ADDITION AD N

Sur quelques propriétés des cubiques.

En généralisant deux théorèmes sur la cissoïde et la strophoïde démontrés aux n. os 16 et 50, nous avons établi pour les courbes unicursales les théorèmes 2. 6 et 3. e du n.° 163. Nous allons maintenant étendre les mêmes théorèmes aux cubiques non unicursales. Ces généralisations n'ont peut-être été pas remarquées.

l.° Les coniques qui passent par deux points Ai et A 2 d'une cubique quelconque et qui ont un contact de deuxième ordre avec cette courbe à un des quatre points ou elle est coupée par une conique passant par Ai et A2, coupent la même courbe en quatre nouveaux points situés aussi sur une conique passant par Ai et A2.

Pour démontrer ce théorème dans le cas des courbes non unicursales, il suffit de considérer les paraboles divergentes non unicursales, puisqu'on peut l'étendre ensuite à toutes les cubiques non unicursales au moyen des propriétés de la transformation homographique.

On a vu au n.° 156 que les coordonnées x et y d'une parabole divergente non unicursale peuvent être exprimées par des fonctions elliptiques d'un paramètre u, et que les valeurs

wa, etc. que ce paramètre prend aux six points d'intersection avec une conique vérifient la relation

à multiples des périodes près.

Si l'on fait maintenant passer une conique par les points de la cubique correspondants à itj, u$ et uq qui ait un contact du second ordre avec cette cubique au point correspondant k U{ 1 et si l'on représente par u[ la valeur que u prend au quatrième point d'intersection, on a

3ui + u[ -)- u*> -)- uq = 0.

De même, en représentant par u%, u% et ul les valeurs que u prend aux point où la cubique est coupée par les coniques passant par les points correspondants à 115 et uq et ayant un contact du second ordre avec la même cubique aux points correspondants à u%, 113 et respectivement, on a

3tc2 + ui + m + ^6 = 0,

3l<3 + lli -f m + U6 = 0, 3ih + ul -f- U5 + UQ = 0.

Pourtant

3 (u{ + 11% -|- u$ + ih) + u[ + ieg + «3 + ?u + 4 («5 + «e) = 0, ou, à cause de l'équation (1),

u[ + ?4 + «3 + «4 + us + «6 = 0.

Donc, les points de la cubique correspondants aux valeurs u'{, u^ ui et sont situés sur une conique qui passe par u§ et ne.

2.° Les trois coniques qui passent par deux points Ai tf£ As d'une cubique quelconque et qui ont un contact du deuxième ordre avec cette courbe en trois points respectifs, situés sur une droite, coupent la cubique en trois nouveaux points, situés sur une conique passant par Ai et As et 'par le point où la cubique est coupée par la tangente au point d'intersection de cetïe courbe avec la droite Ai A2.

On démontre que les cubiques non unicursales jouissent de cette propriété de la manière suivante :

Si les trois points de la cubique correspondants aux valeurs z/i, u% et u^ du paramètre u sont situés sur une droite, on a, à multiples des périodes près,

En représentant, comme ci- dessus, par u% et u'z les valeurs que u prend aux points où trois coniques passant par les points Ai et Ag, correspondants aux valeurs u& et u§ du paramètre, et ayant un contact du deuxième ordre avec la cubique aux points ui, u% et «3, respectivement, coupent cette cubique, on a

3U{ -f u' { + Uo + 116 = 0, OUî + «2 + ?/ o + K6 = 0, OU3 + u's + II 5 ~f «6 == 0,

et, par suite,

«i + «4 + *4 +• 3 (us + 1(6) = 0.

Mais, d'un autre côté, si représente la valeur que u prend au point où la droite qui passe par les points correspondants à u§ et u% coupe la cubique, on a aussi

et, en représentant par u"' la valeur de u au point où la tangente à la cubique au point correspondant à u = « /r coupe la même cubique, on a encore

Il résulte des relations précédentes celle-ci:

u'i + 11% + US + + 115 + m = 0,

d'où l'on déduit le théorème énoncé.

Si la cubique considérée est circulaire et 115 et uq sont les valeurs de u correspondantes aux points circulaires de l'infini, les coniques qu'on vient de considérer se réduisent à des cercles, et on obtient les théorèmes suivants, qui sont nouveaux, croyons-nous:

3. ° Les cercles oscillateurs d'une cubique circulaire quelconque correspondants à quatre points situés sur la circonférence d'un cercle, coupent la même courbe en quatre nouveaux points situés aussi sur la circonférence d'un autre cercle,

4. ° Les cercles oscillateurs d'une cubique circulaire correspondants à trois points situés sur une droite, coupent la cubique en trois nouveaux points situés sur la circonférence d'un cercle passant par le point où la cubique est coupée par la tangente au point d'intersection démette courbe avec V asymptote réelle.