Puisque (fig. 1) p = OM — ON, nous avons
d ? d.OM d.ON ~dd ~~ ~~d0 W '
Le premier membre de cette égalité représente la sous-normale polaire de la cissoïde en P ; et les deux termes du second membre représentent, respectivement, le premier la sous-normale polaire de la droite AM en M, et le second la sous-normale polaire du cercle ONA en N. Donc, pour construire la sous-normale de la cissoïde en P, il suffit de mener par M une droite MS, perpendiculaire à AM, par le centre du cercle et par le point N la droite NC, qui coupe le cercle en T ? et par T la droite OT. Le segment OS est la sous-normale de la droite AM en M, et OT est la sous-normale du cercle en N ; le segment OT', déterminé par l'égalité OT' = OS + OT, est donc la sous-normale de la cissoïde en P. Nous avons ainsi une manière simple de construire la normale T ; P.
5. La tangente en P à la cissoïde coupe la droite AM à un autre point M ; ; dont l'ordonnée y\ est donnée par l'équation
sm^
ou, en vertu des relations x = o cos 6 = 2a sin 2 6 et y — 2a ?
7 v J cos 6
y { = 3a tang 6,
d'où l'on déduit une méthode très simple pour tracer cette tangente, en remarquant qu'on a
CK = atang0.
Au moyen de l'équation du cercle ONA, p = 2a cos 0, on trouve de même, en repré-
sentant par y% l'ordonnée du point M", où sa tangente en N coupe la droite AM,
y% = a tang 6.
La droite OP coupe aussi AM à un autre point M, dont l'ordonnée 2/3 a pour expression
yz = 2a tang 6.
Donc, le point où le vecteur OP du point P de la cissoïde coupe l'asymptote est êquidistant des deux autres points où cette asymptote est coupée par les tangentes PM7 et NM ;/ à la cissoïde et au cercle aux points d'intersection de OP avec ces deux courues (Longchamps : Association française, Congrès de Grenoble, 1885).
De cette propriété de la cissoïde il résulte une autre manière de construire ses tangentes.
6. Nous allons maintenant déterminer les tangentes à la cissoïde passant par un point donné (a, fi).
Les points de contact des tangentes demandées avec la courbe coïncident avec les points d'intersection de la cissoïde avec la polaire du point (ce, J3), représentée par l'équation
(1) a (3^ 2 + f) + 2$y (x — 2a) — 2atf = 0,
et l'on voit, par conséquent, que les trois droites représentées par l'équation
(2) (a - 2a) y* + 3a yx% - 2|fo 3 = 0,
qui résulte de l'élimination de x — 2a entre l'équation précédente et celle de la cissoïde, passent par le point double de cette courbe et par les trois points de contact des tangentes demandées.
D'un autre côté, ces trois points déterminent un cercle, et, pour trouver son équation, il suffit de multiplier le premier membre de (1) par 3a?/-)-2(te, le premier membre de l'équation
de la cissoïde par 6a|3, d'additionner ensuite les équations obtenues, membre à membre, ce qui donne
(9a 2 -f 4P 2 ) ce 2 + 3a (a - 2a) y% + 2$ (a - 2a) xy - 8a|B 2 x = 0,
et de remplacer enfin y % par la valeur 2a donnée par l'équation (3). On trouve ainsi l'équation
(4) 3 a ( a 2a) (,x 2 + + 4pa (a - 2a) y + 18a A + 8|B 2 a (a - 2a) = 0.
Le cercle représenté par cette équation coupe la cissoïde en quatre points, et, en
remplaçant dans le premier et dans le dernier terme x l -\-y^ et x — 2a par les valeurs
e ^ — ^r? °i u i résultent de (3), on obtient l'équation
(3ay + 2[ix) [{a — 2a)if + 3ayx% — 2|^ 3 ] = 0,
qui représente quatre droites, dont trois coïncident avec les droites définies par (2), et passent par conséquent par les points de contact des tangentes demandées, et une, représentée par l'équation
(5) 3«# + 2psc = 0,
passe par le quatrième point.
Mais, si l'on remplace dans l'équation (4) x^-\-y^ et x — 2a par les valeurs 2ax et
y i > Mf
— données par 1 équation
(6) a? 2 + y^ — 2aa? = x(x — 2a) + y 2 = 0,
qui représente le cercle qui figure dans la définition de la cissoïde donnée au n.° 1, on trouve la suivante :
[2[fy + 3ax] [Py + (a - 2a) x] = 0,
au moyen de laquelle on voit que ce cercle coupe le cercle représenté par (4) en deux points placés sur les droites
(7) 2[fy + Socx = 0, $y + (a~-2x)x = 0.
Il résulte de ce qui précède que, pour résoudre le problème proposée, il suffit de chercher le point où la droite (5) coupe la cissoïde et les points où les droites (7) coupent le cercle OAN (fig. 1), et ensuite le cercle qui passe par ces trois points. Ce cercle détermine, par son intersection avec la cissoïde, les points de contact des tangentes demandées.
Cette méthode remarquable pour déterminer les tangentes à la cissoïde qui passent par un point donné, est due à J. Walker, qui l'a publiée dans les Proceeclings of the London Mathematical Society (t. il, p. 161).
7. On obtient aisément, au moyen de l'équation polaire de la courbe, l'expression sui~ ante de son rayon de courbure:
asin0(l+3cos 2 0) ¥ N 3
R = ^ ^ = — ^ cot 2 0,
3 cos 4 24a 2 ;
dans laquelle N représente la longueur de la normale. La première expression de R montre que la cissoïde n'a pas de points d'inflexion à distance finie; mais elle en a un à l'infini.
8, L'aire comprise entre la cissoïde, l'axe des abscisses et une parallèle à l'axe des ordonées, menée par le point (se, ?/), est donnée par la formule
A^f\/ZZZ dXj a i (*+ 3 «) fW=^ ) + 3 arc t JZKZ ,
J V 2a — a? ? L 2a â ^ 6 V 2a — ccj
ou ; en représentant par Y l'ordonnée du point N et en tenant compte de la relation Y=\/x (2a—x) 7
ii 1
A = 3a 2 arc tans: — — (x + 3a ) Y .
Le premier terme de cette égalité est égal au triple de l'aire a du secteur circulaire NCA, et, par conséquent, au triple de la somme de l'aire du segment du cercle considéré compris entre l'arc AN et sa corde et de l'aire du triangle CNA. On a donc la relation
A = 3a — — xY = 3a — (2a — se) y,
qui indique que Vaire A est égale à la différence entre le triple de l'aire du segment compris entre l'arc AN et sa corde et Vaire du triangle dont les sommets sont A, P et le pied de la perpendiculaire abaissée de I*„sur OA.
Le théorème qu'on vient de démontrer a été découvert par Huygens (Oeuvres, t. n, p. 170-172). On en déduit les corollaires suivants, qu'il convient de remarquer:
1° En posant x = 2a, on trouve
2A=37ia § .
Donc, la valeur de Vaire comprise entre la cissoïde et son asymptote est égale à trois fois Vaire du cercle de rayon a (Huygens: 1. c, p. 164, 170, 178).
2.° En posant a? = a, on voit que l'aire comprise entre Tare OE de la cissoïde et les
droites 00 et CE est égale à — rca 2 — 2a 2 . Donc l'aire comprise entre cet arc de la courbe et Tare OE de la circonférence est égale à 2a? \- ira 2 , et, par conséquent, au double de
l'aire comprise entre l'arc considéré de la circonférence et ses tangentes aux points et E (Huygens: 1. c, p. 212).
9, La rectification de l'arc OP de la cissoïde peut être obtenue au moyen des fonctions élémentaires. En effet, on a
7 2asin# , - lf
ch = — - \/\ + 3 cos 2 6 dd ;
et, par suite, la longueur de l'arc OP peut être calculée par la formule
l/l+3cos 2 0. n l/3oose + l/l + 3cos 2 — 2— v olog
À cette expression de s on peut donner encore la forme géométrique qu'on va voir. Considérons une hyperbole dont l'axe réel soit égal à 2a et dont le paramètre soit égal ,4
à — a. En prenant ses axes pour axes des coordonnées, l'équation, de cette courbe est o
et la valeur de l'aire comprise entre cette hyperbole, l'axe des abscisses et les droites parallèles à l'axe des ordonnées menées par les points dont les abscisses sont égales à 2a et 2a cos 0, est donnée par la formule
où a = 2a cos 0, ou, par conséquent,
A = - a 2 y 31o£ 7= — 2a 2 cos 01/1 + 3 cos 2 + Aa À .
Mais, d'un autre côté, on a, en représentant par t\ et ^2 les aires des triangles rectangles formés par les tangentes à Fhyperbole aux points correspondants aux abscisses 2a et 2a cos 0, par les ordonnées de ces points et par l'axe des abscisses,
% , 2 a (l + 3co 8 « fl)'
cos 6
Donc
A — ti + h
t/31og
cos^ (7
t/l+3cos 2 e 4 3 cos ^
et, par conséquent.
L'arc OP de la cissoïde est donc égal au côté d'un carré dont l'aire est égale à A — ii -f- h
et dont l'autre côté est égal à a.
Le résultat qu'on vient d'obtenir a été énoncé par Newton dans une lettre adressée à Oldenbourg le 24 octobre 1676, publiée dans le t. ni des Oeuvres de Wallis. On peut voir l'analyse au moyen de laquelle il l'a obtenue dans l'ouvrage Methodus fluxionum et serierum? traduit en anglais et publiée en 1779 par J. Colson.
lO. Voici une conséquence de l'égalité (8) qu'il convient de remarquer. En développant en série le premier terme, on trouve
r Académie des Sciences de S. Petersbourg , 1824).
II. Le volume du solide engendré par l'aire comprise entre l'arc OP de la cisso'ïde ? l'axe OA, la parallèle à cet axe menée par P et l'asymptote, lorsque cette courbe tourne autour de l'asymptote, peut être calculé par la formule
lira (s - p) = 2a [Y 3 log (2 + t/3) - 2].
Cette égalité indique que la différence entre la longueur de Varc OP de la cissoïde et de la corde OP tend vers une limite déterminée quand P tend vers Vinjlni (Fuss : Mémoires de
Y-- / (2a-xfd,y = % y[2a~xf+2 / y(2a-x)dx
Pour déterminer, en particulier, le volume Vi du solide engendré par la bande infinie comprise entre la cissoïde et son asymptote, quand la courbe tourne autour de cette droite, on doit faire x=2a et multiplier le résultat par 2, ce qui donne
Vi = 4tt / - v -4 dx, J yx (2a — x)
ou, en posant x = at~\- a,
On voit donc que le volume Vj est égal au volume du tore engendré par le cercle employé dans le n.° 1 pour définir la cissoïde, en le faisant tourner autour de l'asymptote.
Ce. résultat a été découvert par Sluse, qui Ta communiqué à Huygens en 1658 (Oeuvres de Huygens, t. il, p. 144 e 151). C'est le premier exemple qu'on a trouvé d'un solide illimité ayant un volume fini. On peut voir clans le Mathesis (1886, p. 241 et 273) une généralisation du théorème de Sluse, due à Massau.
Un autre problème sur la cissoïde analogue à celui qu'on vient de résoudre a été considéré par Huygens (Oeuvres, t. n, p. 164), qui a déterminé le volume VI du solide engendré par l'aire comprise entre la courbe et l'asymptote quand cette courbe tourne autour de OY.
Remarquons d'abord que le volume V du solide engendré par l'aire comprise entre l'arc OP de la cissoïde, la droite OY et la parallèle à OA qui passe par P, est donné par la formule
ce 2 dy = 7i
yx  ~
yx dx
yx*
c 3 dx
et que, par conséquent, le volume Y" du solide engendré par l'aire limitée par l'arc OP, par l'axe des abscisses et par l'ordonnée menée par le point P, en tournant autour de la même droite OY, est donné par la formule
Donc on a
ou, en posant x = at-\~a,
c 3 dx
i = 4% / - J yx (2a — x)
VOL. IV
12. Pour terminer ce que nous avons à dire sur la cissoïde de DiocleSj, nous allons indiquer comment les anciens géomètres résolvaient, au moyen de cette courbe, le problème de Dêlos, c'est-à-dire le problème qui a pour but de déterminer deux segments de droite a et p tels qu'on ait
a et b étant deux autres segments donnés.
On décrit, pour cela, le cercle de rayon CO, égal à a, et la cissoïde correspondante (fig. 1); on mène ensuite une droite AP, qui coupe la parallèle CE à Taxe des ordonnées dans un point D tel que CD soit égal à 5; et on trace enfin par le point P, où AD coupe la courbe, la droite OP.
Nous aurons ; en posant KC = p,
FK = a + p, KE = a — p,
et, par suite,
OK.KN = FK.KE = a 2 — fA
Mais, en appliquant le théorème de Menelaiis à la transversale PDA du triangle OKC ? on trouve
PK.DC.OA OP.DK.AC ~~ 7
ou, puisque A = 2a et CD = b ? et puisque de la définition de la courbe résulte la relation PK = KN,
25 KN
(0K — KN)(,3-i) ~ '
En éliminant de cette équation KN et OK au moyen des équations
OK.KN = a 2 - p 2 , OK 2 = a 2 + p 2 ,
il vient
Il résulte de ce qui précède que, si ci et b sont deux segments de droite donnés, on peut déterminer, au moyen de la cissoïde, le segment p qui représente la racine réelle de l'équation qu'on vient d'écrire. Or, ce segment et le segment correspondant a, déterminé par l'équation
[3 2 = a2, sont les deux moyennes proportionnelles à a et b demandées, puisque cette équation et ia précédente donnent
ou
La méthode pour résoudre le problème délien qui résulte de l'analyse précédente, coïncide avec celle qui a été donnée par Pappus clans ses Collections mathématiques (liv. m, prop. x) 5 et ne diffère pas essentiellement de la méthode attribuée par Eutocius (1. c.) à Dioclès ; que Pappus ne connaissait pas, puisqu'il a présenté sa solution comme une invention propre (liv. in, prop. v)o Nous ajouterons encore que Pappus n'a pas fait une mention explicite de la courbe qui intervient dans sa solution; et que, au contraire, Eutocius a indiqué explicitement cette courbe, sans lui donner de nom, et l'a définie comme lieu du point P ? déterminé par la droite variable OP, qui tourne autour de 0, et par une parallèle à CE, telle que l'arc de la circonférence compris entre cette dernière droite et CE soit égal à EN.
13. Prenons, comme dans le n»° 1, un cercle OA A (fig. 2J dont le centre soit C,
, un point sur sa circonférence et une tangente AM
qui coupe OA obliquement; sur chacune des droites ON qui passent par 0, prenons ensuite un segment OP, égal à NM. Le lieu des points P qu'on obtient ainsi est la courbe appelée cissoïcle oblique. Quand coïncide avec A , on a la cissoïde de Diodes, nommée aussi cissoïde droite.
En représentant par a l'angle constant AOC, par l'angle MO A, par p le segment OP et par 2a le diamètre du cercle, on a
ON = 2a cos (a -
OP-OM-ON, OM cos a
OA = 2a cos a :
cos (6— a)
h OA
et, par conséquent, l'équation polaire des cissoïdes est
Fig. 2
