NOTIONS PRELIMINAIRE
les points de l'équateur, les jours doivent être constamment égaux aux nuits : c'est pourquoi celte ligne est aussi appelée ligne équinoxiale.
Il résulte de l'inclinaison de l'axe delà Terre, qu'en menant , sur chaque hémisphère , une ligne parallèle à 23 degrés 28' de l'équateur, on a les limites d'une zone dans laquelle se trouvent compris tous les points du globe qui, à certaines époques de l'année, reçoivent verticalement les rayons solaires. Ces parallèles portent la dénomination de tropiques, savoir ; le tropique du Cancer dans l'hémisphère boréal, et le tropique du Capricorne dans l'hémisphère austral.
Une autre conséquence de l'obliquité de l'écliptique, c'est qu'au solstice d'elé , par exemple , il n'y a point de nuit pour toutes les régions qui environnent le pôle nord dans une étendue de 23 degrés 28 minutes ; tandis qu'il n'y a, au contraire , point de jour pour les région! correspondantes des environs du pôle sud. L'inverse a lieu au solstice d'hiver. Les jours et les nuits sont d'autant plus longs qu'on approche davantage des pôles , où leur durée est de six mois.
Les deux cercles ainsi menés à 23 degrés 28 minutes de chaque pôle, parallèlement à l'équateur, ont reçu les noms de cercles polaires arctique et antarctique.
La surface de la Terre a , d'après les considérations
50 DEUXIÈME PABIIE.
qui précèdent, été divisée en plusieurs régions, savoir :
lo La région inter tropicale, ou s&Hé torride , comprise entre les tropiques ;
2° Les régions tempérées , qui s'étendent d'un tropique au cercle polaire du même hémisphère;
3° Les régions glaciales, limitées par les cercles polaires arctique et antarctique.
La division de la Terre en régions ne pouvait suffire aux géographes qui avaient besoin de déterminer d'une manière précise tous les points de la surface du globe Pour obtenir ce résultat, on a divisé l'équateur en 360 parties égales ou degrés , chaque degré a été partagé en 60 minutes, chaque minute en 60 secondes , etc. (i).
Si par un point E (/ig. 2) de l'équateur et par les pôles PP' on l'ait passer un plan , la trace PEP* de ce plan sur le sphéroïde terrestre constituera ce qu'on appelle. un méridien. On conçoit que des méridiens peuvent être menés par tous les points du globe. En
(1) A l'époque de la création du sjslèrae métrique, on imagina de diïiser lo cercle en quatre cents parties, nommées grades, subdivisée? chacune en fractions décimales, et ce système fut appliqué k la géographie : cependant la division sexagésimale a généralement préïalu, parce qu'elie a l'avan ■ tage de se prêter à beaucoup de divisions en pavlies égales, exprimées par dos nombres ronds.
NOTIONS PBÉLIMINÀÏHES. 31
France , on a adopté pour premier méridien celui qui passe par l'Observatoire de Paris (i); le deuxième en est éloigné d'un degré, le troisième de deux degrés, et ainsi de suite.
La désignation de la posiiion d'un Heu par rapport à un méridien donné, est ce qu'on appelle la longitude de ce lieu. Ainsi, la longitude de l'Observatoire de Paris et de tous les points situés sur le premier méridien est 0". On dit que la longitude est orientale oaoccidentale , suivant qu'une position est située à l'est ou à l'ouest du méridien pris pour point de départ. Par exemple, la longitude de Greenwich, où les Anglais font passer leur premier méridien, est occidentale relativement au méridien de Paris , et de 2° 2' 15 ".
La longitude d'un lieu étant connue, il suffit, pour déterminer la position de ce lieu, d'avoir sa distance de l'équateur , ou , eu d'autres termes, sa latitude. Pour cela, on a aussi divisé en 360 degrés la circonférence de la Terre dans le sens des méridiens. On compte donc 90 degrés de l'équateur à chaque pôle. On fait passer par ces divisions des cercles c {fig. 2) désignés sous ie nom de parallèles. Le premier paral-
(1) En vertu d'une ordonnance de Louis XIII, les anciens géographes faisaient passer le premier méridien h l'extrémité occidentale de l'île de Fer, l'une des Canaries.
"2 DEUXIÈME PARIEE.
lèlc est celui qui est situé à un degré de l'équaleur , le deuxième en est éloigné de deux degrés, etc.; et, pour faire connaître qu'un lieu se trouve au midi ou au nord de l'équaleur, on dit que sa latitude est australe ou boréale.
Nous fixerons, par conséquent, la position de Grecnwich , dont la longitude est, comme on l'a vu, de 2° 2' 15" ouest, en ajoutant que sa latitude est boréale ctde5t° 28'30".
C'est en déterminant , par les moyens astronomiques , les longitudes et les latitudes des points principaux de chaque contrée , qu'on est parvenu à dessiner la géographie du globe.
Si l'on construit un sphéroïde , et qu'après y avoir tracé l'équaleur, les parallèles et les méridiens, on y rapporte chaque position suivant sa latitude et sa longilude.on aune représentation .exacte de la Terre. Tels sont les globes géographiques.
Mais l'usage de ces globes est incommode. Il faudrait leur donner des dimensions énormes pour obtenir des tracés à grande échelle, et, d'ailleurs , les levés de détails étant toujours construits sur une "surface plane , il est naturel de les assembler aussi sur un plan. Malheureusement la surface d'un sphéroïde n'est point développable : c'est -à-dire qu'il est impossible de l'appliquer sur une surface plane sans qu'il en résulte des
MOTIOKS l' U LI.1M l SA IRKS . 33
déchïrores ou des duplicalures. On a dù, par conséquent, modifier le tracé des cartes d'une manière méthodique , afin d'altérer le moins possible la configuration de chaque contrée. Ce sont les diverses constructions imaginées à cet effet qui ont reçu le nom de projections.
La plus ancienne carte géographique dont il soit fait mention, est celle du monde entier qu'Anaximandre de Milet, disciple de Thaïes , construisit, dit-on, au vie siècle avant Jésus-Christ. Mais d'après quels principes cette carte était-elle dresséeï c'est ce qu'on ignore entièrement.
Eralosthène , philosophe grec , préposé à la conservation de la bibliothèque d'Alexandrie, environ 260 ans avant notre ère, fut l'auteur de la première carte tracée sur des bases fixes dont l'histoire nous ait transmis le souvenir. Les positions indiquées sur celle carie se trouvaient subordonnées à deux lignes principales : l'une , menée du levant au couchant , traversait l'Ile de Rhodes et Gibraltar; l'autre, perpendiculaire à la première , passait par Alexandrie , Rhodes et Byzance. 'C'est là l'origine présumée des projections.
Hipparque, Possidonius et Marin de Tyr, firent usage de cartes sur lesquelles les parallèles et les méridiens étaient exprimés par des lignes droites (fig. 3). On donnait aux degrés de latitude leurs dimensions
Digilized by
réelles ; mais les méridiens , au lieu de converger vers les pôles, étaient parallèles entre eux et espacés comme ils le sont sur le globe , à la hauteur du 36 s parallèle. Ce parallèle, en effet , occupait à peu près le milieu de la zûne connue à cette époque , et cette zone étant fort restreinte , les cartes dont il s'agit présentaient assez d'exactitude. Mais les découvertes postérieures rendirent cette projection tout-à-fait inapplicable. Vers l'an 130 de 1ère chrétienne , Ptoléméc créa des méthodes nouvelles en rapport avec les besoins de la géographie , méthodes encore en usage, et d'où dérivent la plupart de celles que les modernes ont inventées.
Nous ferons connaître, à mesure que nous traiterons de chaque projection en particulier, les auteurs à qui la science en est redevable.
nOJICH DES CARIES GÉOGRAPHIQIES.
DES PROJECTIONS
On distingue deux sortes de projections : les projections perspectives et les projections par dévelopjyement.
Projections perspectives.
Les projectioos perspectives ne sont guère employées que pour représenter un hémisphère entier. Dans ce cas, on a coutume de faire abstraction de l'aplatissement des pôles (1) , et l'on considère la Terre comme sphériqne.
(1) Par suîfe de cet aplatissement, les degrés de latitude, an lieu d'êlre égaos entre eux, comme on le suppose dans la plupart des cartes, croissent dans le rapport des rayons , et par conséquent en approchant des pôles : ce qu'il est aisé de reconnaître par l'examen de la fig. 4, anr laquelle noua ayons exagéré a dessein l'aplatissement dont il s'agit. En «Bel, soit A l'un des pôles, et B C l'équaleur. LesarcsBa, «o\ a'c sont de 60 degrés chacun; mais, à cause do l'aplalisiemenl da pftle, l'arc aa' a un rayon pins grand que cenxdes arcsoB, a'C; la longueur des degrés mesurés sur cet arc est donc aussi plus considérable.
On fait ordinairement passer le tableau TT par le centre C de la sphère (ftg. S) , et l'on place le point de vue à l'extrémité E du rayon mené perpendiculairement à ce plan. Il en résulte plusieurs avantages.
1° Tous les cercles de la sphère ont pour perspectives d'autres cercles (i) , ce qui simplifie beaucoup le tracé de la projection ;
(11 II esl facile de s'en convaincre.
S! on divise une corde quelconque DE (^3. 6} en deux parties égales DC, C E, et si on réunit les points DCE au point F par des droites , les points d G' e, déterminés par l'intersection de ces droites avec le diamètre AB, sont équivalants.
Pour le démontrer , menons par le point C la ligne dV parallèle à D E, nous avons deux triangles égaux d C d', e Ce'. En effet, les angles d C d\ e Ce' sont égaux entre ct« comme opposés au sommet ; l'angle d' est égal à l'angle e , car l'angle d' = EDF a pour mesure la moitié de l'arc F BE ; l'angle e a pour mesure la moitié de l'arc AF plus la moitié de l'arc EB, ou, puisque A F est égal a FB, la moitié de l'arc FB E. On démontrerait de même quel'angled est égal h l'angle e'. Or, comme a" C est égal à Ce', les deux triangles d C'd', e C e' sont nécessairement égaux. On peu! par consé quenl poser la proportion : d C * C'e' d' C * C***! d'où il suit que d C ' est égal a C'e, ainsi que nous l'avons annoncé.
On peul considérer la eorde DE comme le diamètre d'un cercle quelconque tracé sur la sphero, C comme le centre de ce cercle, F comme le point de vue: c'est-à-dire comme le
DES PnfJJECTIOlïS. 37
2° Ces cercles se coupent à angles droits sur la carte comme sur le globe ;
3° Les parties infiniment petites de la sphère prennent une figure semblable à celle qu'elles ont en réalité.
Ce sont là les propriétés les plus remarquables de celle projection, qu'on appelle stérêograpkique (1).
Il est impossible d'appliquer aux cartes ainsi construites , une échelle divisée en parties égales ; mais on évalue facilement , à l'aide de la graduation , les mesures prises sur les méridiens et les parallèles. On peut aussi apprécier la distance d'un point quelconque au centre de la carte ; car tous les grands cercles qui passent par ce centre , se coupant suivant l'axe optique ,
sommet d'où cône avant pour base le cercle dont DE est la diamètre, AB comme 1b trace du plan de projection, lequel est perpendiculaire au plan F DE passant par l'aie du cône. Il est évident que si l'en Fait tourner le cOoe sur son axe FC, les points & C e resteront invariables. L'intersection de ce educ avec le plan de projection, ou, en d'autres termes, la perspective du cercle tracé sur la sphère, est donc un cercle,
(1) Voir, au deuxième livre dn Traité de Topographie, d'Arpentage et de Nivellement de H. Puissant, le développement des théories sur lesquelles reposent ces propriétés. Cartel giograpMqvti- 4
ont pour perspectives des lignes droites susceptibles d'être graduées comme l'èquateur.
La plus usitée de toutes les projections perspectives est celle queMercator, géographe flamand, mit en pratique vers le milieu du xvi 8 siècle , et que nous désignerons , d'après M. Puissant , sous le nom de projection sur le méridien.
Projection sur le Méridien.
Le point de vue est placé sur l'èquateur , au centre de l'hémisphère opposé à celui que l'on veut représenter, cl le plan du tableau passe par les pôles.
Il est facile d'obtenir le tracé de celte projection par l'application des règles ordinaires de la perspective, mais l'opérai ion peut être simplifiée ainsi qu'il suit :
Après avoir décrit la circonférence ABCD (fig. 7), on y rapporte immédiatement les degrés de latitude, en la divisant en parties égales. En effet, le point de -vue étant à une même distance de tous les points de cette circonférence , l'égalité des degrés n'est nullement altérée par la perspective. On trace ensuite le méridien principal A B et l'èquateur CD, qui se projettent suivant deux droites perpendiculaires entre elles. Puis, on détermine, au moyen des lignes Bc, Bf, Hg, BA, l'intersection l de chaque méridien avec l'èquateur, et parles lignes J)i, Dj,De, Df, les inter-
DES PROJECTIONS
sections m des parallèles avec le méridien principal. H ne reste plus qu'à mener des courbes par ces points pour achever la projection. Or, nous avons vu précédemment que ces courbes sont des cercles. L'opération du tracé de chaque méridien et de chaque parallèle se réduit donc à faire passer un arc de cercle par trois points donnés(t).
(1) On emploie ordinairement, pour déterminer les centres de ces arcs, les constructions indiquées par les figures S et 9.
TVaci! de* méridien* (fij. 8). Pour trouver ]« centre d'un méridien quelconque dont on a les trois points DïE, on mène du point f, situé sur la circonférence de l'hémisphère, dans le prolongement de la droite Et, le diamètre fC f. On trace ensuite la corde E/% qne l'on prolonge jusqu'à la rencontre de la ligne A M , au point h. Ou divise la longueur ih en deui parties égales t C, C'ft, et le point C est la centra therché.
On obtiendra parle même moyen le centre de l'arc DIE, qui en le point C ' ', situé a égale distance de i et de h ', et ainsi de suite pour les autres méridiens, dont les centres sont tous sur le prolongement du diamètre AB.
Tracé de* parallèle* (fij. 9). Tous les arcs qui représentent les parallèles a l'èquateur ont leurs centres sur le prolongement du diamètre DE. Pour tracer.par exemple, l'arc fgh, on mène la droite BAi, puis on divise la longueur^ *n déni parties égales, et l'on obtient ainsi le point de centre C,
La projection que nous venons de décrire est celle qu'on emploie le plus ordinairement pour les mappemondes.
Ces cartes ont plusieurs défauts, dont le principal résulte de la division en deux hémisphères , qui sépare des régions adjacentes du globe. La dilatation toujours croissante du tracé, à mesure qu'on s'éloigne du centre de chaque hémisphère , est aussi un grave inconvénient. C'est pour y remédier qu'on fait des projections polairet et des projections horizontale!.
Projection polaire.
Dans i* projection polaire, le point de vue est placé au pôle opposé à celui de l'hémisphère que doit représenter la carte , et le tableau est le plan même de l'équateur.
Le tracé, comme on le voit par la fig. 10, est extrêmement simple. L'équateur se trouve divisé en parties égales. Les méridiens sont tous représentés par des droites qui se coupent au pôle P, et les parallèles sont des cercles concentriques dont on détermine l'espacement par l'intersection avec AB de chacun des rayons visuels CD, CE.
Celte projection a l'avantage d'offrir, avec assez d'exactitude, l'ensemble des régions polaires.
DES FROJECTIOHS.
Projection horizontale.
Les projections horizontales ont pour objet de représenter les hémisphères situés au-dessus ou au-dessous de l'horizon du lieu auquel elles se rapportent. Si , par exemple, la projection est subordonnée à Paris , la position de cette ville occupera le centre de la carte. C'est là que sera placé le point de vue , et l'on prendra pour tableau l'horizon rationnel de Paris , c'est-à-dire, un plan passant par le centre de la Terre et perpendiculaire à l'axe optique. Celle projection permet de tracer, sans altérer beaucoup leur configuration , les régions qui environnent un lieu ou son antipode.
On peut dresser une carte de ce genre par les procédés ordinaires de la géométrie descriptive; mais la construction que nous allons indiquer est beaucoup plus simple (1 ).
Soit c (fig. 11) le lieu du globe auquel on veut subordonner la projection. De ce point, comme centre, et d'un rayon égal à celui de la Terre, on décrit la circonférence ADBC. On mène ensuite par le poinl c
(1) Voir la théorie de celle construction, empruntée à M- Puissant, dans le Traité de Topographie, d'Arpentage et de Nivellement, livre II.
42 DEUX1ÈMB PARTIE.
les droites AB, DC perpendiculaires entre elles, on forme l'angle A cP égal à la hauteur du pôle compris dans l'hémisphère représenté par la carte, puis on trace la ligne P C , dont l'intersection p avec AB est la projection du pôle.
Pour tracer les méridiens, on prolonge CP' jusqu'en p', et l'on mène par le point F, milieu de pp", la perpendiculaire S S'. Cette perpendiculaire se nomme ligne des centres des méridiens. C'est sur elle , en effet, que se trouvent situés tous les centres des arcs de cercles passant par les points pp', lesquels arcs sont les projections des méridiens. Voici comment on obtient ces centres : d'un rayon quelconque, par exemple d'un rayon égal à p F, on décrit du point p une circonférence que l'on divise en 36 parties égales, si l'on veut, comme dnns la fig. 11 , ne tracer les méridiens que de 10 en 10 degrés, et l'on mène, par chaque division , des rayons qui , prolongés jusqu'à la rencontre de la ligne SS', y déterminent les points w'x", etc. Ces points sont les centres cherchés, et, comme la figure est symétrique , il suffira de tracer les rayons dans le premier quart de cercle.
Mais cette méthode cesse d'être praticable dès que le rayon des méridiens devient trop grand ; il faut donc avoir recours à un autre moyen. On abaisse d'un point quelconque pris sur AB, par exemple du point F,une
DES PBOÏËCTIOHS. «
perpendiculaire F fcsur la droite PP'; on porte la longueur Fk de F en fc"; de ce dernier point, comme centre, et d'an rayon arbitraire , on décrit une circonférence FGH qu'on divise aussi en 3G parties égales ; on mène , par chaque point de division, des rayons dont le prolongement rencontre SS' en nn\ etc. ; enfin, l'on trace les lignes ncy, n'ey', et on achève la projection des méridiens en faisant passer des arcs de cercles par les points mpy, m'py', et ainsi de suite.
L'équateur s'obtient en menant la ligne CQ et le diamètre QQ' perpendiculaire âPP\ On a ainsi trois points de la courbe, savoir : les points DC et le point q résultant de l'intersection de la droite CQ avec AB. On prolonge la ligne CQ' jusqu'en q', et qq' est le diamètre du cercle qui passe par les points déterminés précédemment. L'arc CoD est la projection de l'équateur.
Il ne s'agit plus que de tracer les parallèles. Pour cela, on divise en 36 parties égales la circonférence ABDC à partir du point P, et les droites C (i), C C (2), C (2'), etc., menées de deux en deux divisions , donnent sur le méridien AB les diamètres vv',v"v"' des cercles qu'il s'agit de décrire. Il est vrai que ce procédé n'est plus applicable lorsqu'on s'éloigne beaucoup du pôle p ; alors on détermine , comme nous l'a-
vous indiqué dans la figure , les intersections des plans des parallèles avec le plan de projection A B D C , et par les points 1,2, 3 ; 4 , 5, 6 ; 7, 8, 9 , on fait passer des arcs de cercles.
Projection orthographique.
Les projections stéréographiques donnent assez exactement, comme on vient de le voir, la configuration des régions voisines du centre d'un hémisphère ; mais les contrées qui se rapprochent de la circonférence sont excessivement dilatées. Cet effet résulte du peu de dislance qui sépare le tableau du point de vue.
L'inconvénient contraire a lieu si l'on place le point de vue à l'infini. Tous les rayons visuels sont alors parallèles entre eux et perpendiculaires au plan du tableau , ce qui constitue la projection orthographique (f!g. 12), dans laquelle les méridiens et les parallèles sont des ellipses. On voit que, les parties latérales de la sphère se présentant obliquement au plan de projection, il en résulte nécessairement une contraction dans le figuré de ces mêmes parties.
Mais , puisqu'on peut à volonté dilater ou contracter ce figure, en faisant varier la position du point de vue, il doit exister, sur l'axe optique, un point tel que l'inégalité des espaces vus de ce point soit la plus petite possible. Il ne peut y avoir, comme l'a fait observer
DES PROJECTIONS
M. Lacroix, égalité absolue dans tous, parce que la loi de leur variation dépend de leur situation particulière ; mais leurs différences seront assez petites pour pouvoir être négligées dans une carte générale.
Labire, mathématicien du xvi» siècle, a reconnu qu'on satisfait à ces conditions en plaçant le point de vue à une distance de la sphère égale au sinus de 45°.
Projection de Lahire.
Soit ABDF(/îij. 13) la circonférence du globe terrestre, l'angle de 45° DCE a pour sinus EE'. On portera donc, sur le prolongement du diamètre BF, une longueur F G égale à ce sinus , et le point de vue sera placé en G, le pian du tableau passant toujours par le centre de la sphère.
Le tracé de cette projection donne, comme on le voit, nne figure sur laquelle l'altération des espaces est beaucoup moindre que dans la projection stéréographique. Il est vrai que les méridiens et les parallèles y sont représentés par des ellipses qu'on est obligé de construire par points ; mais c'est un léger inconvénient, et, dans la projection stéréographique des mappemondes à grande échelle , on est également forcé de tracer, par des moyens analogues , les arcs des méridiens situés vers l'axe de l'hémisphère , parce que ces arcs onl un rayon trop grand pour qu'il soit possible
46 DBDXIÈHB PARTI H.
de les décrire au compas (1). L'inconvénient dont il s'agit n'est donc pas une difficulté réelle qui doive era-
(1) On peut très-facilement tracer une ellipse quelconque ABCD [fy. 14) par le procédé suivant ;
On marque, sur le bord d'une bande de papier ( fig. 13 ) , les points mon, espacés de telle sorte que la longueur mn soit égale à la moitié du grand axe AB de l'ellipse, et la longueur ne a la moitié du petit axe. On fait ensuite glisser sur le dessin celte bande de papier de manière à maintenir constamment le point o sur la ligne AB, el le point m sur la ligne G D. A chaque nouvelle position donnée à la bande de papier, le point » détermine, comme on le voit par ta fiij. 14, un point de la circonférence de l'ellipse. On rapproche autant qn'on le veut ces points, par lesquels on fait ensuite pusfer une courbe.
Pour tracer un arc de cercle d'un très-grand rayon, on emploie avec avantage deux règles A B,B C i fig. 16) unies eolre elles par une charnière qui permet d'agrandir ou de diminuer à volonté l'angle B.
Supposons qu'il s'agisse de tracer un arc dont on ait trois points t tu (fig. 17) : on fait coïncider avec le point lia brisure B de l'instrument, puis l'on amène la règle AB contre le point t , et la règle B C contre le poinl u. L'ouverture de l'angle ABC étant alors fixée d'une manière invariable, ou fait tourner tout le système sur le papier, en maintenant toujours les cOtès A B , B C en contact avec les points » et u ; le sommet B de l'angle formé par les deux règles détermine ainsi une suite de points appartenant tous a l'arc ttu.
A défaut de l'instrument que nous vouons de décrire, on pourra faire usage d'un morceau de carton coupé suivant un
DES PROJECTIONS
pécher d'adopter, pour la construction des mappemondes, la projection de Lahire (').
Projection centrale.
Nous terminerons ce que nous avions à dire sur les projections perspectives, en faisant connaître une dernière méthode , désignée sous le nom de projection centrale ( fig. 19).
Le point de vue est pris au centre de la sphère , et le tableau est tangent à sa surface. Les méridiens se trouvent, par conséquent , représentés par des lignes droites parallèles entre elles, et les parallèles à l'équateur par des hyperboles.
Il est évident que la projection centrale ne peut scr-
angle déterminé par les trois points connus de l'arc de cercle, et on le fera glisser sur le papier de la même manière qae les deux règles.
(1) Plusieurs mappemondes ont été dressées, sans BToir égard aux lois de la perspective, d'après une méthode qui mérite peut-être, à cause de sa simplicité, d'obtenir la préférence.
Cette méthode consiste à diviser en parties égales la circonférence et l'aie de chaque hémisphère, et à faire passer par ces points des arcs de cercles représentant les méridiens et les parallèles [fig. 18). Il en résulte un tracé qui n'altère pas beaucoup plus que celui de Lahire, la configuration des diverses régions du globe.
DEUXIÈME PAHTIE.
vir à représenter un hémisphère entier, puisque le point de vue et le diamètre de la sphère sont situés dans un même plan. La simple inspection de la ligure suffit aussi pour faire comprendre que cette projection ne peut convenir à une carte d'une grande étendue, à cause de la divergence des courbes qui représentent les parallèles ; mais on l'emploie quelquefois lorsqu'il s'agit de reproduire un espace peu considérable , et M. de Prony en avait proposé l'adoption pour les cartes du cadastre.
Projections par développement.
La surface d'une sphère n'est point développable ; cependant, quand on considère une zone sphérique de peu d'étendue, il est possible de l'assimiler à un tronc de cône. De là dérive l'idée de la projection conique, due à Ptolémée.
Projection conique.
Ou peut concevoir cette projection de diverses manières. La méthode la plus usitée consiste à rendre le cône langent au parallèle moyen de la carte qu'il s'agit de dresser. Supposons, par exemple , qu'on veuille représenter une zône comprise entre deus parallèles AB, CD (/ïff.20): le cône se trouvant tangent au parallèle moyen EF, le développement de ce parallèle
DES PROJECTIONS. 49
aura pour rayon la ligne EG, égale à la co-tangcnlc de sa latitude EH (1).
Voici quel sera, par conséquent, le procédé graphique.
On tracera d'abord une ligne droite gi (fig. 21) représentant le méridien principal; puis, du point g comme centre, et d'un rayon égal ù GE (fig. 20), on décrira l'arc ff'f" qui sera le développement du parallèle moyen EF. Sur cet arc on portera les divisions des degrés de longitude, et l'on mènera, par chacun de ces points et par le point g, des droites gg\ qui seront les projections des méridiens. On indiquera ensuite, sur le méridien principal, la division des degrés de latitude, et l'on décrira, en prenant toujours pour centre le point 3, les arcs i, 2, 3 et î. On voit, par la figure, que les mesures prises sur le parallèle moyen sont proportionnelles aux distances mesurées sur le globe, mais qu'au-dessus et au-dessous de ce parallèle, les distances se trouvent amplifiées ; et cet inconvénient sera d'autant plus grand, que la carte aura plus d'étendue en latitude. Cette projection, que l'on désigne sous le nom deproj'eeii'on conique pure, ne
(1) JO esl la co-langenlode la latitude EH. Or les deux triangles 10 J, IEG sont égaux, EG eU donc égal h JO.
Cartes yéograpkiquei. tt
DEUXIÈME PABTIE.
convient donc qu'à des cartes particulières, telles , par exemple, que celles des divers étals de l'Europe.
Ptolémée , qui voulait comprendre dans une même carte tout le monde connu de son temps, sentit, le premier, la nécessité de modiQer la projection que nous venons de décrire. Il continua de représenter les parallèles à 1 equateur par des cercles concentriques (i) ; mais, au lieu de figurer les méridiens par des droites aboutissant toutes au sommet du cône, il les exprima
(1) On peut déterminer souvent la courbure des paral-
Supposons que A B (/Sj. 22) soil le méridien principal de la carte qu'il s'agit de construire ; que celle carte dotTe «'étendre du 20 e au 60° degré de latitude, et qu'au veuille tracer les parallèles de 10 en 10 degrés.
On divisera CD quatre parties égales, sur le méridien A B, la hauteur à donner à la carte, et chacune de ces parties représentera 10 degrés de latitude. La longueur du degré étant ainsi filée, on s'en servira pour construire une échelle en milles géographiques ('). On tracera ensuite, par le point g qui occupe le milieu de la carte et correspond à 40 degrés de latitude, une droite CD perpendiculaire a AB. On cherchera, but la table du décro issement des degrés de longitude (p. 74), la longueur du degré à la hauteur de ce parallèle, et l'en trouvera 45,97 ; ce qui fait, pour 10 degrés, 459,7, qu'on prendra sur l'échelle et dont on portera la moitié a droite et à gauche du méridien principal , de g en h et de g en », Oa
(« ) Le mille géographique est de 00 au degré,
DES PROJECTIONS
SI
par des courbes qu'il subordonna aux divisions des degrés de longitude portés sur deux parallèles ab, cd (fig. 23), situées l'une au tiers, l'autre aux deux tiers de la hauteur de la carte. Cette projection, connue sous la dénomination de projection conique altérée, ou projection de Ptolémée , est celle qu'on emploie encore aujourd'hui de préférence pour les cartes d'Europe , d'Asie, etc.
D'autres modifications ont été apportées à la pro-
mènera également par le [teint m, à la hauteur du 50e parallèle, une droite £ F parallèle aC D.
La longueur du degré est, à cette latitude, de 38,87, ou de 385,7 pour 10 degrés , dont on portera la moitié de m en j et de ta en I. On tracera les diagonales i j, l h; puis, d'une longueur égale a ij , et du point g comme centre, on décrira un arc de cercle no, que l'on coupera par un autre arc q r décrit du point m avec un rayon égal à Ij.
L'intersection de ces deux arcs donnera le point p. On déterminera de même le point t an moyen de deui arcs décrits, l'un du point m avec un rayon égal à / h , l'autre du point g avec le rayon M.
La même méthode servira à tracer, entre les 40e et 50e parallèles, une suite de quadrilatère! a l'aide desquels ou obtiendra les points extrêmes lu du 40e parallèle a droite et à gauche de la carte. Enfin on fera passer, par ces denx pointa et par le point g, un arc de cercle auquel on subordonnera tous les parallèles.
jcction conique pure. Ainsi, le géomètre anglais Murdoch a proposé de substituer au cône tangent à la sphère un cone en partie inscrit, et tel que la portion de son aire comprise dans la carte fût équivalente à celle de la zone sphérique correspondante.
Quelques géographes , notamment l'astronome Del isle, ont adopté le cône en partie inscrit et circonscrit à la sphère (fig. 24). Soit abcd la zone qui doit être représentée par la carte, le cône coupera la sphère suivant les parallèles ef, g h, également distants chacundu parallèle moyen ij et des parallèles extrêmes ab , c d. Les mesures prises sur la carte, à la hauteur des parallèles ef, gh, seront donc équivalentes aux distances correspondantes sur le globe terrestre, et la dilatation des deux zones extrêmes de la carte se trouvera à peu près compensée par la contraction de la zone moyenne.
Projection de Lorgna.
Va savant italien , M. de Lorgna , a imaginé , vers la fin do dernier siècle , une projection par laquelle les régions du globe qui ont une égale étendue se trouvent représentées sur la carte par des espaces égaux (l).
Pour tracer, d'après cette méthode, la géographie
(1) Prineipj di geografla astronomico-geometrica. Ver one,
DES PR0JECTI0H5.
«l'on hémisphère , on le suppose partagé en demi-fuseaux par des plans qui se coupent tous sur son axe , et, du centre du grand cercle perpendiculaire à cet ase, on en décrit un autre dont Taire soit égale à celle de rhémi sphère même. Si c'est une projection polaire qu'il s'agit de construire (fig. 25) , l'axe de l'hémisphère représenté par le point G correspond au pôle. Les plans dont l'intersection a lieu sur cet axe sont ceux des méridiens, qui, par conséquent, se trouvent figurés dans la projection par les rayons du cercle dont le point C est le centre , et les angles des secteurs compris entre ces rayons sont égaux à ceux que forment entre eux les plans des méridiens. Les parallèles à Téquateur sont des cercles concentriques cl équidistants, formant avec les méridiens des quadrilatères rectangles comme sur le globe.
Les diverses contrées subissent donc peu d'altération dans leurs formes , et la méthode de Lorgna présente ainsi des avantages réels ; mais le tracé, si simple pour la projection polaire , devient beaucoup plus difficile lorsqu'on veut l'appliquer à des hémisphères terminés par l'horizon : car on ne peut alors obtenir les longitudes et les latitudes que par le calcul ou par des construclions assez compliquées. C'est là le principal inconvénient de cette projection , dont on a fait jusqu'à ce jour très-peu d'usage. Cependant,
S4 DJSDIIÉHE PARTIE.
comme l'a fait observer M. Lacroix dans sa notice sur la construction des cartes géographiques , les difficultés de la projection ne doivent jamais arrêter le géographe lorsqu'il en résulte des avantages dans l'usage journalier des cartes.
Nous ne noirs sommes occupe jusqu'ici que des cartes géographiques proprement dites; il nous reste à faire connailre les projections applicables aux cartes de détail qui embrassent une grande étendue.
Une carte topographique est facile à construire, si la portion de la surface du globe qu'elle représente est assez petite pour ne pas différer sensiblement d'une surface plane. On peut alors, sans qu'il en résulte aucune erreur notable, rapporter directement sur le papier les opérations exécutées sur le terrain; mais il n'en est plus ainsi dès qu'on entreprend de réunir les détails topographiques, de manière à en former un vaste ensemble, lorsqu'on veut, par exemple, dressera grande échelle la carte d'un royaume.
Projection de Cassini.
Le premier travail de ce genre qu'on ait exécuté, est la carte de France au % sloo , que César-François Cassini termina sous le règne de Louis XVI.
Cassini développa en ligne droite le méridien de
DES PROJECTIONS
Paris , puis il éleva sur ce méridien des perpendiculaires auxquelles il rapporta toutes les positions comprises dans sa carte , sans s'occuper de leurs longitudes et de leurs latitudes , qui turent déterminées plus tard par le calcul (i). Ce mode de projection permet de coordonner facilement les résultats des opérations topographiques , mais il n'est pas , comme on va le voir, tout-à-fait irréprochable.
En effet , les perpendiculaires à une méridienne que l'on élève sur le terrain, sont en réalité les traces d'autant de plans passant par le centre de la terre. Ces lignes vont se couper à 90 degrés de la méridienne sur laquelle on opère. Elles ne sont donc pas parallèles entre elles, comme Cassini l'a supposé dans sa projection. La même observation s'applique aux méridiens. Ainsi , les caries dressées suivant ce système présentent une dilatation d'autant plus grande , qu'on s'éloigne davantage de leur centre, et, dans les feuilles extrêmes de la carte de France de Cassini, cette dilatation est très-sensible.
Projection de Flamstectl.
Flamslced, astronome anglais du xvir 0 siècle, dans
(1) Voir le Traité analytique de» HouvevienU apparenlt dei Corpi ciltila, parDioxis du Séjour.
son Atlas céleste, et après lui plusieurs géographes, ont adopté un autre mode de projection (fig. 26) qui consiste à développer en ligne droite tous les parallèles pp', ainsi que le méridien Mm qui passe par le milieu de la carte; à rapporter ensuite sur chaque parallèle les degrés de longitude conformément à la loi de leur décaissement, c'est-à-dire proportionnellement au co-sinus des latitudes, en allant de l'équateur à l'un des pôles, et à faire passer des courbes mm' par ces différents points.
Cette projection jouit de deux propriétés très-importantes :
t" Toutes les distances mesurées parallèlement à l'équateur sont proportionnelles aux mesures correspondantes prises sur le globe; 2° les aires de tous les trapèzes mixlilignes formés entre deux parallèles par les méridiens , sont égales entre elles.
Mais, comme l'obliquité des méridiens augmente â mesure qu'on s'éloigne du milieu de la carte ,1a configuration des régions situées sur les bords est considérablement altérée.
Projection de Flamsleed modifiée.
Bonne , ingénieur hydrographe de la marine, a remédié à cet inconvénient en modifiant de la manière suivante la projection de Flamsleed.
DES PROJECTIONS. S7
Au lieu de développer les parallèles en ligne droite, il les a figurés par des cercles concentriques dont la courbure dépend de celle du parallèle qui passe par le milieu de la carte {fig. 27). Ce parallèle moyen a son centre sur le méridien rectiligne , et il est décrit d'un rayon égal à la co-tangente de sa latitude.
L'obliquité des méridiens se trouve ainsi diminuée sans que la projection perde les propriétés caractéristiques que nous avons énoncées tout-à-l'heure (1)-
C'est ce mode qui a été adopté pour la belle carte de France au Vsoom * dont l'exécution est confiée au dépôt général de la guerre. Dans cette carte, on a développé en ligne droite le méridien de Paris, et la courbure des parallèles à l'équateur a été subordonnée à celle du 45 e parallèle qui se trouve décrit d'un rayon c-gal à celui de la Terre ; car, ainsi qu'on le voit par la figure 28, la co-tangente AB de l'angle de 45 degrés JÏCD est égale au rayon DG.
Sur une carte à grande échelle, comme celle dont il s'agit, il est impossible de tracer les parallèles au compas ; on se contente de déterminer les points bb\ etc. {fig. 27), au moyen de leurs coordonnées rectangles ; c'est-à-dire de leurs distances au méridien
(1) Voir le Traité de Topographie, d'4mnl<"j° et de Aïvellement , de M. Pdissamt.
principal A C et à sa perpendiculaire DE, qui est tangente au parallèle moyen F B G. On rapproche ces points de manière que les portions d'arcs de cercle comprises enlre eux puissent être considérées comme des lignes droites. Plessis, ingénieur géographe , a calculé des tables donnant en mètres les coordonnées des points d'intersection des méridiens et des parallèles menés de décigrade en décigrade, pour toute la portion de la zône comprise entre le 30 e et le 70e grade de latitude , et entre deux méridiens formant un angle de 40 grades ou degrés décimaux Ces tables , eu quatre volumes in-folio , ont été adoptées pour la construction du canevas de la nouvelle carte de France.
La projection de Flamstced, telle qu'elle a été modifiée par Bonne, devra obtenir la préférence sur toutes les autres lorsqu'il s'agira de coordonner des détails lopographiques d'une grande étendue.
Les cartes marines sont assujéties à un mode de projection particulier et très-important, dont la description doit trouver ici sa place.
Lesrumbsde vent que suivent les marins, ont la propriété de former un même angle avec tous les méri-
(1J Voir la notice de M. Puissant relative à ces Tablei.
DES PROJECTIONS
diens qu'ils rencontrent. Par conséquent, si l'on essaie de les rapporter sur une carte où les méridiens soient représentés par des courbes , on obtient , au lieu d'une ligne droite, une sorte de spirale, à moins que leur direction ne coïncide avec celle d'un méridien ou d'un parallèle. Les cartes ordinaires ne peuvent donc être d'un usage commode pour la marine.
Projection de la carte plate.
Les navigateurs de l'antiquité se servaient de la car te plaie (fi g. 3), sur laquelle les méridiens et les parallèles étaient représentés parj des droites perpendiculaires entre elles.
Les degrés de latitude conservaient , ainsi qu'on l'a déjà vu , leurs dimensions réelles , tandis que les méridiens étaient espacés comme ils le sont sur le globe à la hauteur du36& parallèle.
La zône connue des anciens avait assez peu d'étendue en latitude pour qu'on pût , sans inconvénient , faire abstraction du décaissement des degrés de longitude, et ces caries furent employées tant que la navigation n'eut lieu que dans la Méditerranée.
Mais les découvertes qui suivirent l'invention de la boussole rendirent leur usage impraticable : car les directions des rumbs de vent, prolongées au-delà d'un certain terme , ne rencontraient plus sur la carte les
DEUXIÈME PABTIE.
mêmes points que sur la terre. Mercator obvia à cet inconvénient par l'invention des caries réduites (l).
Projection des cartes réduites.
Les méridiens elles parallèles sont représentés sur ces cartes (ftg. 29) par des droites perpendiculaires entre elles, de même que sur les cartes plates. Les méridiens sont équidistants et espacés comme sur l'équateur ; mais les distances comprises entre les parallèles croissent, en allant vers les pôles , dans un rapport inverse de celui du décaissement des degrés de longitude.
Il s'ensuit que deux mesures quelconques prises sur la carte, l'une dans le sens des méridiens, l'autre dans celui des parallèles, ont entre elles les mêmes rapports que sur le globe. On conçoit seulement que les pôles ne peuvent être compris dans la carte , puisque les lignés parallèles qui iigurent les méridiens ne se rencontrent qu'à l'inCni.
La construction des cartes réduites ne présente d'autre difficulté que la détermination des longueurs à
(1) Les Anglais attribuent «lia projection a Edward Wright, qui en développa la théorie dans un ouvrage publié à Londres en 1399; mais la carie de Mercator avait paru 50 ans auparavant.
DES PROJECTIONS
donner aux divisions des méridiens ; mais on a calculé, à cet effet, des tables connues sous le nom de tables des latitudes croissantes, qui donnent ces divisions, même en tenant compte de l'aplatissement des pôles (1).
Cette projection permet aux marins de figurer les routes qu'ils parcourent par des lignes droites, et c'est la seule que l'on emploie pour la construction des cartes hydrographiques.
L'usage de ces cartes est extrêmement simple. Supposons , par exemple , qu'un navire parti du point A ait suivi , pendant un temps donné , un rumb de vent TV, et qu'il s'agisse de rapporter sur la carte Je point du globe où est arrivé ce navire. On mène du point A une parallèle àW, et, comme la distance parcourue a été mesurée au moyen du loch , on la rapporte sur cette parallèle , d'après l'échelle des longitudes qui est au bas de la carte.
Soit A A' cette distance. A* n'est pas le point d'arrivée du navire, puisque, sur les cartes réduites, les distances croissent dans le sens des degrés de latitude, mais il sert à déterminer ce point. On trace pour cela les deux droites AB, A'B parallèles , la première à la
(1) Le» labiés de Mendoza sont celles dont on fail usage au dépôt général de la marine.
Cartel géographique!. 6
63 ntuxiKMn PAfiTtfi. TAttfe
ligne nord et sud , la seconde à la ligne est et ouest, et
se coupant au point B.
La distance AB, appliquée sur l'échelle dés longitudes , donne le nombre de degrés et de minutes de la différence en latitude du point de départ A au point d'arrivée A '. On prend alors , sur l'échelle des latitudes, ce même nombre de degrés et de minutes, que l'on porte de A en C ; on mène , à partir du point C , une parallèle à B A', et le point A" résultant de l'intersection de cette parallèle avec le prolongement de I la direction A A', est le point d'arrivée du navire.
Nous avons décrit succinctement les principales projections employées par les géographes, et nous pensons que ces notions élémentaires pourront suffire à la plupart des personnes qui s'occupent de la construction des cartes.
Nous terminerons donc ici cette notice, laissant à ceux qui désirent approfondir davantage la théorie des projections , le soin de consulter les ouvrages des savants qui ont écrit sur cette matière.
M DÉCBOISSBMENT DBS DEGRÉS DE LOXGIXEM. 65
TABLE
Du décaissement des degrés de longitude, graduation ancienne, la terre étant supposée sphétique.
