Si l'on pose dans l'équation

V = (1 - A 2 ) (x 2 + tf) + 2ah?x + F - a *h* 9 U = x^ + y*,

cette équation prend la forme

et on voit que la courbe qu'elle représente est l'enveloppe du système de cercles correspondants à l'équation

où t est le paramètre arbitraire ; ces cercles ont le centre sur l'axe de la courbe.

246* Chacune des droites imaginaires correspondantes à l'équation y = + ix rencontre la courbe (3) en deux points situés à l'infini et en deux points coïncidentes, dont les abscisses sont déterminées par l'équation

(2aA 3 œ + ft« — a 2 A a ) J =:0;

ces droites sont donc tangentes à la courbe considérée, et cette courbe a par suite un foyer ordinaire au point 0. Comme on peut prendre pour origine des coordonnées les points ! ou 0" et la forme de l'équation (3) ne varie pas avec cette transformation, on voit que les pôles 0' et 0'' sont aussi des foyers ordinaires de la courbe. Nous pouvons ajouter que la courbe n'a pas d'autres foyers ordinaires réels. On démontrera, en effet, plus loin, comme conséquence d'un théorème applicable à la classe de courbes nommées quartiques hicirculaires, classe qui contient les ovales de Descartes, que ces ovales possèdent 9 foyers ordinaires, dont 3 sont réels et 6 imaginaires. Ces derniers points sont déterminés par l'intersection des

tangentes imaginaires

y = ix, y = i (x — a), y = i(x — ai),

qui passent par les foyers réels, avec ces autres :

y = — ix, y = — i (x — a) , y = — i(x — ai).

Nous ajouterons encore à ce qui précède que la courbe considérée a un foyer singulier réel, déterminé par l'intersection des asymptotes; les coordonnées de ce point sont

x = wzrv y===0 '

247. En posant dans l'équation (3) œ = r cos y = r sin on voit que l'équation polaire de la courbe qu'elle représente est

(7) (1 - A 2 ) r 2 + 2 (a/z 2 cos - h) r + F - a% 2 = 0.

On obtient au moyen de cette équation quelques propriétés remarquables des ovales de Descartes, comme on va le voir.

l.° En représentant par r\ et r% les valeurs du vecteur r qui correspondent à chaque valeur de 6 et par p le vecteur du milieu de la corde qui joint les points que ces vecteurs déterminent, on a d'abord