L -- 13", 7.0 sa longueur
Dans les applications, il faut augmenter le rayon rdela jKuilie de la demi-épaisseur de la tresse , ce qui, donne
Ou trouvera facilement l’équation du mouvement du
système, en observant qu’ici, la masse de la corde est assez grande pour qu’on doive en tenir compte. Cette équation est , en conservant les notations précédentes (t 5), et J joignant les nouvelles,
^ ; Sr*dm + = (P — p) r — Rr — P>. ,
Les données particulières à chaque cas et le relèvement des courbes donnent , de même que précédemment , tous les termes de cette équation , et l’on en déduit la valeur de H et son rapport à la tension du brin montant de la corde.
Le tableau suivant contient les résultats des expériences et des calculs. Je dois faire observer qu’en cherchant simplement le rapport de la raideur de la corde à sa tension, je néglige ce que Coulomb a appelé la raideur naturelle, parce que , d’après sa composition , la tresse était assez flexible jiour qu’on pût faire abstraction de cette résistance, vu la grandeur des charges; ce qui réduit alors l’expression de la raideur dounée par ce physicien à un terme proportionnel à la tension.
TABLEAU N° IL
Expériences sur la raideur de la corde tressée employée dans les expériences sur le frottement.
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'i^uîlibrc.
(\ • Savons étrangers. (j
>OVVELLES EXPÉRIENCES
Il résulte de ce i tableau,
1 *. Que la raideur de la corde tressée est iadépeudante de la vitesse du mouvement ;
2 °. Qu’elle est proportionnelle à la tension dans, le rapport de o,o3a à l’unité.
f/sag« des résultats précédens pour déterminer la tension de la corde en fonction de la charge de la caisse descendante.
ty. Au moyen de ces expériences spéciales sur le frottement de l’axe de la poulie et la raideur de la corde, il devient facile d’établir une relation entre la cbarge de la caisse K et la tension qu’elle communique à la branche horizontale de la corde dans les expériences ordinaires.
En effet , appelons , en conservant les notations prth;édeutes ,
P la charge de la caisse descendante , y compris son poids et celui de la portion de corde qui pend toujours sous la ])oulie, et en négligeant la quantité dont elle augmente dans la descente, et qui ne va guère qu’à un kilogramme.
T la teusiou cherchée de la partie horizontale de la corde.
<f le poids de la poulie, de son aze et de son disque r= 6“‘,854.
On aura , à un instant quelconque du mouvement du traîneau ,
Tr = ~ ~ ~ ^ l ■+■ ~ r'^.
Dans cette équation on a
R = o,o3aT, N = j/fp + , ï 'jy + T-;
SUB LE FROTTEMENT
et à cause que l’on a toujourê
- i is- >
on peut , d’après un théorème connu de M. Poncelet (*) , prendre , à ^ près ,
En substituant pour R et pour N leurs valeurs dans l’équation précédente, elle devient
T ^ 1 + o,o3j 4- 0,4 / Çj =P(‘— o.gG/f I— 0,90/Q
Sr'dm rdû)
Nous savons d’ailleurs qu’ici,
/ = 0,164, F = o"jO<>93, r=o“,iii, Sr*///?!- 0,00629, d’où
Si^dm
Au moyen de ces données, on trouve, tous calculs faits,
T = 0.95 fp (o,5.6 4
Au moyen de cette relation et des courbes du mouvement qui nous donnent la valeur du paramètre ac, on voit que, dans chaque cas, on aura celle de la tension T. 11 est inutile.
(•) Cours de ^fécam'que appliquée siux Machines, profeuc, en 1826 et 1826,
h l'École de l*Artil)ene et du G<fnic. Cahier lithographié, note i**.
sans doute, de rappeler que le calcul précédent est fondé sur le résultat général des exjjériences , qui nous apprend que
rd-jt 2
dt QC
est une quantité constante.
Dans le cas où le mouvement devient uniforme, et lorsqu’on veut appliquer la formule à la tension qui a lieu avant le départ, il suHU de faire, dans la formule ci-dessus ,
rdu ^
dt ac ’
et elle se réduit à
T s= 0,93 P — o“',o86, ou simplement à
à cause de la petitesse du dernier terme jiar-rapport au premier.
Vérification de la formule par observation directe.
18. Or, en relevant directement, d’après les courbes de tension , les valeurs de T relatives à plus de quarante exjwriences , où les charges P de la caisse ont varié depuis l î jusqu’à 93 kil. J et prenant les charges pour abscisses à l’échelle de o",o 5 pour i kil. et les flexions totales du ressort pour ordonnées, de grandeur naturelle, on trouve que les sommets de ces ordonnées sont tous, à très peu près, sur la même ligne droite, inclinée de telle Sorte qu’un millimètre d’accroissement dans la flèche ou l’ordonnée correspond à 2 kil. de la charge ou de l’abscisse, taudis qu’on a vu que l’épreuve directe du rcs.sort donnait o", 00104 pour 2 kil. Donc, par l’effet de la raideur de
SUR LK FROXTEMKÎIT,
la corde et du frottement du l’axe, la flexion du ressort ou la tension de la corde n’est que
= o.gG
de celle qui correspondrait à la charge de la cuisse.
Formules pratiques pour le calcul des expériences.
19. L’accord remarquable que présente ce résultat de l’observation directe, avec celui de la formule, montre la confiance que peuvent mériter les expériehces précédentes , et nous autorisent, dans les calculs à venir, à employer cette formule pour tous les cas. Ainsi, quand le mouvement sera accéléré, nous calculerons la tension par la formule
•li;
et quand le mouvement du, traîneau sera uniforme, elle sera déterminée par tiq b. j . ; î. . ( r
Relation entre la tension de la corde et le frottement.
30 . Nous pouvons maintenant regarder comme connue, dans chaque cas, la tension de la corde, ou refibrl qu’elle exerce dans le sens du mouvement pour tirer le traîneau ; et il ne nous reste plus qu’à établir une relation entre cet effort et le frottement. Appelons T la tension connue; ,
F le frottement de bandes en expérience sur les semelles ; e le chemin parcouru à un instant quelconque j)ar le traîneau ;
NOUVELLES EXPEBIENCES
la vitesse angulaire de la poulie au même iostant; '
Q le {>oids total du traîneau et de sa charge ; r — o“,i 1 1 le rayon extérieur de la poulie, y compris la demi-épaisseur de la corde.
Examinons d’abord le cas le plus simple et le plus général des expériences , celui où la charge constante de la caisse descendante a suffi pour déterminer le départ et (întreteoir le mouvement.
L’expérience montre , par l’examen direct et le relevé des courbes des efforts, et par l’équation précédente, qui détermine la valeur de T, que cette tension est cooslante; le travail total de T, ou la quantité d’action que oet effort aura dévelopjni depuis l’origine du mouvement, sera donc
Te”.
Admettant, malgré ce que nous indique la forme parabolique des courbes du mouvement, que nous ignoHons encore si le frottement des substances soumises à l’expérience est constant , représentons provisoirement le travail total du frottement depuis l’origine, jMir
SF</e*“,
à prendre depuis e ^ o jusqu’à la valeur dee, coiresjwndante au temps t.
La force vive du traîneau sera
et nous aurons, d’après le principe des forces vives ,
— s=. aTe — aSFdéf '•
ou en différentiant , et observant que * '
St’R I.R FnOTTEME^T.
d’oü
de
= Ir
g tU
ou en substituant à T sa valeur
F = 0,95 P — j^^o,5iG 4 - ^ ) o,t)5
rd'j> I
Q “j rdw
dt
o'oi'iô ,
expression dans laquelle tout est constant , puisque l(!S courbes du niouveineut accéléré douneut toutes ,, , de‘ rdco a
t‘ = 3ce, d ou -r- = — 7 - = — ,
dt’ '<>
dt
et qui fournira par conséquent une valeur constante de l' pour chaque expérience.
Cas où le, mouvement du traîneau est uniforme.
at. Lorsque le mouvement est uiiiforine, ou a rdui
et par suite ,
F = T -= o.gfi P ;
ce qui donne immédiatement la valeur du frottement.
Ce. cas du mouvement uniforme, bien plus simple à calculer que celui du mouvement accéléré, est assez difücile à produire, et exige quelques tàtonnemens; aussi u’ai-je pas cherché souvent à l’obtenir.
Lorsque, par suite de la valeur de la charge P de la caisse K , on a
c’est-à-dire lorsque la tension de la corde est moindre que le frottement , le mouvement , que l’action simultanée tlu levier ou des petites caisses M et de la caisse K avait rendu accéléré , se retarde dès que les petites caisses cessent d’agir, et il peut même, selon les cas, s’éteindre toutà-fait.
1/éqiiation
K = T Si^,
'S'a|>|)li(]ue à tous les instans de lu course? du traîneau , depuis celui où les jM-titos caisses M ou le levier ced ont cessé d’agir, et permet de calculer immédiatement F, sans avoir à s’occuper de ce qui se passe dans la portion , ordinairement ti"ès courte, du mouvement, où l’action de ces caisses ou celle du levier concourt avec celle du poi<ls P. Aussi , dans le calcul de toutes les expériences, ii’eri ai-je pas employé d’autre; mais il no sera pas inutile, pour rendre compte de (juelques circonstances en apparence singulières du mouvement uniforme ou retardé, de montrer comment on peut distinguer et calculer à part ce ({ui se passe dans ces deux portions d’une même course.
Examen et calcul des circonstances du mouvement.
2 i. Pour cela, appliquons les résultats, auxquels nous sommes déjà parvenus à la première jHîriode du mouvement , celle où les petites caisses M et le poids P agissent ensemble. Soient , à un instant quelconque de cette |)ériode,
P' le poids des (>ctites caisses M;
P le poids de la caisse descendante K ;
sua LE FHOTTEMEST.i
Q la charge du traîneau ^
T' la tension de la corde ;
la vitesse angulaire de la poulie; e' l’espace parcouru par le traîneau au bout d’un temps f ; 1 ' le frottement ;
A' = 0,5 16 -f- ■ — — — . On remarquera que si l'on a{>-
pliquait ces calculs aux expériences où l’effort P' («t
exercé par le levier, il faudrait remplacer — dans la
valeur de A' par le moment d’inertie du levier et de sa charge divisé par
Nous aurons donc, d'après ce que nous avons vu (17) et (io), 0,95 A' = 0,95 (P + P'J - T'- O*", 086,
dt' g
En ajoutant ces deux équations, on a
L’expérience ayant montré que F est constante, puisqu’elle nous donne toujours pour une valeur constante, nous tirerons de cette équation
ru = -TJ =
df
puisqu’on a , à la fois ,
= 0 et t' ^ O , ou en posant, pour la simplicité,
4 * Savons éirangvi t.
il vient
NOUVKtXES EXPÉRIENCES
— rf/ — C"
d’où ,
r-» = oCV.
Oti connaît , dans chaque ex[)érieDce, la hauteur totale / dont les petites caisses sont descendues simultanément avec la chargeP; par conséquent , on pourra déterminer t' au moyen de l'équation ci-dessus, et par suite la valeur de
la vitesse ^ dont le traîneau était auimé quand
il n’a plus été sollicité que par le poids P de la caisse K. A cet instant, la courbe du mouvement change, puisque la force qui entraîne la charge Q n’est plus la même; mais il est facile d’en trouver l’équatiou. Soient, en effet, à un instant quelconque de cette seconde période, et comme par le passé ,
Q la charge du traîneau ;
P le poids de la caisse descendante ;
T la tension qu’il produit sur la corde;
» la vitesse angulaire de la poulie 1 e l’espace [larcouru par le traîneau )
F le frottement ;
Nous aurons , d’après ce qu’on a vu ( 20 ) ,
d’où, en posant
r« = ^ + coiutante.
Dans ce mouvement , d’après le calcul precedent , on a en même temps
ce qui donne
ra» = r«' = ^ et t = t';
m' =s =i — constante ;
et par suite
Le dernier terme sera toujours positif, attendu qu’on a nécessairement > ç; ce qui est facile à vérifier.
En intégrant de nouveau, on a
e = ^-f- f t H- constante;
et puisque nous savous que
e = é , quand / =
on a
iÜ.
aC
-f- constante;
mais pour la première partie du mouvement , on sait que
® aC’
M)LVEI.LES ESPEHIENCES
et par suite
aC
1 \ aC ) '
Celte ik|uation donnera à chaque instant la relation entre le temps et l’espace parcouru. On voit que, pour 1 = 0 , elle donne pour e une valeur négative , et <jue la relation entre «et / donne pareilicinent , pour « = o, une valeur négative de / ; ce qui montre que l’origine de la seconde partie de la courbe du mouvement est en dessous et à gauche de celle de la première période; ou , eu d’autres termes, que, pour que celte courbe du mouvement eût été fournie par l’action seule du poids P, il eût fallu qu’il agît depuis plus long-temps et pendant un plus long espace qu’il ne l’a fait réellement dans l’expérience; ce qui d’ailleurs est évident à priori. L’examen des valeurs
de ^ relatives aux deux périodes , montre de plus que
pour
t — t' et e — e ,
ces deux courbes ont la même tangente.
L’équation ci-dessus de la deuxième |>ériodc du mouvement, nian({uant du produit et et du carré e*, il est clair qu’elle appartient encore à une parabole , mais dont l’origine est dillérenle de celle de la courbe relevée du mouvement. Il suit de là que l’axe des temps, dans la courbe relevée, n’est plus une tangente à celte seconde parabole, mais bien une sécante, et que |)our déterminer le foyer de celle coürbe , on ne peut plus employer le théorème de Maclaurin, et qu’il faut recourir à celui de M. l’oncelel , que j’ai cité plus haut.
Quoiqu’en apparence un peu étrangère au compte que j’ai à rendre des expériences, celte recherche m’a été fort
SUB LE FBOTTEMENT.
Utile par cette dernière conséquence , car je ne l’avais {>as aperçue à priori; et en appliquant le théorème de Maclaurin , j’avais trouvé quelque incertitude sur la déferinination du foyer des paraboles.
Au reste, on verra que j’ai presque entièrement cessé d’employer les petites caisses et même le levier, par suite de l'observation que j’ai été conduit à faire des effets d’une légère vibration sur le départ du traîneau , de sorte qu’il n’y a plus eu lieu de distinguer ces deux'périodes du mouvement; ce qui a fait alors rentrer toutes les expériences dans le cas où le mouvement ne se produit que sous l'action seule du poids P.
Cas où le mouvement est unijorme.
i3. Les calculs précédons, établis pour déterminer la loi du mouvement lorsque le poids P est supérieur au frottement , j>euvent aussi s’appliquer au cas du mouvement uniforme et du mouvement retardé.
Examinons le premier. On a alors
et par suite
rda d'e
d’où
de
-r = constante.
dt
Ainsi le mouvement doit se continuer en ligne droite avec la vitessè'
rt» —
dt
o.gS (P -h P') — F — 0,086 ,
