observateur. L’hypothèse renferme ainsi deux éléments arbitraires : la hauteur de l’atmosphère fictive, et son pouvoir réfringent, proportionnel à sa densité. Prenons, comme cas d’application que cette densité soit celle de l’air atmosphérique à la température de la glace fondante, sous la pression de 76 centimètres de mercure, et attribuons-lui l’intensité de force réfringente qui se conclut aujourd’hui d’expériences directes. Alors l’atmosphère fictive devra avoir 7974 mètres de hauteur; et, à 80 degrés de distance zénithale, la réfraction sera 5' 3 1", 1 4 (•)• ^es Tables de Laplace, calculées pour une constitution d’atmosphère toute différente, étant appliquées aux mêmes circonstances météorologiques donnent 5'32",4i- C’est U',27 de plus. Voilà un exemple de ce mystérieux accord de nombres que j’ai annoncé, et dont il nous faudra trouver la cause mathématique. Il se soutient ainsi depuis le zénith jusqu’à 80 degrés de distance zénithale. Mais, en approchant
(1) Pour avoir un type de comparaison assuré, je fais ce calcul avec les données adoptées par Laplace, pour ces mêmes circonstances météorologiques, au livre X de la Mécanique céleste ; et je les applique à l’expression qu’il a donnée au § 4> de la réfraction dans l’hypothèse de Cassini. En conservant la notation dont il fait usage, ces données sont :
1 = 7 974™; « = 6366ig8m; 2 K p, = 0,000294047.
Seulement , par abréviation, j’ai remplacé par 1 la lettre n qui représente la vitesse de la lumière dans le vide, et j’ai désigné par p, la densité de l’air dans la couc he inférieure, que Laplace appelle (p).
davantage de l’horizon, l’hypothèse de Cassini donne des réfractions de plus en plus faibles comparativement à celles de Laplace, et l’écart est de « 3' 37" à l’horizon même. Mais Cassini en a judicieusement restreint l’application à la limite de 80 degrés. Il n’avait pas comme nous la notion et la mesure des données météorologiques. Il y a suppléé en pliant son hypothèse à deux réfractions soigneusement observées. Et, comme Delambre le dit avec quelque naïveté, sa Table est si juste, qu’il a l'air de prendre ses nombres dans la Connaissance des Temps.
» Les deux autres exemples, que je citerai, se rattachent à un fait d’histoire scientifique trop curieux, pour ne pas le rappeler ici.
» L’insuffisance de la Table de Cassini, pour les réfractions qui s’opèrent à plus de 80 degrés de distance zénithale, faisait sentir vivement aux astronomes le besoin de la prolonger. Le 1 1 octobre 169/4, Flamsteed, alors établi à Greenwich, écrivit à Newton qu’il avait commencé à calculer les réfractions qui se déduisent des observations du Soleil et de Vénus faites à de petites hauteurs, pour s’en servir à corriger les observations de la Lune, et obtenir ses positions vraies que Newton lui avait demandées. Cela excita ce grand génie, à s’occuper de ce problème, pour en chercher une solution, non pas empirique, mais mathématique et physique, comme lui seul était capable de le faire alors. Depuis neuf ans qu’il avait publié le livre des Principes, il avait approfondi la théorie des attractions à petites distances. La marche de la lumière à travers un milieu réfringent quelconque était pour lui un problème de mécanique parfaitement accessible, pourvu que la nature et la constitution de ce milieu lui fussent données. Or, à cette époque, on 11e connaissait de l’atmosphère que ses propriétés générales, en tant qu’elle est formée d’un air pesant, compressible, élastique, réfringent. L’inégalité delà température à diverses hauteurs était inconnue; son influence pour modifier le volume de l’air, et son ressort, à peine soupçonnée. Dans un dénûment si absolu de données expérimentales, tout ce que l’on pouvait faire, c’était d’appliquer les principes de la mécanique et de la physique abstraite, à des constitutions d’atmosphères théoriquement possibles, dont les effets optiques fussent calculables par les méthodes d’intégration alors connues, en tâchant d’identifier ces effets aux réfractions qu’on observe. C’est à quoi Newton se dévoua avec une patience admirable. Il resta pendant six mois plongé dans ce travail, communiquant à Flamsteed ses tentatives, ses réussites, ses mécomptes, ses rectifications, ses espérances, à mesure qu’il avançait. De tant d’efforts, il n’était resté qu’une règle approximative, rapportée par Halley, suivant laquelle, à de médiocres dis-
tances du zénith, la réfraction est proportionnelle à la tangente de la distance zénithale; et une Table des réfractions pour toutes les distances, publiée aussi par Halley dans les Transactions philosophiques de 1721, comme venant de Newton, sans qu’on sût comment, ni à quelle époque, il l’avait composée. Toute la partie scientifique de cet immense travail, n’a été connue qu’en 1 836, lorsque le gouvernement anglais eut fait publier par Baily, la correspondance de Newton avec Flamsteed, conservée dans les archives de Greenwich. Non pas que les procédés mathématiques de Newton y soient exposés à découvert; il ne les indique jamais que par parties, en termes voilés, en s’enveloppant d’une extrême réserve. Or, s’il n’est pas déjà si facile de saisir, complètement sa pensée quand il veut bien la dire, il l’est beaucoup moins de la lui dérober. Toutefois, en rapprochant des demi-confidences qui lui échappent, sur les voies qu’il essaye, sur les procédés de calcul qui lui ont ou ne lui ont pas réussi; surtout, en approfondissant un théorème qu’il donne sans démonstration, avec une figure, en disant seulement à quoi il lui sert, on a pu mettre tous ses secrets au grand jour, retrouver ses méthodes, et reconstruire en nombres la Table de réfractions que Halley avait publiée d’après lui. On a reconnu ainsi qu’il possédait tous les principes mathématiques de cette théorie : l’équation différentielle de la trajectoire lumineuse, et l’expression différentielle de l’élément de la réfraction, sous la forme simple que Laplace lui a donnée depuis. Il était arrivé à ces découvertes huit ans avant la deuxième édition des Principes j à l’âge de cinquante- trois ans. Cette reproduction tardive d’une si précieuse portion de ses travaux, jusque-là ignorée, a été publiée dans le Journal des Savants de 1 836. J’en extrairai seulement les deux hypothèses d’atmosphères qu’il a soumises à ses calculs, et qui, réunies, ont servi de fondement aux théories plus parfaites de ses successeurs.
» Pour se rendre un compte exact de la tâche qu’il avait à remplir, il faut envisager le problème, à son point de vue mathématique complet, comme nous pouvons le faire aujourd’hui, et voir quels moyens il avait de le résoudre. On y reconnaît alors deux parties distinctes : la première consiste à définir la constitution de l’atmosphère sphérique sur laquelle on veut opérer; la seconde, à calculer les réfractions qu’elle doit produire, pour un observateur placé dans une de ses couches, dont on se donne conventionnellement le rayon r, , la densité p,', la température tf , et la pression p{ qu’elle supporte. Alors l’atmosphère choisie sera complètement définie, si, en une quelconque de ses couches concentriques ayant pour rayon r, on peut assigner la densité p, la température t et la pression p, ces trois dernières varia-
blés étant considérées comme des fonctions de la première, qui, seule, reste indépendante.
» Or, pour que ces quatre quantités puissent être associées dans une même atmosphère gazeuse, supposée en repos, leur ensemble doit toujours être assujetti à deux équations de condition générales : l’une, qui s’écrit en termes différentiels, exprime que le système est dans un état de stratification permanent ; l’autre, qui s’écrit en termes finis, signifie que les lois de la dilatabilité des gaz y sont observées. Si donc on se donne arbitrairement, hypothétiquement, une troisième relation entre les quatre variables p, p, t , /•, les trois premières se trouveront analytiquement déterminées en fonction de la dernière, et le système atmosphérique, auquel elles appartiendront, sera complètement défini. Je montrerai plus loin que, dans notre atmosphère terrestre, la nature propre de cette troisième relation est très-nettement indiquée par l’expérience, et que les Tables, qui représentent le mieux les réfractions réelles, ont été fondées, insciemment, sur les hypothèses qui approchent le plus d’y ressembler.
L’atmosphère hypothétique étant constituée, on y approprie l’expression générale de l’élément différentiel de la réfraction, et il ne reste qu’à l’intégrer pour avoir la réfraction même en nombres.
» Newton ne possédait pas l’ensemble de données qui lui auraient été nécessaires pour reconnaître complètement les propriétés physiques des atmosphères qu’il établissait. J’y suppléerai pour lui. L’analyse mathématique de son temps, ne lui fournissait pas des méthodes suffisamment puissantes pour les intégrations qu’il eut souvent à effectuer. Il y suppléa par des procédés équivalents, mais beaucoup plus pénibles. Le manque de données physiques le força de plier ses résultats aux observations imparfaites que lui fournissait Flamsteed,ce qui en altère l’exactitude numérique. Mais, ces ombres dissipées, on voit reparaître son génie dans toute sa puissance. C’est ce que j’ai tâché de mettre en lumière dans les articles du Journal des Savants que j’ai déjà cités; et je ne reprends les deux cas qu’il a traités que pour achever de prouver l’identité presque parfaite des réfractions qui se produisent jusqu’à 80 degrés de distance zénithale, dans ces systèmes d’atmosphères sphériques, comme dans tous les autres.
» Il considéra d’abord une atmosphère où, depuis la base jusqu’au sommet, des différences égales de hauteur correspondent à des diminutions égales de la densité. Si l’on suppose, qu’à cette base, la température soit celle de la glace fondante, et la pression om,rj6 de mercure, la hauteur totale de l’atmosphère sera de 1 5948 mètres, exactement double de celle de
Gassini . La température n’y est plus constante. A mesure qu’on s’élève, elle s’abaisse de quantités égales pour des différences égales de hauteur., comme cela s’observe aussi approximativement dans l’atmosphère terrestre; mais ce décroissement mathématique est environ trois fois plus rapide que dans celle-ci. La réfraction à l’horizon est 3o' 24”, 17, plus faible encore que la réelle, beaucoup moins toutefois que dans l’atmosphère de Gassini. Malgré toutes ces dissemblances, la réfraction à 80 degrés de distance zénithale se trouve être 5' 32", 16, plus forte seulement de i",2 qu’elle ne l’était dans l’hypothèse de Cassini, et elle diffère à peine de celle de Laplace (1).
» Dans ce premier système atmosphérique de Newton, les pressions à diverses hauteurs sont proportionnelles au carré des densités. Trouvant peut-être que l’étendue de l’atmosphère y était trop restreinte, il en choisit un autre, qu’il avait déjà présenté dans le livre des Principes , et qui a pour caractère que les pressions soient simplement proportionnelles aux densités. Alors la température est constante à toute hauteur, et l’atmosphère s’étend indéfiniment. Si l’on astreint la couche inférieure aux mêmes circonstances météorologiques tout à l’heure admises, la température o° et la pression
(1) Le procédé d’intégration approximatif que Newton a dû employer pour calculer les réfractions dans cette première hypothèse est exposé en détail dans le volume du Journal des Savants pour l’année i836, pages ^35 et suivantes. En désignant par R la réfraction correspondante à la distance zénithale apparente et quelconque û„ on est immédiatement conduit à la formule suivante, rapportée page 743,
n et rn sont deux coefficients , fonctions des éléments météorologiques de la couche aérienne dans laquelle l’observateur se trouve placé. En continuant d’employer la notation de Laplace, telle que je l’ai spécifiée, dans la Note précédente, on a:
2” ^(i+K-p.) — KP<
La règle de Bradley n’est autre que la formule précédente dans laquelle les deux coeffi-
dition de satisfaire à deux réfractions observées, l’une loin de l’horizon, l’autre a l’horizon même, comme l’a fait Newton. Mais il est présumable que Bradley n’y a été conduit qu’en cherchant à modifier analytiquement la règle approximative R = A tang 0, donnée par Halley pour les observations faites à peu de distance du zénith, de manière qu’elle pût s’étendre à toutes les valeurs de 0,.
om,y6, la réfraction à l’horizon est 3^ 54", h, beaucoup plus forte que la moyenne véritable. Toutefois, à 8o degrés du zénith elle se trouve être 5' 34", surpassant seulement de i",84 celle que nous avions tout à l’heure trouvée.
» L’évaluation exacte de cet élément ne peut alors s’obtenir que par des procédés d’analyse très-élevés, qui étaient inconnus à Newton. Mais il y a suppléé par des successions de quadratures paraboliques, dont l’application à l’atmosphère réelle est rendue toujours légitime, parla lenteur du décroissement des densités à mesure qu’on s’élève. C’est même là le seul moyen d’établir le calcul des réfractions sur les véritables lois de décroissement que l’expérience peut fournir, sans être arrêté par les difficultés d’intégrations qu’elles présenteraient.
» L’extension indéfinie que cette seconde hypothèse de Newton donnerait à l’atmosphère terrestre, est contraire au fait de sa persistance. Elle l’est aussi à un grand nombre d’indications physiques. Sa limitation peut se conclure de ce que, depuis la surface terrestre jusqu’aux plus grandes hauteurs auxquelles Gay-Lussac s’est élevé, le décroissement de la température a été en s’accélérant, sans qu’il soit possible d’imaginer une cause physique par laquelle il pût être ralenti dans les régions supérieures à celles où il est parvenu. Car, en supposant même, contre toute vraisemblance, qu’il conservât ultérieurement la même valeur qu’il avait à sa station la plus haute, les lois de l’équilibre ne permettraient pas que l’épaisseur totale de l’atmosphère atteignît 48000 mètres, et par conséquent, il est présumable qu’elle est encore moindre (1). Si donc, les hypothèses qui lui attribueraient une extension plus grande, et même indéfinie, conduisent, parle calcul, à des réfractions peu différentes entre elles, et qui ne s’écarteni pas excessivement de la réalité, cela tient à ce que, au delà d’un certain degré de raréfaction de l’air, tout le reste de l’atmosphère fictive ne contribue à la réfraction totale que pour une part insensible ou à peine appréciable, qui, en outre, devient indépendante du mode de stratification que l’hypothèse employée lui attribue.
» Si l’on veut comprendre toute la puissance mathématique dont Newton a fait preuve dans son travail sur les réfractions, il n’y a qu’à voir combien d’efforts ses plus illustres successeurs ont dû faire avant de le rejoindre. Euler, en 1754, attaque le même problème, avec le même dénûment de données physiques (2). Il obtient l’équation différentielle de la trajectoire
( 1 ) Mémoires de V Académie des Sciences , tome XVII. (2) Mémoires de Berlin pour 1754.
lumineuse et lui associe l’équation qui assure l’équilibre. Mais le second membre de la solution, je veux dire l’expression différentielle de l’élément de la réfraction, lui manque ; ou s’il l’a connue, il n’en fait aucun usage; de sorte qu’il se borne à discuter les propriétés géométriques de la trajectoire, sans obtenir la réfraction elle-même. Lagrange reprend la question en 1772, espérant que la règle empirique de Deluc pour la mesure des hauteurs par le baromètre, pourra lui fournir un type véritable de constitution atmosphérique, sur lequel il assoira le calcul (1). Il obtient en effet, pour cette loi particulière, des formules exactes, quoique embarrassées de la complication inhérente à l’expression empirique sous laquelle Deluc l’avait présentée. Mais comme, au fond, elle ne comprend que l’hypothèse d’un décroissement de densités en progression arithmétique, Lagrange n’en déduit et n’en pouvait déduire, qu’une expression de la réfraction analogue à la règle de Bradley ; sans indiquer aucunement la nécessité, encore moins la nature, des expériences qu’il faudrait entreprendre pour fonder une théorie plus sûre et plus générale de ces phénomènes. C’est ce que Laplace a fait le premier trente-trois ans plus tard, en i8o5, dans le livre X de la Mécanique céleste , en concentrant sur ce problème toutes les forces de l’analyse mathématique réunies à une intelligence complète des données expérimentales devenues, avec le temps, plus précises, et que son influence protectrice avait puissamment contribué à propager, à étendre, à perfectionner. Cette faculté d’application que lui donnait le sentiment intime des vérités physiques allié à l’esprit géométrique, alliance qui avait manqué à Euler et à Lagrange, se voit dans le choix même de la conception abstraite sur laquelle il établit ses calculs. Trouvant que le décroissement des densités par progression arithmétique faisait la réfraction horizontale trop faible, et par progression géométrique la faisait trop forte, il en prit une mêlée des deux, qui renfermât un nombre suffisant d’arbitraires pour s’adapter aussi approximativement que possible aux effets réels. Son instinct le conduisait ainsi, sans qu’il le sût, à la relation même entre les pressions et les densités, qui a matériellement heu dans notre atmosphère. De là, il tira une Table de réfractions, complètement calculée par théorie, laquelle s’identifie pour ainsi dire avec la vérité physique, dans tous les cas réguliers du phénomène, en fournissant les évaluations moyennes les plus sûres, dans ceux où ses caprices sont impossibles à prévoir. Ce travail n’a pas été surpassé. Ivory l’a refait depuis, avec des formes analytiques plus
( 1 ) Mémoires de Berlin pour 1 772.
simples, mais équivalentes pour le fond et les résultats. J’ai à peine besoin de dire que, jusqu’à 80 degrés de distance zénithale, ces Tables, d’accord entre elles, donnent des réfractions très-peu différentes de celles qui se déduisent de toutes les autres hypothèses si variées que nous avons parcourues. Cette singulière parité de résultats, se soutient, dans ces limites de distance zénithale, à travers des modifications analytiques, qui par la suppression de quelques termes, changent complètement la constitution de l’atmosphère fictive à laquelle le calcul s’appliquait. Par exemple, dans les prolégomènes des Fundamenta astronomiœ , Bessel a voulu abréger ainsi l’expression symbolique du décroissement des densités adoptée par Laplace, afin de rendre les intégrations plus aisément exécutables. U en résulte une atmosphère qui n’a plus que 28870 mètres de hauteur, en conservant à son sommet, où la pression devient nulle, une densité finale qui est les de la densité à sa base. Or, malgré tout cela, si la température à cette base est o degré, et la pression o'n,76, la réfraction à 80 degrés de distance du zénith, pour un observateur qui y serait placé, se trouvera être 5'3i",i4, moindre seulement de 1 " ,f\ que dans les atmosphères deLaplace ou d’Ivory.
» La remarquable concordance de nombres que j’avais annoncée au commencement de cette communication, se trouvant ainsi matériellement constatée dans les cas les plus divers, il reste à en chercher la cause mathématique. On la découvre avec autant de généralité que d’évidence par le théorème suivant (1).
» Concevez une atmosphère sphérique dans laquelle les pressions, les densités, les températures, soient réparties à diverses hauteurs suivant des lois quelconques, compatibles avec les conditions de l’équilibre et de la dilatabilité des gaz; prenez seulement pour données les valeurs absolues de ces trois éléments météorologiques, dans celle des couches sphériques où vous voudrez placer l’observateur, et dont vous fixerez à volonté la distance au centre. Alors, sans avoir aucun besoin de connaître la constitution intérieure de votre atmosphère fictive, sachant seulement que la lumière y
(1) Dans le livre X de la Mécanique céleste, page 268 , ire édition , Laplace a établi une formule approximative , commune à toutes les atmosphères sphériques en équilibre , où l’on voit, en fait, que, jusqu’à plus de 80 degrés de distance zénithale, elles doivent donner des valeurs à très-peu près égales de la réfraction. Le théorème que je présente ici prouve la même vérité , en renfermant toutes les évaluations possibles de la réfraction entre des limites d’appréciation rigoureuses, pour chaque distance zénithale à laquelle on veut l’appliquer.
SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3i
pénètre en sortant du vide, et se transmet de là jusqu’à l’observateur par des trajectoires non rentrantes sur elles-mêmes, comme cela a lieu dans l’atmosphère terrestre, vous pourrez, pour toute distance zénithale apparente qu’il vous plaira de choisir, former deux expressions analytiques de la réfraction, en termes finis, et numériquement calculables, dont l*u ne vous donnera une évaluation certainement trop forte, l’autre une évaluation certainement trop faible; de sorte que la moyenne des deux comportera toujours une erreur moindre que leur demi-différence, que j’appellerai par cette raison sa limite d'erreur. Maintenant, comme type d’application, j’attribue à la couche où je place l’observateur, les mêmes conditions météorologiques adoptées aussi par Ivorv, c’est-à-dire la température tt égale à + 10 degrés centésimaux, et la pression pt égale à (>'",762 ; puis, effectuant le calcul numérique des deux évaluations pour des distances apparentes diverses, depuis le zénith jusqu’à 86° 3o', j’obtiens le tableau suivant, où l’on voit leurs limites d’erreurs respectives, ainsi que les évaluations moyennes qui y correspondent, en regard desquelles je place les réfractions absolues données par la Table d’Ivory (1).
DISTANCE ZÉNITHALE
apparente
