ADDITION AU N
Sur quelques propriétés des quartiques Meirculaires.
Le genre des quartiques bicirculaires qui ne possèdent pas de point double à distance finie est égal à un, et par conséquent les coordonnées de leurs points peuvent être représentées par des fonctions elliptiques méromorphes à mêmes périodes d'un paramètre u. En se basant sur cette propriété, on peut déduire des propriétés des fonctions elliptiques des propositions relatives aux courbes mentionnées, en procédant comme au n.° 156. Nous allons faire trois applications de cette méthode.
l.° Considérons un cercle quelconque et supposons que u^, u?> et U4 sont les valeurs que prend le paramètre u aux points A, B, C et D d'intersection avec la quartique, et que 115 et i/g sont les valeurs que prend le même paramètre aux points circulaires de l'infini. On a, à multiples près des périodes des fonctions elliptiques mentionnées,
in +112 + 113 + «4 + 2 («g + ^ô) = 2c
c étant constante, quel que soit le cercle.
Le cercle passant par A et B et par le point de la quartique où u prend la valeur u\
coupe la courbe à un nouveau point E où u prend la valeur u'i, et nous avons
u\ -f u% -f- u' iti -f~ 2 (w-5 + wô) = 2c.
De même, on a ? pour un cercle passant par C, D et et coupant la courbe à un nouveau point F,
^3 + W4 + w' + Ui + 2 + m) = 2c.
Il résulte de ces équations celle-ci:
2u' + u'i + i4 -f 2 (ws + wô) = 2c,
laquelle fait voir que les points E et F sont situés sur la circonférence d'un cercle tangent à la quartique au point 0.
Nous venons de retrouver ainsi le théorème démontré au n.° 270.
2. ° Considérons encore le cercle qui coupe la quartique aux points A, B, C et D, et représentons par u' { et les valeurs que u prend aux nouveaux points d'intersection E et F de la quartique avec un autre cercle passant par A et B, et par u's et ul les valeurs que prend la même variable aux points Gr et H où la quartique rencontre un cercle passant par C et D. Ou a
ii[ + u% 4- u 3 + Ui + 2 (11$ -f ue) = 2c, in + u% + ui + «2 + 2 (^5 -h «e) = 2c,
1*3 + W4 + ^3 + u\ + 2 («5 + Wô) = 2C,
et par conséquent
tq + «2 + ^3 + «4 + 2 («5 + HO) = 2c.
Donc, les points E, F, Gr et H sont situés sur la circonférence d'un cercle.
3. ° Les cercles oscillateurs d'une quartique bicirculaire correspondants à quatre points situés sur la circonférence d'un cercle, coupent la même courbe en quatre nouveaux points situés aussi sur la circonférence d'un autre cercle.
On a, en effet, wi, u%, u$ et Uk étant les valeurs que prend u aux points donnés,
u\ + u% + us + ut, + 2 ^5 + u&) = 2c,
et, en représentant par wi, ^3 et les valeurs que u prend aux points d'intersection des cercles osculateurs mentionnés avec la courbe,
3ui + u'i + 2 (1^ + uq) = 2c, 3^2 -f u% + 2 («5 + «ô) = 2c, . . . ,
et par conséquent
ti'i + iî% + 113 + 2 (us + wô) = 2c.
Les points correspondants à u[, u^ u$ et w'4 sont donc situés sur la circonférence d'un cercle.
On ne peut voir au moyen de ces démonstrations si les théorèmes qu'on vient d'obtenir subsistent quand les quartiques bicirculaires sont unicursales. Mais on peut les généraliser aisément à cette classe de quartiques, au moyen de considérations simples, en remarquant qu'on passe d'une quartique bicirculaire non unicursale pour une quartique bicircuiaire unicursale en faisant varier d'une manière continue la forme de la première courbe.
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Table des courbes.
Anallagmatiques du troisième ordre (vid. cubiques circulaires).
Anallagmatiques du quatrième ordre (vid. quartiques
bicirculaires).
Anguinea, p. 97, 98, 102, 113. Astroïde, p. 328-333, 345.
Atriphthaloïde, p. 348.
Besace, p. 269-273.
Bicorne, p. 310-312.
Bifolium, p. 300-302.
Cappa, p. 274-277.
Cardioïde, p. 213-218, 233.
Cartésiennes, p. 237-258.
Cassiniennes, p. 172.
Cissoïdale de deux lignes. Notions générales, p. 16;
cas particuliers, p. 1, 11, 18, 20, 29, 30, 39, 57,
Cissoïde de Dioclès, p. 1-11, 28, 76, 112.
Cissoïde oblique, p. 11-16.
Cissoïde de Zahradnik, p. 18-26.
Cissoïdes, p. 1-26.
Conchoïde, p. 266.
Conchoïde de la droite (vid. conchoïde de Nicomède).
Conchoïde de Nicomède, p. 259-268.
Conchoïde de Sluse, p. 26-30.
Conchoïde du cercle (vid. limaçon de Pascal). VOL. IV
Conchoïde parabolique de Descartes, p. 106-107.
Conchoïdes des coniques, p. 320,
Conchoïdes focales des coniques, p. 312-321.
Courbe à longue inflexion, p. 326.
Courbe de Gutschoven, p. 274-277.
Courbe de Jarabek, p. 317-318.
Courbe de.Kolle, p. 115-117.
Courbe de Talbot, p. 354.
Courbe de Watt. p. 323-328.
Courbe du diable, p. 296-297.
Courbe équipotentielle de Cayley, p. 372.
Courbes aplanétiques (vid. ovales de Descartes).
Courbes parallèles à l'astroïde, p. 333-338.
Courbes parallèles à l'ellipse, p 357-368.
Cruciforme, p. 277-284.
Cubique d'Agnesi (vid. versiera).
Cubique de Tschirnhausen, p. 132.
Cubique mixte, p. 118-121.
Cubiques circulaires, p. 62-83, 146-150, 389.
Cubiques de Chasles, p. 143-146.
Cubiques quelconques, p. 125-151, 387-389.
Cubo-cycloïie, p. 333.
Cycloïde circulaire, p. 213.
Développée de l'ellipse, p. 339.
Développée de l'hyperbole, p. 343.
Fleur de jasmin, p. 87.
Focale à noeud (vid. strophoïde).
zz
Focale de Quetelet (vid. strophoïde).
Focale de Van-Rees, p. 45-58.
Folium de Descartes, p. 85-91, 94, 95, 112.
Folium double, p. 300-302.
Folium parabolique, p. 121-125.
Folium simple, p. 297-299.
Galand, p. 87.
Huit, p. 272.
Hyperboles redondantes, défectives et paraboliques, p. 93.
Hyperbolismes et antihyperbolismes, p. 99.
Hyperbolismes des coniques, p. 93, 100-103, 108-109,
Hyperbolismes de quelques cubiques, p. 112-113.
Kolilenspitzencurve (vid. puntiforme).
Kreuzcurve (vid. cruciforme).
Kukumaeïde (vid. strophoïde).
Lemniscate de Bernoulli, p. 166, 189-197, 288, 327. Lemniscate de Gerono, p. 272.
Lemniscate elliptique et lemniscate hyperbolique,
Lemniscate équilatère, p. 197.
Limaçon de Pascal, p. 199-218, 220, 233, 266. Logocyclique (vid. strophoïde).
Ophiuride, p. 26.
Ovale de Cassini, p. 165-172, 175-178.
Ovale de Descartes, p. 218-233.
Ovoïde, p. 297-299.
Parabole cubique, p. 93.
Parabole de Descartes, p. 106-107, 266.
Parabole de Wallis, p. 93.
Parabole semi- cubique, p. 132.
Paraboles divergentes, p. 124-143.
Paraboles virtuelles, p. 268-274, 293.
Piriforme, p. 289-295.
Podaire du cercle, p. 203.
Podaires centrales des toroïdes, p. 368.
Podaires des coniques, p. 25, 203, 250.
Pseudo-versiera, p. 110-115.
Pteroïde (vid. strophoïde).
Puntiforme, p. 286-289.
Quartique piriforme, p. 289-294.
Quartiques à deux ou trois points doubles, p. 256-258. Quartiques à trois points d'inflexion doubles, p. 287 à 289.
Quartiques bicîrculaires, p. 234-258, 389-391. Quartiques de M. Ruiz-Castizo, p. 306-310.
Quartiques de Wallis, p. 292-294.
Robervallienne, p. 111.
Scarabée, p. 344-348.
Serpentine (vid. anguinea).
Spirique de Perseus, p. 153-197.
Spiriques, p. 165.
Strophoïde. p. 30-45, 57, 58, 75.
Tôtracuspide de Bellavitis, p. 344.
Toroïde, p. 358-368.
Trèfle, p. 95-96.
Trident, p. 93, 103-107.
Trifolium, p. 302-305.
Trisectrice de Maclaurin, p. 58-62, 88, 95.
Versiera, p. 108-115, 385-386.
Visiera, p. 26, 110, 111.
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Table des auteurs mentionnés dans ce volume.
Abel, p. 196.
Agnesi, p. 31, 108, 110.
Amstein, p. 332.
Andreasi, p. 45.
Apollonius, p. 339.
Archibald, p. 132, 213, 297.
Archimède, p. 2.
Aubry, p. 110, 272, 273, 274, 386.
Balitrand, p. 14, 15, 16, 41, 282.
Barbarin, p 38.
Barrow, p. 17, 31, 38, 266, 275,
Beaudeux, p. 2, 266.
Bellavitis, p. 337, 344, 380. Bernoulli (Jacques), p. 189, 233.
BernoulH (Jean), p. 85, 86, 87, 91,
Bispal, p. 333.
Bjerknes, p. 83.
Bonatti, p. 197.
Bonnet (Ossian), p. 290.
Booth, p. 31, 34, 36, 179, 184, 185,
Boncompagni, p. 31.
Bouquet, p. 296.
Bourget, p. 357.
Bragelougue, p. 321.
Braikenridge, p. 379.
Brassine, p. 333.
Brill, p. 322, 381, 382.
Briot, p. 296.
Brocard, p. 219, 290, 297, 300, 302, 303, 305, 310.
Cantor (Maurice), p. 151, 265,381.
Caporali, p. 381.
Carré, p. 213.
Casali, p. 31,42.
Cassini (J. Dominique), p. 165.
Cassini (Jacques), p. 166.
Castillon, p. 213.
Carbonelle, p. 327.
Casey, p. 80, 237, 252, 255.
Castizo (R), p. 306, 309.
Catalan, p. 324, 360.
Cauchy, p. 360, 367.
Cavalieri, p. 111.
Cayley, p. 146, 151, 247, 255, 322,
Cazamian, p. 96, 175.
Cesàro, p. 167.
Chasles, p. 57, 107, 130, 143, 151, 153, 219, 221, 231, 253, 380,
Clairaut, p. 125.
Clebesch, p. 139, 143, 151, 380,
Clifford, p. 323, 328.
Collignon, p. 1 97.
Colson, p. 8.
Comte (A.), p. 107.
Cotes, p. 266, 379.
Cramer, p. 151, 269, 296,306, 321.
Cremona, p. 380, 381, 382.
D'Alembert, p. 332.
Dandelin, p. 31, 45.
Darboux, p. 51, 64, 165, 170, 172,
De Champs (Breton), p. 359, 368.
De Gua, p. 137, 381.
Descartes, p. 85, 86, 87, 106, 218,
Dewulf, p. 318.
Dioclès, p. 2, 11.
Dourège, 151.
Elgé,p. 117.
Euler, p. 96, 151, 189, 321, 322,
Eutocius, p. 2, 11, 265.
Fagnano, p. 189, 195, 196, 210.
Fermât, p. 2, 85, 87, 108, 111, 265,
Fuss, p. 8.
Garlin, p. 164, 165.
Gauss, p. 196.
Gentry, p. 322.
Gerbaldi, p. 381.
Gerono, p. 2 72,
Goupillière (Haton de La), p. 124,
Grandi (Guido), p. 108.
Gregory (James), p, 108, 110. Guccia, p. 381.
Guenochi, p. 230, 255.
Gûnther, p. 32.
Gutschoven, p. 274.
Hachette, p. 323.
Halphen, p. 143.
Hart, p. 74, 200, 237, 245, 253,
Haughton, p. 348.
Héron d'Alexandrie, p. 153.
Herschel (J.), p. 219.
Hesse (0.), p. 151, 322, 381.
Heuraet, p. 265.
Houel, p. 178.
Humbert, p. 238.
Huygens, p 2, 6, 7, 9, 26, 27, 46, 85, 86, 87, 91, 97, 108, 110, 114, 159, 213, 265, 266, 273, 274, 276, 290, 339, 378.
Jamet, 143. Jarabek, p. 317.
Jeffeiy, p. 237.
Joacchmisthal, p. 337.
Kiepert, p. 196.
Klein, p. 381.
Laehlan, p. 215.
Laeolonge, p. 323, 324.
Lacroix, p. 296,
La Gournerie, p. 165, 237.
Laguerre, p. 24, 51, 172, 217,
236, 237, 242, 289 La Hire, p. 213, 266.
Laisant, p. 344.
Laloubère, p. 386.
Laurent, p. 296, 345.
Legendre, p. 61, 83, 358.
L'Hospital, p. 85, 86, 91, 97, 132.
Lehmus, p. 31.
Leibniz, p. 46, 110, 111, 114, 189,
Lemoine, p. 333.
Liguine, p. 219.
Lima, p. 58.
Liouville, p. 196, 380.
Longehamps (De), p. 4, 13, 18, 38, 58, 61, 96, 105, 118, 121, 123,
Loria (Gino), p. 26, 32, 110, 151,
Maclaurin, p. 58, 61, 88, 137, 150,
Malfatti, p. 166, 197.
Mannhein, p. 328.
Marcolongo, p. 197.
Marie (Maximilien), p. 90, 96.
Marie (Gabriel), p. 272.
Massau, p. 9.
Mathews, p. 196.
Mercator, p. 114- Merlieux, p. 337.
Mersenne, p. 85, 86.
Mister, p. 290.
Mobius, p. 146.
Moivre, p. 31, 34.
Montucci, p. 31, 333.
Montucla, p. 106.
Morley, p. 212.
Moutard, p. 69, 236, 242.
Neuberg, p. 21, 284, 318, 328.
Newton, p. 2, 8, 92, 93, 97, 99, 103,
Nicole, p. 125, 151, 379.
Nicomède, p. 259, 265.
Noether, p. 380, 382.
Qffenburgus, p. 8.
Ozanan, p. 166, 213.
Pagani, p. 165.
Painvin, p. 345.
Pappus, p. 2, 11, 265, 266.
Pascal (Biaise), p. 199.
Pascal (Etienne), p. 199.
Peano, p. 26, 110, 111.
Peaucellier, p. 200, 328.
Perseus, p. 153.
Pesenas, p. 68.
Pigeon, p. 333.
Pittarelli, p. 205.
Plûcker, p. 23, 71, 72, 151, 322,
Poncclet, p. 380.
Proclus, p. 2, 153, 265.
Prony, p. 333.
Quetelet, p. 31, 42, 45, 199, 219, 231, 233.
Eetali, p. 285, 386.
Riemann, p. 380.
Roberts (S.), p. 255, 323, 328.
Roberval, p. 2, 31, 106, 11 1, 199,
Roche, p. 324.
Rolle, p. 115.
Rouse Bail, p. 107.
Saint-Vincent, p. 269, 273, 293.
Saladini, p. 197.
Salmon, p. 72, 74, 143, 151, 229, 245, 260, 322, 337, 382.
Schoute, p. 58, 193, 195, 277, 282,
Schooten (Van), p. 265.
Schwering, p. 196, 365.
Segre, p. 381.
Scott (C.) p. 311.
Serret (J. A.), p. 175, 182.
Sluse, p. 2, 9, 26, 27, 28, 29, 85,
Steiner, p. 151, 322, 381.
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Stirling, p. 151, 379.
Stubbs, p. 380.
Sturra, p. 233, 262, 263, 333.
Sylvester, p. 151, 328.
Talbot, p. 354, 357.
Tanneiy (Paul), p. 87, 199.
Terquem, p. 278.
Torricelli, p. 31, 111, 326, Tortolini, p. 31, 357.
Townsend, p. 348.
Tschirnhausen, p. 132.
Uhlhorn, p. 26.
Vacca, p. 108.
Valdés, p. 41.
Van-Rees, p. 45, 47, 48, 53.
Vaumesle, p. 213.
Verdus, p, 31.
Vechtmann, p. 166, 167, 191.
Vincent, p. 323.
Viviani, p. 297.
Walker, p. 5.
Wallis, p. 2, 8, 111, 266, 273, 289.
Watt, p. 323, 326, 328.
Waring, p. 130.
Weierstrass, p. 120, 139, 354.
Wcyr (Em.). p. 191, 193,282.
Wieleitner, p. 114.
Wittstein, p. 297.
Wolstenliolme, p. 216.
Zahradnik, p. 18, 20.
Zeuthen, p. 322.
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Table des matières.
Préface . . . . . , , . vu
Préface de l'édition espagnole ix
