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cercle et la droite AM ? et dirigé dans le sens OM. Le lieu des points P qu'on obtient ainsi est la courbe désignée sous le nom de cissoïde de Diodes.

En représentant par p le segment OP et par l'angle POC, on voit, au moyen de la relation OP == OM — ON, que l'équation polaire de la cissoïde est

■ 2acos 6 =

2a sin 2 Ô cos# " cos

et que son équation cartésienne est

VOL. IV

2. Parmi les problèmes célèbres dans l'histoire de la Géométrie dont les anciens géomètres se sont occupés, figure celui qui a pour but de trouver deux moyennes proportionnelles entre deux segments de droite donnés, et qui est désigné quelquefois sous le nom de problème de Délos, parce qu'il contient celui de la duplication du cube et ce dernier est attribué par une légende à un oracle qui aurait demandé la construction dans l'île de Délos d'un autel de forme cubique et de volume double du volume d'un autre, de la même forme, qui existait dans cette île; et, parmi les méthodes inventées par les géomètres de l'ancienne Grèce pour le résoudre, il en existe une, attribuée à Dioclès par Eutocius (Archimedis Opéra omnia cum comment ariis Eutocii, éd. Heiberg, Lipsiae, 1880-1881, t. in, p. 78 et 152), le commentateur d'Archimède, dans laquelle on emploie la courbe que nous venons de définir, sans lui donner de nom. Dans les ouvrages de Pappus et de Proclus on désigne sous le nom de cissoïde (lierre) une courbe que ces géomètres ne caractérisent pas assez pour qu'on puisse assurer qu'il s'agit de la courbe employée par Dioclès, dont ils ne font pas mention. Mais cependant, comme la forme de la partie de cette dernière courbe qui existe à l'intérieur du cercle OAN est d'accord avec la signification du mot employé par ces géomètres pour désigner la courbe qu'ils considèrent, on a cru probable que la courbe de Dioclès coïncide avec celle-là, et on lui a donné pour cela le nom de cissoïde.

Depuis le milieu du XVII e siècle jusqu'aux temps actuels la cissoïde a été étudiée plusieurs fois ; surtout dans l'intervalle de 1650 à 1700, dans lequel elle fut considérée par quelques-uns des géomètres les plus célèbres de cette époque, qui ont naturellement emprunté à la Géométrie des grecs des exemples pour appliquer les méthodes générales qu'ils ont inventées. Alors la théorie de cette courbe fut enrichie d'importantes propositions: ainsi, Sluse considéra pour la première fois la partie de la courbe extérieure au cercle OAN, remarqua qu'elle avait une asymptote, et détermina l'expression du volume du solide qui résulte de sa révolution autour de cette asymptote, dans deux lettres écrites à Huygens le 4 et le 14 mars 1658 (Oeuvres complètes de Huygens, t. il, p. 144 et 151); Huygens (1. c, p. 164, 170 et 178) donna l'expression de l'aire comprise entre la même courbe et son asymptote, celle du volume du solide que ce segment plan engendre quand il tourne autour de OY, etc., comme on le verra plus loin, expressions qui furent communiquées par ce grand géomètre à Sluse dans deux lettres du 5 avril et du 28 mai 1658, et à Wallis dans une lettre du 6 septembre de la même année; Wallis (1. c, p. 296) donna de nouvelles démonstrations des résultats obtenus antérieurement par Sluse et Huygens, au moyen des méthodes analytiques de son Arithmetica infinitorum, dans une lettre écrite à Huygens le 1 janvier 1659, publiée dans la même année dans son Tractatus duo (Opéra mathematica, Oxoniae, 1695, t. i, p. 545-550). La cissuïde a été également considérée par Fermât, qui a retrouvé l'expression de l'aire comprise entre la courbe et l'asymptote (Oeuvres, t. m, p. 248) et a déterminé ses tangentes (Oeuvres, t. ni, p. 141); par Roberval (Mémoires de V Académie des Sciences de Paris, L730, t. vi, p. 67), qui lui a appliqué aussi sa méthode des tangentes; par Newton, qui a indiqué un procédé mécanique pour la tracer (Arithmetica Universalis, t. II, p. 83 de la traduction de Beaudeux, Paris, 1802) et qui a donné une règle pour déterminer la longueur de ses arcs; etc.

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On détermine aisément la forme de la cissoïde au moyen d'une des équations écrites ci-dessus. On voit: qu'elle est symétrique (fig. 1) par rapport à Taxe des abscisses et tangente à cet axe à l'origine des coordonnées, où elle a un rebrous sèment; qu'elle s'éloigne indéfiniment du même axe, quand x croît depuis jusqu'à 2a; qu'elle coupe en deux points les parallèles a OY comprises entre cette droite et la droite AM, dont l'équation est x = 2a, et que ne coupe pas les autres parallèles à OY; et que AM en est une asymptote. On en conclut aussi que le cercle ONA coupe la cissoïde en deux points E et F dont l'abscisse est OC.