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ai6i ,5
Ce qui précède montre d’ailleurs, comme je l’ai indiqué plus haut, que l’on obtient exactement les espaces parcourus
SVR LE FROTTEMENT
par le traîneau, et que l’incertitude qui règne sur la détermination du ]K)int O, où la trace du style se sépare du cercle de départ,' n’in fine que sur la valeur des temps écoulés, en les augmentant ou les diminuant tous d’une quantité égale. Les opérations suivantes , que Je vais détailler, feront voir comment on peut, à posteriori, retrouver l’origine exacte des temps.
Pour représenter graphiquement le tableau ci-dessus des temps et des espaces parcourus, j’ai pris les espaces pour abscisses, à l’échelle de o*,io pour i mètre, et les temps pour ordonnées, à l’échelle de o“, i pour i"; puis, par tous les points ainsi déterminés, j'ai fait passer une courbe que l'on peut appeler la cotirbe du mouvement. On remarquera que , les abscisses ou les espaces ayant leurs valeurs exactes depuis l’origine du mouvement , la perpendiculaire à leur axe menée |)ar l’origine adoptée, est une tangente à la courbe.
Recherche de la nature des courbes du mouvement accéléré.
13 . L’idée la plus naturelle, puisqu’on avait pour objet de vérifier les lois de Coulomb , était de rechercher si cette courbe du mouvement est une parabole, ou , ce qui revient au même , si les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps. De là résulterait, en effet, que le traîneau est sollicité par des forces constantes , et que le frottement ne varie pas avec la vitesse. Pour m’assurer que cette courbe était effectivement une parabole dans tous les mouvemens accélérés , j’ai fait usage des théorèmes suivans :
Le premier, dû à Maclaurin, a pour énoncé:
« Si l’un des côtés d’une équerre passe constamment • par le foyer d’une parabole, et que son sommet par-
WÜUVtLLKN tXPKRlENCES
■to
» loure la tangente à l’-origiue de cette parabole, J’aiiirc « coté de réquerre sera constamment tangent- ài la' <1 courbe.*» .
l>c deuKième,'dù à*M. Poncelet ( Annales' de \Iaihé~ nujtiques ,'ï. V^IU, juillet s’énonce aiiist ;
« U D triangle élanl-circonscritià'une parabole ,, si i on' » lui circonscrit à son tour une circonférence de cercle, •> elle |>ass«ra’iiécess;ûi'einent- par le foyer de la courbe. ji
Les réciproques de ces deux théorèmes étant d’ailleurs vraies, j’ai, selon les ais, employé l’un ou l’autre, mais plus souvent le premier, à cause de la siinplicitc de la' construction, lorsque l’axe des temps oii'des ordonnées' était connu exactementt- ce qui a lieu pour la plupart des^ expériences. Cette construction n’exigeaut |Tas ([ue l’ooconnuisse le |x>iiit> auquel les tangentes touchent W courbe, oOiamèiieà la règle une suite de tangentes;* à' leur inleisection avec l’axe des temps, oïl élève sur chacune une pcrpendicnlairc ; la rencontre de ces lignes détermine le foyer, si la courbe est une parabole. Or, toutes les expériences que j’ai faites jusqu’ici , et dans lesquelles le mouvement a été accéléré , ont toutes , sans exception , donné des paraboles. La seule portion de ces courbes relevées (|iii ne soit pas exactement |^raboliquc est celle qui se rapproche très près de l’origine; et cela tient, évidemment , à cette incertitude que j’ai signalée sur la détermination du ^joint pris dans le relèvement pour origine dés temps. La difl’éreuce est, d'ailleurs, tantôt en [)liis, tantôt en moins;. et la parabole construite au moyen du foyer déterminé par le tracé se confoud dans tout le reste de son développement avec la courbe relevée , et si exactement, que les dilférences ne sont au plus que des millièmes de seconde. '
r>è plus, l^ncertitude sur l'origine des temps ii’est un
SUR LE rrHOTl'EMENT. 3 J
peu-grande, que quand le traîneau :parl lentement, «trque par suite les courbes ne se détachent pas brusquement.
Lei foyer de la parabole étant déterminé on en. déduit faciiementirorigiue iréelle du mouvement, et l’on est à miéme de rectilier les valeurs des temps déduites ded’origine présumée. C’est de ■ ces valeurs corrigée.s quoi l'on devra fairemsageidans les calculs qui seront exposésiplus loin. ■ - .
Outre lé cas où le mouvement est accéléré , il -s’en présente deux autres pour lesquels le .relèvement de la cwuri>e:sefait de la même manière, etqui nedill’èrent que par les résultats. '
Cas du mouvement uniforme.
i.^. Le premier est celui où le mouvement, après une açoél,éraUon I pins ou, moins ;grande,, devient, uniforme : dans le second ,. le mouvement, .d’abord accéléré, se.rotardiijgiadnellement, et finit même quelquefois par.çesser, ayant que le, traîneau n’ait parcouru toutc,la longueur du banc.
Le .mouvement uniforme se produit, lor.squole traîneau ayant .été détaché par l’action simultanée des petites caisses mobiles M, ou du levier coudé ced , et de la caisse descendante K, il se trouve ensuite sollicité seulement [>ar celle-ci, après que les petites caisses ou 'le levier ont cessé d’agiv. ,11 est facile d’expliquer cette circonstance , sans cesser d’admettre que le frottement soit indépendant de la vitesse. En effet , si la charge de la caisse est telle que la tension de la corde soit précisément égale au frottement , le mouvement devra se continuer uniformément , à partir .-de l’instant où les petites caisses sont 'arrêtées ,■ et -avec la «vitesse 'que *le traiueau avait à cet instant. Dans la l'éalité , la vitesse du mou-
veinent uniforme n’est pas tout-à-fait celle qu’il devrait avoir, mais cela vient, d’une part, des inégalités inévitables que présente le frottement des corps sans enduit, par suite de leur constitution , et particulièrement les bois ; et de l’autre, de l’emploi du ressort, qui, dans leschangemens de tension , oscille autour de son point de flexion moyenne : c’est ce que l’examen détaillé d’une des ex- |)ériences où le mouvement est uniforme , montrera plus loin. On verra aussi que l’on a obtenu des mouvemens uniformes à des vitesses très différentes, et que la valeur qu’elles fournissent , pour le rapport du frottement à la pression , est la même que celle que l’on déduit des expériences où le mouvement est accéléré.
Cas du mouvement retardé.
1 4 . Quant au mouvement retardé, ou même complètement arrêté, il s’est produit dans tous les cas où le traîneau ayant été détaché par le concours des deux efforts, la charge de la caisse descendante K ne s’est plus trouvée capable de produire une tension supérieure ou égale au frottement. Loin de contredire les résultats des autres expériences, on verra que celles-ci les ont confirmées.
Exposition des formules employées dans les calculs, et des expériences préparatoires.
Formules et expériences pour déterminer le frottement de laxe de la poulie.
i5. On a vu quau moyen du dynamomètre, on pouvait obtenir, pour chaque position du traîneau, l’effort exercé par la corde , et qu’à l’aide du mécanisme d'hor-
SUR LE rrOTTEMEST.
logerie on • obtenait une relation entre les espaces parcourus et les temps. Le concours de ces deux moyens d’observation est plus que suffisant pour di^tcrminer toutes les circonstances du mouvement et de l'expérience , et ils se servent l’un à l'autre de vérification, comme on le verra facilement par l’exposé suivant des formules employées dans les calculs. Mais on doit observer que, d’après ce qui a été dit sur la construction du dynamomètre, on a limité à g5 kil. les efforts qu’on voulait lui faire supporter, afin de ne pas altérer son élasticité. J’avais d’abord eu l’intention de faire faire uu autre res.sort semblable, dès que j’aurais reconnu le bon emploi que je pouvais faire du premier; ce second dynamomètre aurait été calculé pour supporter des efforts suffisans pour faire glisser le traîneau sous les plus grandes charges que l’a|>pareil permit de protfuire. Mais les résultats des premières expériences, où les chargés et le frottement étaient assez, faibles pour qu’on pût se servir du premier dynamomèire, m’ayant montré de suite que le frottement restait constant, j’ai été conduit à m’assurer qu’il en était encore de même sous des charges beaucoup plus considérables ; et ce fait une fois vérifié par la forme parabolique des courbes du mouvement , l’emploi du dynamomètre a dès lors ce.ssé d’étre indisftensable , et j’ai pu m’abstenir d’en faire construire un second. Cette simplification de l’appareil a nécessité des expériences spéciales sur le frottement de l’axe de la poulie, et sur la raideur de la corde tressée que j’employais. En effet, à l’aide de la courbe des tensions, on pouvait obtenir à chaque position du traîneau, et par suite pour chaque instant , l’effort exercé sur lui , sans avoir à s’occu{>er de ces résistances {Missives; mais, dans les expériences où l’on ne {iQuvait s’en servir, il était i. nécessaire d’avoir une règle sûre, afqiuyée sur des expé-.
4 • Savant élrangcrt. 5
>OUVELLES EXPERIfiNrES
riences directes, pour déterminer quelle était la tension de la partie horizontale de celte corde, sous l'action d’une charge connue de la caisse K. D’ailleurs celle recherche à priori était une utile véridcation de l’exactitude du dynamomètre, et ce sera procéder avec ordre que de rendre d'ahord compte des résultats obtenus.
L’axe de la poulie est en fer et repose sur des coussinets on sorbier. Ce bois avait été bien imprégtK- de saindoux et avait déjà servi à des essais préparatoires, lorsque i’ai commencé les expériences sur le fVolteinent de l’axe. 1^ but que je uie pro|>osais étant principalement de déterminer le frottement de l'axe dans des circonstances qu’il fallait rendre au.ssi semblables que possible , j’ai remplacé le saindoux par un mélange de 5 parties de saindoux et i partie de plombagine; mais, pour éviter toute complication étrangère, due au j)liis ou moins de (luiditéque l’enduit [lent acquérir par suite de la continuité du mouvement, ou avait soin d’essuyer l’enduit après quel’axeavait tournéquelques fois, de sorte qiie les surfaces en contact étaient toujours entretenues onctueuses , mais sans interposiliou d'enduit.
Pour déleriniuer à jiart le frottement de l'axe en fer sur ses coussinets en sorbier, j’ai employé le moyen suivant. Un ruban de lil blanc , très mince, de o“,o4 de large, passait sur la gorge de la poulie, large de o",o4i; il pouvait supporter jusqu’à f>o kil. sans se rompre. Deux caisses octogonales en chêne, longues de i mètre environ, et dont le cercle inscrit avait o",o6ô de rayon, pesant chacune 3‘,iS8, étaient- suspendues de part et d’autre à ce ruban, qui, se prolongeant en-dessous, se formait comme une corde sans (in, dans le but d’éviter tout accroissement de cliaiq»e d’un des côtés pendant le mouvement. Ce ruban entier avait io",ao de développement
SUB LE FBOTTEMEriT.
et pesait 0^,099 > sorte que la pression constante exercée par les caisses et le ruban , sur l’axe, était • '
la'poulîe, son axe et son disque en cuivre pèsent 6‘,854 : la pression totale constante, due à l’appareil lui-ménie sur l’axe , est donc de
Au moyen de boulets de i a exactement pesés, on chargeait chacune des caisses de poids égaux, dont la somme donnait ce que j’ai appelé la charge variable; puis, dans l’une d’elles, on ajoutait le poids moteur.
Cela fait, et le style étant approché du disque, on laissait les caisses partir librement, et la courbe du mouvemciitobtenuerournissait, pour la recherchedas résultats, les données nécessaires. Après cette description, établissons les équations du mouvement de ce système, en tenant compte du frottement de l’axe, et en faisant abstraction de la raideur, évidemment négligeable, du ruban de (il. Soient,
P, le fK>ids de la caisse octogonale descendante. p. Celui de la caisse montante. D’après ce qui vient d’étre dit, P et ^,ne dilFèrent que de U' valeur du poids moteur.
r, lo rayon extérieur de la, poulie o*,to4:t.
la vitesse angulaire à un instant quelconque du mouvement. -
dm, un élément de la masse de la poulie, ou des parties qui tournent avec elle.
e, le chemin parcouru, à un instant quelconque, par
les caisses et |»r la circonférence de la {>ouIie, à partir de l’origine du mouvement, le rayon de l’axe de la poulie — o“,oo93.
F, le frottement de cet axe sur ses coussinets.
A un instant quelconque du mouvement , la force vive du système est
en négligeant la mas.se très petite du ruban.
Ija quantité d’action ou de travail imprimée au système ])ar la gravité, est
Celle que consomme le frottement, dans l’élément du temps, est
F ^ de'-’;, r
et au bout du temps t elle a pour valeur r fFdc^ -i
Quant à la résistance de l’air, il est facile de s’assurer qu’elle ne développe qu’une quantité de travail toujours négligeable dans les expériences, par rapport aux précédentes ; c’est , au reste , ce que l’on peut voir note 3, par une application numérique.
D’après cela , l’équation d u mouvement du système est
»• (^^i*din + ^ ^ ^ = a (P — p) e — a
ou eu différenciant,
udv> ( Sr'dm -J- ^ F = {P — p) de — - Yde;
et , à cause de
soa I.E FROTTEMENT.
de
^ ~ dt'
elle devieot
Dans cette équation, F est la quantité inconnue à déterminer, ^ nous est donné par la courbe du mouvement, puisqu’on a
nî» d‘e
~di ~ lô'
on pourra donc, à chaque instant, trouver la valeur de F; et si le relèvement des courbes montre que, pour
une même experience, est une quantité constante
pendant toute la durée du mouvement, il s’ensuivra que F sera indépendant de la vitesse.
Or on trouve que toutes les courbes de mouvement sont des paraboles, et qu’en appelant ac le paramètie déterminé, comme on l’a vu, à l’aide du théorème de Maclaurin, la loi du mouvement est exactement représentée par l’éauation
‘ t = ace;
d’où l’on tire
de t
et par suite, . . . .
tiH/i- ' rdoÊ I du J '
■ 4 ^ , t idt ■> c dt 2cr .1 • ■ ■ ,
Li équation qui donne la valeur de F pent donc prendre la forme 'h '>■ tu • li
KOtVKLLES EXPERIENCES
d? ( = (P - /,) r - Fr.
La quantité Sr^d/n est la même pour toutes les expériences, et dépend des dimensions de la poulie, de son axe et de son plateau. On a trouvé
Sr^dm — 0,00629;
P est donné dans chaque cas, ainsi que P — p, i* (o, io^r 5 )*
Il est donc facile de substituer, dans la formule, les données de chaque expérience et d’en déduire la valeur de F.
La pression sur l’axe de la poulie est, en appelant q le poids de la poulie, des caisses et du ruban — i3‘,329 ,
mais il est clair, d’après les valeurs que l’on trouvera
pour dans le tableau suivant, que le dernier terme
est toujours très petit par rapport aux autres, et 'qu’on peut se boruer, pour la pression, à ,
P P - 4 - 7 kil. ‘
Dans chaque cas on a calculé le rapport
et il s’est trouvé à très peu' près constant dans toutes les ex|)érieuce8. ■
On observera que l’on a inséré dans le tableau suivant deux expériences où le mouvement était très lent, par suite de la petitesse du poids, moteur, et dans lesquelles lu multiplicité des courbes tracées sur le disque , -u’a
SUR LK FROTTEMENT
pas permis de les relever; mais il suit de cette lenteur même du mouvement que, dans ces expériences, la
quantité ou la force accélératrice étant excessivement petite. Je terme
dont le second facteur lui-méme est toujours assez faible, devient tout-à-fait négligeable par rajqiort au second membre de l’équation , et que celui-ci se réduit à (P — p) r — Fp = O,
qui aurait lieu pour le mouvement uniforme. C’est cette relation que nous avons appliquée à ces expériences; et les résultats obtenus s’accordent assez avec les autres, pour prouver qu’elfeclivement on peut alors négliger l’enTel de l’inertie.
TABIÆAU N° 1.
Expériences sur le frottement de l'axe en fer de la poulie sur des coussinets en sorbier.
K'oüi. Les surfaces sont onctueuses. Elles ont éic froltrcs d'un enduit de cin({ parties de saindoux et d'une partie de )domba{;ine , que l’on a essuye.
iixi.cnA
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