tih

laquelle exprime que la tangente trigonométrique de l'angle formé avec l'axe des abscisses par les vecteurs des points où t prend les valeur t{ et t% est égale à une constante m ? on trouve, au moyen d'un calcul que nous ne reproduirons pas ici, l'équation suivante:

2m (m 2 - 3) (a 2 — p 2 ) + 4 (1 — 3m 2 ) ap + ma (3 - 5w 2 ) a + (9m 9 - + 1) ap + 2aV = 0,

qui représente une hyperbole équilatére.

En divisant le premier membre de cette équation par m 3 et en posant ensuite w = oo, on retrouve le théorème précédent.

3. ° Le lieu des positions du point d'où l'on peut mener à une cardioïde trois tangentes telles que les vecteurs des points de contact forment avec l'axe de la courbe des angles dont la somme soit constante } à multiples de 2% près, est une droite.

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On a, en effet, en représentant ces angles par 6{, 6-2 et 63,

tang (6l + * + e 3) = T ihh+tltt + t ^ = -gp- •

Par conséquent la condition pour que la somme 61 + 62 + 63 soit constante, c'est que (a, ,3) soit un point de la droite représentée par l'équation

237. Les normales à la cardioïde jouissent, comme les tangentes, de propriétés intéressantes; nous indiquerons celles-ci, sans nous arrêter à leur démonstration:

1. ° (7 est condition nécessaire et suffisante pour que les pieds des normales menées d'un point à la cardioïde soient situés sur une même droite ? que ce point coïncide arec un point de la circonférence du cercle représenté par V équation

(3a; + a)« + y» = -Ia*.

2. ° Les normales à la cardioïde aux extrémités d'une corde quelconque passant par le point de rebroussement sont perpendiculaires Vune à Vautre et rencontrent à un même point

le cercle de rayon égal à a ayant pour centre le point (o, — aj •

On peut voir d'autres propriétés intéressantes des tangentes et des normales à la cardioïde dans une Note de Laguerre insérée aux Nouvelles Annales de Mathématiques (1875) et réproduite dans tome 11, p. 480, de ses Oeuvres.

238* La développée de la cardioïde est une autre cardioïde ayant un paramètre égal au tiers de celui de la première.

En effet, en partant des équations

x = a{\+ cos 6) cos 0, y = a (1 + cos 6) sin 6,

on trouve, en représentant par xi et yi les coordonnées du centre de courbure et par x 1 \ x" \ y, y" les dérivées de x et y par rapport à 0,

^ = ^ + 41^^ == ^[ 2 + cosô(l-cos9)] ?

yx" — x'y" à

VOL. IV CC

ou, en transportant l'origine des coordonnées au point I — ci, 0) et en remplaçant 6 par 6-{-% y

Xi = — ~ (1 -j- cos 0) cos 6, yï— — %- (1 + cos 6) sin d.

Or, ces équations représentent une cardioïde ayant le point double sur la droite OA (fig. 46),

à une distance de égale à 9 a, et le sommet au point 0.

239. La cardioïde est l'unique limaçon de Pascal dont la rectification ne dépend pas des intégrales elliptiques. On a, en effet,

f = 2a Ç\J 1 - sin 2 ~ 6 dO - 4ta sin ~ 0,

d'où il résulte que la longueur totale de la courbe est égale à 8a.

Les orales de Dcseartcs.

240. Soient r et r' les distances d'un point variable M à deux pôles fixes et 0' (fi g. 47),

et supposons que ces distances soient liées par la relation

r±hr f ^=±k,

Fig. 47

h et k étant deux quantités constantes. Le lieu décrit par M, quand r et r 1 varient, est une courbe composée X d'un ou deux ovales, comme on le verra bientôt, désignés par le nom à' ovales de Descartes, parcequ'ils ont été rencontrés par ce grand géomètre quand il cherchait la solution du problème d'Optique qui a pour but de déterminer la forme que doit avoir la surface de séparation de deux milieux transparents, de densité différente, pour que les rayons émis par un point lumineux, situé à l'un de ces milieux, et réfractés dans la passage à l'autre, vont se rencontrer à un point fixe. Ce problème a été résolu par Descartes dans sa Dioptrica, et l'étude géométrique de la courbe dont il dépend a été faite plus tard par le même auteur dans le livre il de sa célèbre Géométrie, publiée en 1637.

Le problème d'Optique qu'on vient de mentionner fut étudié aussi par Roberval dans un Mémoire intitulé: De resolutione aequationum, publié pour la première fois en 1693 et réproduit en 1730, après la mort de l'auteur, dans le tome vi, p. 157, des Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris. Il est probable que les recherches de cet illustre géomètre sur ce sujet soient antérieures à publication des résultats de celles de Descartes, puisque Roberval ne fait pas mention dans son Mémoire du nom du grand philosophe, et il affirme même explicitement que les courbes étudiées dans son travail n'avaient pas encore été considérées.

Les courbes définies par l'équation (1) ont attiré aussi l'attention de Newton, qui leur a consacré la proposition cxvn du livre I des Principia mathematica, où il a donné un mode remarquable de les engendrer.

L'étude des mêmes ovales fut reprise au XIX e siècle par Quetelet et Chasles, qui en ont trouvé les premières propriétés et ont donné de nouveaux modes de les décrire ; en outre, Sturm et le premier des géomètres mentionnés ont rencontré ces courbes dans une question d'Optique différente du problème de Descartes rapporté ci-dessus, laquelle sera considérée plus loin.

Ces premiers travaux sur les courbes de Descartes, connues aussi par le nom de courbes aplanétiques , employé par J. Herschel, ont été suivis de plusieurs autres, ou spécialement consacrés à ces courbes ou consacrés à des classes de courbes où elles sont comprises comme cas particulier; Liguine en a donné un liste dans le Bulletin des Sciences mathématiques (2. e série, t. vl, 1882, p. 40) et plus tard M. Brocard a présenté une autre dans Y Intermédiaire des mathématiciens (t. m, 1896, p. 238).

24ie Pour obtenir l'équation cartésienne de la courbe qu'on vient de définir, prenons pour origine des coordonnées le pôle et pour axe des abscisses la droite 00' ; on a alors, en désignant par a la distance 00',

r * = œ * + y ^ r^ = (x~-af + y\

d'où il résulte

r h2 = r^ — 2ax + a^ J et par suite, en tenant compte de l'équation (1),

(2) (1 - r 2 + 2h^ax + aVi% = ± 2kr, et enfin, en remplaçant r par sa valeur,

(3) [( 1 - W) (x^ + ?/) + 2ah*x + Ifi - aWf = 4& 2 (a 2 + y*).

Il résulte immédiatement de l'équation (2) que les points des ovales de Descartes coïncident avec les points d'intersection des cercle de rayon variable r, ayant le centre au point 0,

avec les parallèles à Taxe des ordonnées, correspondantes à la même valeur de r } déterminées par l'équation (2).

On peut- faire ici une remarque dont nous profiterons bientôt. On peut déduire des formules rapportées à l'origine celles qui ont lieu quand on transporte cette origine au

pôle 0' ; en remplaçant dans les premières h par -jr- et k par ~ •

Les limaçons de Pascal à noeud et à point isolé sont compris, comme cas particulier, entre les ovales de Descartes. On a vu, en effet, au n.° 223 que ces limaçons peuvent être représentés par une équation bipolaire de la forme (1); le point double coïncide alors avec ou 0'. En comparant l'équation (3) à l'équation cartésienne du limaçon, on voit que l'équation (1) représente un limaçon avec le point double à quand 7£ 2 =a 2 7z 2 ; on obtient la condition pour que cette équation représente un limaçon avec le point double à 0' en remplaçant

dans celle-là h par — - et k par — . ce qui donne k = a.

242. Voyons maintenant si la courbe définie par l'équation (1) peut être représentée par une autre équation de la même forme, rapportée à l'un des pôles ou 0' et à un nouveau, pôle /; . Pour résoudre cette question, remarquons d'abord: que, si un tel pôle existe, il doit être situé évidemment sur la droite 00' ; que les coefficients h{ et k[ de l'équation correspondante

et la distance a\ de O 11 à doivent satisfaire à l'équation

(1 - h\) + 2ai h\x + \\ - a]hî = ± 2hr;

et enfin que cette équation doit coïncider avec l'équation (2). Les conditions pour que le pôle 0" existe sont donc

ah^ a\li\ k- — a-h 2 &f — a] h] k ki

En éliminant de la deuxième équation k\ et a\ au moyen de la première et de la troisième, on obtient cette autre :

m\ - (a 2 + k-, hVi\ + aVi* = 0, d'où résultent por h[ les valeurs

lii = + h, h\ = + • Aux deux premières valeurs de h\ ne correspondent pas de pôles différents de 0', puisque

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les valeurs qu'alors prennent ki et ai sont k et a; mais aux deux autres correspondent les valeurs suivantes de a\ et k\ :

Jc*—a*h* 7 , tf — aïK 2 a\ = — — - — ? ki = ±-

Donc, la courbe définie par l'équation bipolaire (1) peut être représentée encore par cette autre :

ah ,, , k % — a?h 2

rapportée au pôle et à un nouveau pôle ;/ , dont la distance à est égale à en.

Remarquons encore que des équations (1) et (1/) il résulte, par l'élimination de r, une relation linéaire entre r' et r".

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, dû à Chasles (Aperçu historique, 1837, Note xxi):

La courbe représentée par V équation (3) peut être définie de trois manières différentes comme lieu des points dont les distances à deux pôles fixes sont liées par une relation linéaire.

On doit remarquer que le pôle ;/ coïncide avec ou 0' dans le cas où l'équation (3) représente un limaçon.

Il est à remarquer encore que, pour passer des formules qui ont lieu quand on prend le pôle pour origine des coordonnées cartésiennes à celles qui les doivent remplacer quand on transporte cette origine au pôle 7/ , on doit substituer dans les premières à A, k et a les valeurs.

k k* — a?fê aVi^ — lâ ^ ' ~âh' ah (1 — h' 2 ) ' «7T=P)'

243. Pour déterminer la forme de la courbe représentée par l'équation (3), nous allons résoudre d'abord quelques questions préliminaires.

l.° Cherchons en premier lieu les points où la courbe rencontre l'axe des abscisses. En faisant pour cela y = dans l'équation (3), on trouve celle-ci:

(1 - h 2 ) x 2 -j 2ah 2 x + h* 2 - fl»i« = ± 2fec, qui donne, en prenant dans le deuxième membre le signe supérieur,

(k±ah)(l+h) k±ah

x ~ ïzzw - l + h '

et, en prenant le signe inférieur,

La courbe cou e donc Taxe 00' en quatre points réels, dont les abscisses sont

k + ah — k + ah

Deux de ces points coïncident quand h 2 = l } ou & 2 = a 2 , ou k° 2 = a?h?, c'est-à-dire quand l'équation (3) représente un système de deux coniques homofocales ou un limaçon; dans les autres cas ils sont tous distincts.

2.° Cherchons, en deuxième lieu, les points multiples de la courbe considérée.

Pour cela, déterminons les valeurs de x et y qui vérifient l'équation (3) et celles-ci:

[(1 j«) (a .J -f y î) + 2ah*x + k* - a*h*] [(1 -h*)x + àh*\ = 2Jc*x, [(1 - A 2 ) (œ* + if) + 2aA 2 ;c + W - a*h*] (1 - W) y = 2&fy

Or, la dernière équation se décompose dans ces deux autres:

y = 0, (1 - h 2 ) (x^ + -f 2a/z 2 .£ -h ft« - aVi* = '

dont la deuxième est incompatible avec la première de celles-là. Donc, si la courbe représentée par l'équation (3) a d^s points doubles à distance finie, ils doivent être placés sur l'axe 00', et elle est alors un limaçon.

Voyons maintenant si la courbe considérée a des points doubles à l'infini, et, pour cela, cherchons les asymptotes. En posant y = zx dans l'équation de cette courbe et ensuite x = ce, on trouve lira z = + i; en posant après cela dans la même équation y = + ix + u et ensuite cc=oo, on trouve celle-ci:

[± 2i (1 - h?) lim u + 2a/* 2 ] 2 - 0,

x= oo

qui donne pour lim u deux couples de valeurs égales. La courbe a donc deux asymptotes représentées par l'équation

et chacune de ces asymptotes est double. Ces asymptotes déterminent deux points de rebroussement; qui coïncident avec les points circulaires de l'infini.

3.° Il résulte de tout ce qui précède que la courbe n'a pas de branches infinies et qu'elle possède deux ovales symétriques par rapport à la droite 00', qu'ils coupent en quatre points déterminés ci-dessus. Nous pouvons ajouter qu'elle ne possède que ces deux ovales ^ en effet, si elle en avait d'autres, un cercle passant par trois points placés à l'intérieur de trois de ces ovales couperait la quartique considérée en six points situés à distance finie, ce

qui implique eontradition, puisque un cercle quelconque coupe la courbe représentée par (3) en quatre points situés à distance finie et aux points circulaires de l'infini.

Les deux ovales dont est composé chaque courbe (3) sont dits conjugués. On verra bientôt qu'ils peuvent être définis par une même construction géométrique. Descartes a étudié la courbe au moyen de l'équation (1), et pour cela il n'a pas remarqué cette connexion des ovales.

Si l'équation (3) représente un limaçon à noeud, les deux ovales ont un point commun, dans les autres cas ils sont séparés ; si la même équation représente un limaçon à point isolé, l'un des ovales se réduit à un point. Le cas où (3) définit un limaçonne sera pas considéré dans ce qui suit, car cette courbe a déjà été spécialement étudiée.

4.° Les ordonnées des points où les tangentes à un ovale coupent l'autre sont détérminées par l'équation (3), en y substituant à x les valeurs

On trouve ainsi

k + ah — k + àh "1"+F' l+h

, Ahk (k + ah — a) % __ 4Jih (— k + ah — a)

On peut démontrer au moyen de ces formules qu'un des ovales est à l'intérieur de l'autre. En effet, les quantités

4M (k + ah — a) 4Jik (—k + ah — a)

(j —iï 2 f ' JY^¥f

sont positives, la première quand /z> 1, l'autre quand h<l. Par conséquent la tangente à un ovale au sommet correspondant à l'une de ces valeurs de l'abscisse coupe l'autre ovale en deux points réels; le premier ovale est donc à l'intérieur de l'autre.

Ce résultat est, d'ailleurs, géométriquement évident. En effet, quand h et k varient, a restant constante, les ovales considérés varient aussi ; mais, comme ils ne peuvent pas se couper, l'un de ces ovales ne peut pas passer ni de l'extérieur à l'intérieur ni de l'intérieur à l'extérieur de l'autre sans se réduire à un point situé sur celui-ci. Or, le limaçon à point isolé est l'unique des courbes (3) qui est composée d'un ovale et d'un point, mais ce point est placé à l'intérieur de l'ovale. Donc dans tous les cas un ovale est à l'intérieur de l'autre.

4.° Pour déterminer les points où y prend une valeur maxime ou minime, nous partirons des équations

(2') (l—h 2 )r 2 -\- 2ah 2 x + k 2 — a 2 h 2 = 2kr, x*-\-y 2 = r 2 ,

qui déterminent x et y en fonction de la quantité positive ou négative r ? que nous prendrons

pour variable indépendante. Ces équations donnent

dy dr dx dx '

et par suite les valeurs de r auxquelles correspondent les valeurs maximes ou minimes de y sont déterminées par l'équation

dx r , r — x , • = 0, dr

ou, en vertu de l'équation (2'), par cette autre:

(1 tff r 3 - 3 (1 - A») kr% - (aVi* + kW - 3& 2 + r - k (lê - a% 2 ) = 0.

En substituant dans les formules (2 ! ) les valeurs de r déterminées par cette équation, on obtient les équations qui déterminent les valeurs des coordonnées des points cherchés. Ces points peuvent être réels ou imaginaires, et leur nombre est égale à six. En tenant compte de cette circonstance et en remarquant que le nombre des points considérés que chaque ovale peut avoir d'un côté de l'axe 00' est évidemment impair, on conclut que chacun des ovales en a seulement un de chaque côté de cet axe.

Les points où x passe par une valeur maxime ou minime sont déterminés par l'équation

dx *

de la courbe et par chacune des équations y — et = 0. À la première de ces deux équations correspondent les quatre points où la courbe coupe l'axe des abscisses, dont on a déterminé ci-dessus les coordonnées. La deuxième équation donne pour r la valeur

auquelle correspondent ces valeurs des coordonnées des points cherchés:

y = sj 4a*k* - (a 2 + F - aWf ;

Le nombre des points qui satisfont à la question est égale à deux, et ces points sont imaginaires quand

et réels dans les autres cas.

5.° Les points où la courbe (3) coupe l'axe des ordonnées sont déterminés par l'équation

+ h + h\/ a 1 + k 2 — d'h 2 ~ 1 -lr

d'où il résulte que ces points sont imaginaires quand a 2 -j- k 2 < a 2 h 2 y et qu'ils sont réels dans le cas contraire.

Il résulte de ce qui précède que le pôle ne peut pas être situé entre les ovales; il est placé à l'intérieur ou à l'extérieur des deux ovales. On détermine aisément les conditions pour que ce point soit à l'intérieur des deux ovales. L'inégalité a 2 -^-k 2 >a 2 h 2 est une de ces conditions ; on obtient les autres en exprimant que le point soit placé entre deux sommets de la courbe. En examinant les valeurs de l'abscisse de ces points, obtenues ci-dessus, et en supposant que la quantité a est positive ou négative, on voit que deux de ces abscisses sont positives et les autres négatives quand A 2 <1 et quand on a, en même temps, & 2 >1 et a 2 A 2 <A; 2 , et qu'elles sont toutes positives si A° 2 > 1 et a% 2 >& 2 . Les conditions nécessaires et suffisantes pour que le point soit placé à l'intérieur des deux ovales sont donc

Les conditions pour que le point ; soit situé à l'intérieur des deux ovales résultent de

celles qui précèdent en y remplaçant h par — et k par Ces conditions sont donc

a*fe + k*>a*, /r<l, a 2 >k 2 .

De même, les conditions pour que le pôle 0" soit placé à l'intérieur des ovales résulte de celles qui se rapportent au point en remplaçant 7i : k et a par les valeurs (4); ces conditions sont donc

a% 2 + > k 2 lê > a*h% W > a 2 .

Comme conséquence de tout ce qui précède on peut fixer la forme de la courbe représentée par l'équation (3). On voit qu'elle est composée de deux ovales distincts, symétriques par rapport à la droite 00', et situés l'un à l'intérieur de l'autre. L'ovale intérieur n'a pas de points d'inflexion, parceque, s'il en avait quelqu'un, la tangente à ce point couperait cet

VOL. IV DD

ovale en trois points coïncidentes et l'ovale extérieur en deux autres, ce qui est incompatible avec le degré de l'équation de la courbe; et il possède de chaque côté de l'axe un point où la tangente est parallèle à cette droite et deux points placés sur ce même axe où les tangentes lui sont perpendiculaires. L'ovale extérieur a cette même forme ou une forme analogue à celle de la figure 45 (n.° 215); il possède dans ce dernier cas une bitangente perpendiculaire à la droite 00' et, comme dans l'autre cas, deux points sur cette droite où la tangente lui est perpendiculaire, et un point de chaque côté de la même droite où les tangentes lui sont parallèles.

244. On peut déterminer les normales aux ovales de Descartes par une construction facile qu'on va voir; cette construction est d'ailleurs une conséquence d'une méthode générale, applicable quand les courbes sont rapportées aux coordonnées bipolaires.

Dans le cas où l'on veut obtenir la normale à la courbe représentée par l'équation (1) à un point M auquel correspondent les signes supérieurs de cette équation, on doit prendre sur les vecteur OM et O'M deux segments MA et MB égaux respectivement à 1 et A (fig. 48);

la normale à la courbe au point M sera la diagonale MN du parallélogramme construit sur ces segments.

Pour démontrer cela, il suffit de remarquer que l'équation de la normale à la courbe considérée au point (œ y), est

dx dx dy dy

dr dx

— — cos to, r

dr !

dy "

— = sm 03, r

dr' dy ~

~- = sm to , r

o) et o> ; représentant les angles MOX et MO'X; ou

cos 03 + h cos oV sin 03 + h sin <o'

En remarquant maintenant que les coordonnées x\ et yi du point C sont déterminées par les formules

Xi = x — (cos 03 -f h cos a)'), y\=y — (sin 03 + h sin 03'),

et que ces valeurs vérifient l'équation qu'on vient d'obtenir, on conclut que la normale coïncide avec la diagonale MC du parallélogramme considéré.

Si le point donné satisfait à l'équation r ~hr ! = + k, on doit prendre dans cette construction le segment MB dans la direction opposée à MO'.

Il résulte immédiatement de cette propriété des normales aux ovales de Descartes que ces courbes résolvent le problème d'Optique mentionné au n.° 240 ; un rayon de lumière quelconque OM partant d'un pôle d'un ovale de Descartes, séparant deux milieux transparents de densité différente et dont l'indice de réfraction soit égale à h, se réfracte, quand iî rencontre la courbe, suivant une droite MO' passant par l'autre pôle 0' ; en effet, la relation

sin OM N sin OMN sinO'Mf "sinACM ~~ '

qui résulte de la considération du parallélogramme AMBC, coïncide avec celle qui, d'après la loi de la réfraction, lie les deux directions du rayon lumineux considéré.