R KC

distances de M à C et à C, et par h la constante — • - 5

r — hr f = ix-hR'.

De même, en appliquant le théorème mentionné au triangle CM'C et à la transversale KA, on trouve

r — hr> = — (R — hR').

Comme complément à cette construction si simple des ovales de Descartes, réminent géomètre auquel elle est due a encore ajouté que la tangente à la courbe ainsi obtenue au point M coïncide avec la droite LM, qui passe par le point L où se coupent les tangentes aux deux cercles aux points A et A'. Pour voir cela, il suffit de remarquer qu'on a

AM = ML . cos AML, A'M = ML . cos A'ML,

et par suite

cos AML AM r — R

cos A'ML A'M r' — R' ou, MS étant une droite perpendiculaire à ML,

sinUMS

sinSMA'

donc MS est la normale (n.° 244) à la courbe au point M et, par conséquent, ML en est la tangente au même point. On peut déterminer du même mode la tangente au point M'.

4.° Considérons un cercle fixe C et un cerclé mobile c, placés sur un même plan, et supposons que le centre de c est situé sur la circonférence de C et que le rayon varie proportionnellement à la distance D de ce centre à un point fixe A ; l'enveloppe de c est un couple d'ovales de Descartes conjugués.

En effet, en prenant pour origine des coordonnées le centre de C et pour axe des abscisses la droite passant par le centre de C et par A ; et en représentant par R le rayon de C, par cp l'angle formé par le vecteur du centre de c avec cette axe, par a l'abscisse du point A et par h une constante, l'équation du cercle c prend la forme

(^-Rcoscp) 2 + (z/-Rsincp) 2 = /2 2 D 2 -^ (R 2 + a 2 - 2a R cos cp) ;

et l'équation de l'enveloppe de ce cercle résulte de l'élimination de cp entre cette équation et celle-ci :

x sin cp — y cos cp = a/i 2 sin cp ;

cette équation est donc

[ce 2 + ?/ + R 2 - F (R 2 + a 2 )] 2 = 4R 2 {(x - ah*)* + f~], ou, en transportant l'origine des coordonnées au point (ah 2 , 0),

[a; 2 + xf + 2atfx + t?-W + R 2 - À 2 (R 2 + a 2 )] 2 = 4R 2 (te 2 + f). Cette équation peut être mise sous la forme

[(1 - A») (x*+y*) + 2a^x + k\ - a^f = ék\ (x" + y»),

où

- R 2 (1 - A 5 ) 2 , ai = a (1 — A 2 ),

et en résulte le théorème suivant:

L 'enveloppe d'un cercle variable dont le centre parcourt la circonférence d'un autre cercle donné et dont le rayon varie proportionnellement à la distance de son centre à un point fixe est un couple d'ovales de Descartes.

249. Le problème d'Optique qui a donné l'origine à l'invention des ovales de Descartes n'est pas la seule question de cette science où figurent ces courbes. Quetelet {Correspondance mathématique, t. v, p. 1 et 109; Nouvelles Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. v) et Sturm [Annales de Gergonne, t. XV, p. 205) ont rencontré ces mêmes courbes dans la solution du problème qui a pour but de déterminer la caustique par réfraction du cercle. Il résulte, en effet, immédiatement du théorème qu'on vient de démontrer et d'une proposition générale de la théorie des caustiques, que la caustique par réfraction du cercle C est la développée de Vovale de Descartes représenté par léquation

\x* + f + 2ah*x + aVi* + R 2 — h 2 (R 2 + a 2 )] 2 = 4R 2 (x% + y»),

h étant Y indice de réfraction.

En posant h~l et en appliquant une autre proposition générale d'Optique, on voit que la caustique par réflexion dit cercle C est la développée du limaçon de Pascal représenté par l'équation (Quetelet: Mémoires de V Académie de Bruxelles, t. m)

{x l + y 2 + 2axf = 4R 2 (x* + tf).

Si R = a, c'est-à dire si le point lumineux est sur le cercle, cette équation représente une cardioïdej donc (n.° 238) la caustique par réflexion d'un cercle C est une cardioïde, quand le point lumineux est sur la circonférence. Le centre du cercle dont cette cardioïde est la conchoïde coïncide avec le centre de C, et le rayon du même cercle est égal au tiers du rayon de celui-là. Cette proposition est due à Jacques Bernoulli. qui l'a publiée en 1692 dans les Acta eruditorum.

VOL. IV EE

Les qiiartiques Meirculaires.

250. Les points de chaque ovale de Descartes satisfont à une équation de la forme

(1) r±hr'±hr" = 0,

qui résulte des deux équations de cette courbe

r + hir' = + r i M r ' f = i

où r, r 1 et r" représentent les distances de ces points à trois pôles. Cette circonstance nous mène naturellement à étudier les courbes définies par l'équation (1).

Prenons, pour cela, pour origine des coordonnées un des pôles, pour axe des abscisses une droite passant par un autre et supposons que la distance du deuxième pôle au premier soit égale à a et que les coordonnées du troisième pôle soient (a, P). On a alors les relations

r* = + y\ r /2 = + y» — 2ax + a 2 , r 72 = (x - af + (y - p) 2 , d'où il résulte que l'équation cartésienne de la courbe considérée est

( [(1 4- £2 ( œ * + 2/2) 2 (ah* - atë) x + 2$khj + A V - (a 2 + P 2 ) &f | = 4/* 2 (x% + y*) (x^ + 3/ 2 — 2a» + a 2 ),

(aj2 | ^2 ) ^ | qy + ^2 = A 2 (œ 2 + 3/ 2 ) (^ 2 + # 2 - 2a# + a 2 ),

La courbe représentée par (1) est donc du quatrième ordre, sauf dans le cas où h et h satisfont à la condition l+A + & = 0; dans ce cas cette équation représente une cubique circulaire (n.° 76).

251. Voyons maintenant s'il existe une autre équation de la forme (2), ayant des paramètres différents, savoir :

i [(1 + h \ - fc*) (x* +f)-2 {ah] - a, Fi) x + 2& % + a%ï - (a? + ft)

(=4A* (x* + if) (x? + y 2 - 2ax + a 2 ),

qui puisse représenter une courbe identique à celle qui est déterminée par l'équation (2).

Pour cela il faut que les paramètres qui entrent dans les deux équations soient liés par les relations

2 (aM - ah]) 2% M 7 a*h\ - («J + ff) k\

l+A'-AÏ . * 1 -h — ft?

1+ AJ — Aï

ou

Or, ces équations donnent, en éliminant ai, J3i et /vf, cette autre :

2K{a^ + ap + l) h\ + (p 2 + <f - 41- a 2 A 2 ) h + 2? A = 0,

dont résultent deux valeurs pour A j? auxquelles correspondent deux systèmes de valeurs de ai, |5i et 7ci, déterminées par les équations (3), telles que l'équation (2 ; ) coïncide avec l'équation (2). L'une des valeurs de h{ est égale à 72, et les valeurs correspondantes de ocj, et h\ sont égales à a, (5 et 73 ; donc à ce système de valeurs il ne correspond pas de nouvelle équation de la courbe; mais à l'autre système de valeurs de 7*1, ai, j3| et Tci correspond une nouvelle équation de la forme (2), qui représente la même courbe.

Donc, si une courbe satisfait à une équation de la forme (1), il existe un quatrième pôle tel que la courbe satisfait à une autre équation de la même forme, mais avec des coefficients différents :

r i hir 1 + k{ r n = 0,

r' ; représentant maintenant la distance des points de la courbe au nouveau pôle.

Le théorème qu'on vient de démontrer fut donné par M. Darboux dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (2. e série, 1864, t. lit, p. 156).

On démontre aisément, en procédant comme dans le cas des ovales de Descartes (n.° 246),

que les points (0, 0), (0, a), (a, fi) et (ai, pi) sont des foyers ordinaires de la courbe considérée; on verra bientôt qu'elle n'a pas d'autres foyers ordinaires réels.

Il est à remarquer que le théorème qu'on vient de démontrer n'a pas lieu quand le coefficient de h\ dans l'équation qui détermine h{ est égal à zéro, ni quand les racines de cette équation sont égales. Les ovales de Descartes sont compris dans ces cas d'exception, puisqu'on a déjà vu que chaque couple d'ovales conjugués a seulement trois foyers réels.

En éliminant hi de la première et de la troisième des équations (3) au moyen de la deuxième, il vient d'abord

oci — a — ~- k  = — — ? -| — k 2 — (a* + |3j) = l — ,

et ensuite, en éliminant 1<? entre ces équations,

+ Pf — ««!+— Pi =0.

On voit donc que le pôle (ai, est placé sur la circonférence d'un cercle dont le rayon E, est déterminé par la relation

et dont le centre a pour coordonnées

1 ap + 2l 2^ 2q

On vérifie aisément que les coordonnées (0, 0), (0, a) et (a, (3) des autres foyers de la courbe satisfont à la même équation ; donc, les quatre foyers réels de la courbe sont situés sur la circonférence du cercle au on vient de déterminer (Darboux, 1. c.).

252. Les quartiques que nous venons de considérer sont comprises dans l'importante classe de courbes représentées par l'équation

(4) (ce 2 + y*f + 2 (mx + ny) + if) + A^ 2 + B\xy + Ciz/ 2 + V\x + E { y + Fi = 0,

connues par le nom de quartiques bicirculaires et aussi par celui de cycliques du quatrième ordre, lesquelles ont été l'objet de beaux et importants travaux. Ainsi, d'après un renseignement de Laguerre (Oeuvres, t. ix, p. 136), Moutard en a fait connaître quelques propriétés importantes dès 1862 en des communications à la Société Philomatique de Paris sur les courbes anallagmatiques. Les mêmes courbes furent étudiées par M. Darboux, en connexion avec les cubiques circulaires et avec les courbes qui résultent de l'intersection d'une sphère avec

une surface du deuxième ordre, comme on Ta déjà dit au n.° 98, en quelques écrits remarquables publiés dès 1864; dans le dernier de ces travaux, intitulé: Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, publié en 1873, sont réunis les résultats importants des recherches de cet éminent géomètre sur les courbes considérées et sur une classe de surfaces dont la théorie est rattachée étroitement à celles de ces courbes. Pendant ce temps les mêmes quartiques furent étudiées aussi en Angleterre par Casey, qui a consacré à leur théorie un Mémoire remarquable, publié en 1869 dans les Transactions of the Royal Irish Academy, par Hart, qui a étudié quelques manières de les engendrer dans un travail inséré aux Proceedings of the London Mathematical Society (t. xi, 1879, p. 143), etc.

Les quartiques bicirculaires à un axe de symétrie ont été spécialement étudiées par De la Grournerie dans un Mémoire remarquable publié dans le Journal de Liouville (2. e série, t. xiv, 1869, p. 2), par Laguerre dans une Note présentée en 1869 à la Société Philomatique (Oeuvres, t. il, p. 73), laquelle contient plusieurs théorèmes intéressants sur ces courbes, par Jeffery dans les Proceedings of the London Mathematical Society (t. xiv, 1883, p. 239), etc.

253. En abordant maintenant l'étude des quartiques bicirculaires, nous allons déterminer

la nature des points situés à l'infini, et, pour cela, nous en allons chercher les asymptotes.

En appliquant dans ce but la méthode générale connue, on trouve premièrement lim — = ±i; et ensuite, en faisant y = + ix + u, x = co ;

u* + (n + mi) w — ^ (Ai - C, + B^) = 0.

Or, si les racines de cette équation sont inégales, la quartique a quatre asymptotes, et par chaque point circulaire de l'infini en passent deux; elle a donc alors deux noeuds à l'infini. Si les racines de la même équation sont égales, par chaque point circulaire de l'infini passent deux asymptotes coïncidentes, et la courbe a deux points de rebroussement à l'infini. Ce dernier cas a lieu quand

(n ± mif + Ai - Ci ± Bit = 0,

ou par suite

n 2 7n 2 + Al Cl==0; 2mn + Bi = 0.

On voit aisément que ces conditions sont satisfaites lorsque l'équation (4) se réduit à celle des ovales de Descartes (n.° 241); ces courbes ont donc deux points de rebroussement à l'infini, comme d'ailleurs on avait déjà vu (n.° 241). Les quartiques bicirculaires à deux points de rebroussement à l'infini sont désignées par le nom de cartésiennes ; les ovales de Descartes sont compris comme cas particulier dans cette classe de quartiques.

254. L'équation (4) des quartiques bicirculaires peut être réduite à une forme plus

simple, en transportant l'origine des coordonnées au point y — , ^-J et en changeant ensuite la direction des axes des coordonnées de manière à faire disparaître le terme qui contient le produit xy, à savoir:

(5) (x? + y*f - 4 (Aa? 2 + k.'y 9 - + 2Cx + 2C r y + D) = 0.

La condition pour que cette équation représente une cartésienne est A = A / ; et alors elle a la forme

(a-î + t ff 4 [A (x?> + y^) + 2Cx + 2C f y + D] = 0, ou, en prenant pour axe des ordonnées la droite représentée par l'équation Cx + C'y = 0, (50 (x* + y 2 )? - 4 [A fe 2 + yâ) + 2G iX + D] = ;

on voit donc que les cartésiennes ont un axe, au moins, et qu'on peut toujours supposer dans l'étude de l'équation (5) que, quand A = A ; , on a aussi C ; = 0.

L'origine des coordonnées auxquelles est rapportée l'équation (5) jouit d'une propriété remarquable qu'on va voir.

La droite représentée par l'équation

y=px + q

coupe la quartique en quatre points dont les abscisses sont déterminées par l'équation

(1 + p 2 )œ 4 + 4pq{l +p%) x 3 + . . .-0; l'abscisse du centre des moyennes distances de ces points est donc

sy» .

et par suite le lieu des centres correspondants aux droites ayant la même direction est représenté par l'équation

py + x = 0.

Nous avons donc le théorème suivant:

Les diamètres des quartiques bicirculaires sont perpendiculaires aux cordes et passent par le point qu'on a pris pour origine des coordonnées.

Ce théorème fut donné par M. Humbert dans le cahier LV du Journal de l'Ecole Polytechnique.

255. Nous allons chercher maintenant les conditions pour que le cercle représenté par l'équation

(A) x ! * + f = 2(ax + fy + i) = 2P

soit bitangent à la quartique bicirculaire représentée par l'équation (5), et, pour cela, nous allons employer une méthode, due à M. Darboux (1. c, p. 114), que nous avons déjà appliquée dans la question analogue relative aux cubiques circulaires (n.° 78).

Les conditions pour que ce cercle et la courbe représentée par l'équation (5) soient bitangents coïncident avec les conditions pour que le même cercle et la coniqne représentée par l'équation

(6) - (Aa? 2 + Mif + 2Cx + 2C'y + D) =

le soient aussi. Or, comme l'équation

/=P* — (Aœ 2 + Ay+2Cœ + 20'y + D) -h(x* +y < *-2F) = 0,

où h est un paramètre arbitraire, représente toutes les coniques qui passent par les points d'intersection du cercle et de la conique (6), on obtient les conditions cherchées en exprimant que cette dernière équation représente deux droites coïncidentes, ce qu'on peut faire de la manière suivante.

Supposons d'abord que le coefficient A! -\-h — j3 2 de dans cette équation soit différent de zéro. Alors la même équation donne pour y les deux valeurs

/m apar + PT + pA-C'il/K

où

K = (C'-pA-pY-a|5») 2 -(p 2 -A'-A)[(a 2 -A - h)x^ + 2 + ak-G) x -D + 2^h + f] t et ces valeur sont égales lorsqu'on a, quelle que soit la valeur de x, K = 0, et par suite

(C) ap(C'-pA-pT) + (p 2 -A'-A)(aY-C + c^) = 0,

( (C'-pA-p T ) 2 -(p 2 -A'-à)( T 2 -D + 2ïà) = 0.

On déduit de la deuxième de ces équations, en éliminant p 2 au moyen de la première,

, , Ca C'P

et on déduit ensuite de la troisième, en éliminant *[ et a? au moyen de celle qu'on vient d'obtenir et de la première,

Si A' + & — P" 2 = 0, on peut résoudre par rapport à x l'équation /= 0, où le coefficient de a; 2 est alors différent de zéro, et on retrouve les mêmes relations qu'on vient d'obtenir.

Les équations au moyen desquelles on obtient la solution du problème proposé sont donc celles-ci :

De la dernière équation résultent pour h quatre valeurs, auxquelles correspondent quatre systèmes de valeurs de deux des paramètres a, [3 et y du cercle cherché, le troisième restant arbitraire.

Donc, il existe, en général, quatre séries de cercles bitangents à la quartique considérée ; cette quartique est l'enveloppe des cercles de chacune de ces séries.

L'équation (7) fait voir, en outre, que les centres des cercles de chaque série sont situés sur une conique, et que les quatre coniques correspondantes aux quatre valeurs de h sont homofocales.

L'équation générale des cercles bitangents à la quartique considérée résulte de l'équation (A) t-n y substituant à y la valeur donnée par l'équation (8), ce qui donne

(10) «. + f 2«„ ny - - ^ - + 2h - 0,

où cl représente une fonction de [3, déterminée par l'équation (7), et (3 une quantité arbitraire. Si les constantes C, C v , A ou A' satisfont à une des conditions C = 0, C ! = ou A=A', l'équation (9) donne seulement trois valeurs pour h, auxquelles correspondent trois séries de cercles bitangents. Mais, en remarquant que les équations (0) sont vérifiées quand h = -—A et a = 0, dans le premier cas, quand A = — A' et a = dans le deuxième, et quand h = — A et C ; a=Cp dans le troisième, on conclut que, dans ces trois cas, il existe une quatrième série de cercles bitangents à la quartique considérée, ayant les centres, respectivement, sur les droites représentées par les équations # = 0, y = ou C f œ=Cy. On doit remarquer que la condition A = A' est celle qui exprime que la quartique considérée est une cartésienne, et que les con-

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ditions C = et C r =0 expriment, respectivement, que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses ou à celui des ordonnées. Le cas où A = A' peut se réduire, d'ailleurs, à l'un des cas précédents, en prenant la droite représentée par l'équation Cas + C'y = pour axe des ordonnées, comme on a dit au n.° 254.

Si l'on a en même temps C = et C = 0, l'équation (9) est du deuxième degré, et aux deux valeurs qu'elle donne pour h correspondent deux séries de cercles bitangents ; mais on voit comme précédemment qu'il existe, en outre, deux autres séries de cercles bitangents ayant les centres sur les axes des coordonnées.

256. On voit aisément que tous les cercles représentés par l'équation (10) coupent orthogonal ement le cercle défini par l'équation

(11) x' + Y' + ^ + ^-SA-O;

il suffit pour cela de substituer les valeurs des dérivées Y' et y' de Y et y par rapport à X et x, déduites des équations (10) et (11), dans la relation y Y' + 1 = 0, de faire ensuite X = a? et Y = y, et de tenir compte des mêmes équations (10) et (11).

Donc, les cercles bitangents à la quartique, appartenant à une même série, coupent orthogonalement un cercle fixe, nomme cercle directeur.

Ce théorème n'a pas lieu quand h = — A, ni quand h = — A\

25?. Les coordonnées (a?i, y\) du centre et le rayon m de chaque cercle directeur sont déterminés par les formules

(A+hf ' {A + h? '

et l'équation de la quartique, quand on transporte l'origine des coordonnées au point (olîi, y\) v prend la forme

- 4 [(A + li) x^ + (A' + h) y 2 ] = 0,

On peut voir que cette équation ne change pas quand on y remplace x' par — et

y' par /9 /9 ; nous avons donc le théorème suivant: x " + y "

Les quartiques bicirculaires sont anallagmatiques par rapport à chacun des centres des cercles directeurs, le module de la transformation étant égal au rayon de ce cercle.

258. Il résulte de la formule (B) que l'équation de la droite passant par les points de

VOL. IV FF

contact de chaque cercle bitangent avec la quartique qui l'enveloppe, est

ap^+p T + |3^ — C ; y ~~~ A' + h-^ '

ou, en éliminant y au moyen de l'équation (8),

Cette équation est vérifiée par les coordonnées du centre du cercle directeur correspondant à la même valeur de h; nous avons donc le théorème suivant:

La droite passant par le point de contact d\m cercle bitangent avec la quartique, passe aussi par le centre du cercle directeur correspondant.

On peut déduire de ce théorème celui qui a été démontré au n.° 258, en procédant comme dans la question analogue relative aux cubiques circulaires (n.° 82). On peut démontrer aussi, comme dans le cas de ces cubiques, que les centres des cercles directeurs sont les uniques centres d'inversion par rapport auxquels la quartique considérée est anallagmatique.

On démontre, aussi aisément, comme au n.° 82, les deux théorèmes suivants:

Les points où le cercle oscillateur d'une quartique bicircidaire a un contact du troisième ordre avec cette courbe, coïncident avec les points d'intersection de la quartique avec les cercles directeurs ou avec les sommets de la courbe.

Si la quartique a un point double à distance finie, tous les cercles directeurs passent par ce point.

Le premier de ces théorèmes n'est pas applicable aux points doubles de la courbe.

259. La doctrine qu'on vient d'exposer est due à Moutard, qui, d'après un renseignement de Laguerre {Oeuvres, t. n, p. 136), en a communiqué les principaux théorèmes en 1862 à la Société philomatique de Paris. Nous ajouterons encore ceux qui suivent.

l.° Il est nécessaire et suffisante pour que la courbe (5) ait un point double à distance finie, qu'une des racines de V équation (9) vérifie la condition m 2 = 0.

En effet, si la quartique considérée possède un point double à distance finie, une des séries de cercles bitangents est remplacée, comme dans le cas des cubiques circulaires (n.° 80), par une série de cercles simplement tangents passant par ce point, et par conséquent les droites d'un des faisceaux envisagés au n.° précédent s'interceptent au point double. Ce point doit pourtant coïncider avec un des points déterminés par les équations (D). En prenant le point double pour origine des coordonnées, on doit donc obtenir une équation de la forme (12), qui soit satisfaite quand a?' = G et y = 0, et pour cela il faut qu'on ait m 2 = 0.

La proposition réciproque de celle qu'on vient de démontrer, résulte immédiatement de l'équation (12), laquelle fait voir que, quand rrt 2 = 0, l'origine des coordonnées est un point double.

Il résulte encore de ce qu'on vient de dire que le point double qu'une quartique bicirculaire unicursale possède à distance finie, peut être considéré comme le centre d'un cercle directeur de rayon nul.