En éliminant cos entre l'équation (7) et l'équation

r(A cosfl + Bsin0) + C = O, on obtient, pour déterminer les vecteurs ri, rg, 7-3 et 7*4 des points où la droite représentée

par cette équation coupe la courbe, l'égalité

(ft 2 - l) 2 (A 2 + B 2 ) r 4 + 4/c (ft 2 — 1) (A 2 + B 2 ) «•» + ••• • (a% 2 - & 2 ) 2 (A 2 + B 2 ) + 4a 4 A* C 2 + Aah? (a 2 A 2 — W) AC = 0,

d'où

fi }*a ^3 ?'4 :

(fe2 l)2 (A 2 4B 2 )(A 2 -1) 2

11 résulte de la première de ces relations le théorème suivant:

Une droite quelconque rencontre la courbe considérée en quatre points tels que la somme algébrique de leurs distances à un foyer est constante (Salmon : Courbes planes, 1884, p. 354). La deuxième relation, en y posant

donne cette autre :

auquelle doivent satisfaire les vecteurs des points où la droite représentée par l'équation

coupe la courbe. Donc, on a le théorème suivant, que nous avons donné dans un article inséré au Mathesis (t. xxn, 1902):

II existe sur Vaxe 00' de la courbe considérée un point f tel que toute droite menée par ce point coupe cette courbe en quatre points dont le 'produit des distances au foyer est constant.

L'abscisse de ce point-là est égale à — ^ •

Aux foyers 0' et 0" correspondent deux points f et f !f qui jouissent d'une propriété analogue. Les abscisses de ces points sont, respectivement,

42 a* (a 2 - F) (# — le*) a ' ak* (Ji 1 — 1) '

et les valeurs correspondants du produit r.\ r% r^ n sont

(a* tff (aW - lêf (ft* - a 2 ) 2

Je vais encore généraliser ce théorème. Posons A = — tango) et B = 1. La condition pour que le produit n r% r$ n prenne la forme

(8) n r% 7*3 n = K -f~ L cos 2 co,

K et L étant constantes et co représentant l'angle que la droite considérée fait avec l'axe des abscisses, est

° 2 ~ ° ah? tang 03 = C; c représentant une quantité constante. L'équation de la droite considérée prend alors la forme

ach^x — ah 2 C 2 x + C (a%* — k 2 ) # + C 2 (a%* — & 2 ) = 0, et l'équation de l'enveloppe des positions que cette droite prend quand C varie est

4cx (x ! ("W-W . Q

4CX V ah* ) + aW y - °*

Or, cette équation représente une infinité de coniques, correspondantes aux diverses valeurs de c, lesquelles passent par le point f, mentionné ci-dessus, et ont un axe de longueur constante, qui coïncide en direction avec l'axe des ovales; les tangentes à chacune de ces coniques coupent la courbe considérée en quatre points tels que le 'produit de leurs distances au foyer F vérifie une relation de la forme (8), où K ei L sont indépendantes de w et K est, en outre, indépendante de c.

Par les points/' et/ 7 ' passent deux autres faisceaux d'ellipses qui jouissent d'une propriété analogue.

L'équation polaire des ovales de Descartes, qu'on vient de considérer, fut employée par Genocchi [Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris, 1875) pour obtenir la longueur des arcs de ces courbes; il a démontré, en partant de cette équation, que la rectification de ces ovales dépend de la rectification de trois arcs de trois ellipses différentes. L'explication géométrique de cette réduction a été donnée par M. Darboux dans une communication faite à l'Académie des Sciences de Paris en 1878, insérée au t. lxxxvii des Comptes rendus.

248. Les ovales de Descartes peuvent être définis et tracés de plusieurs modes, dont nous mentionnerons ceux qui suivent:

1.° Le lieu des points dont les distances à deux cercles sont dans un rapport constant, est un Qvale de Des cartes.

En représentant, en effet, par R et R' les rayons de ces cercles, par r et r' les distances

d'un point quelconque du lieu considéré à leurs centres et par h une constante, on a

+ ~. — , = h ou ri hr f = R i &R', r — Sx

où le signe dépend de la position du point par rapport aux cercles.

Cette manière de construire les ovales de Descartes fut donnée par Newton dans les Principia mathematica (1. c).

2. ° Les ovales de Descartes se présentent dans le problème qui a pour but de déterminer la courbe qui provient de l'intersection de deux cônes droits de base circulaire dont les axes sont parallèles; ils résultent de la projection de cette courbe sur un plan perpendiculaire aux axes des cônes. En éliminant, en effet, z entre les équations

z2 = W [(x - af + y% (z - h)* = +

on obtient l'équation (3). Cette remarque fut faite por Quetelet dans le tome v, p. 112, de la Correspondance mathématique.

3. ° Considérons deux cercles de centre C et C et un point fixe K (fig. 49), placé sur

la droite qui passe par ces centres, et menons par ce point une droite KB coupant des deux cercles ; traçons ensuite les droites OA,CB, C'A', C'B' passant par les cen-

^ très des cercles et par les points où ils sont coupés par la droite KB. Cela posé, le lieu des positions que prennent les points Fig m 4g M et M' où ces droites se

coupent, quand la droite

KB varie, en tournant autour de K, est un couple d'ovales de Descartes, et les centres des cercles en sont deux foyers. Cette construction simple de ces courbes fut suggérée à Chasles par le théorème de Quetelet énoncé ci-dessus; il en a donné une démonstration dans le tome v, p. 119, de la Correspondance mathématique, et plus tard, dans le Note xxl à Y Aperçu historique, il a exposé une autre, fondée sur le théorème de Menelaus.

En appliquant, en effet, ce théorème au triangle CMC et à la transversale KA, on a la relation

CA MA' C'K AM' A'C 'ck '

d'où il résulte, en représentant par R et R' les rayons CA et C'A' des cercles, par r et r ! les