REGLE XVIII
Pour cela il n'est besoin que de quatre opérations : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division; souvent même les deux dernières ne doivent pas être faites ici , tant pour ne rien compliquer inutilement que parce qu'elles peuvent être exécutées plus facilement par la suite.
La multiplicité des règles provient souvent de l'impéritie des maîtres, et les choses que Ton peut ramener à un seul principe général sont moins claires si on les divise en plusieurs règles particulières. C'est pourquoi toutes les opérations dont il faut se servir pour parcourir les questions, c'est-à-dire pour déduire certaines grandeurs d'autres grandeurs données, nous les réduisons ici à quatre chefs seulement; l'explication de ces chefs euxmêmes démontrera comme leur nombre est suffisant.
En effet, si nous parvenons à la connoissance d'une grandeur parce que nous avons les parties dont elle se compose, c'est par l'addition; si nous découvrons une partie parce que nous avons le tout et l'excédant du tout sur cette même partie, c'est par la soustraction. Il n'y a pas un plus grand nombre de moyens pour déduire une grandeur quelconque d'autres grandeurs prises absolument et dans lesquelles elle soit contenue d'une manière quelconque. Mais si une grandeur est intermédiaire entre d'autres dont elle est entièrement différente, et qui ne la contiennent nullement , il est nécessaire de l'y rapporter par quelque point; et cette relation, si c'est directement qu'il faut la chercher, on la trouvera par une multiplication ; si c'est indirectement} par la division.
Pour mieux comprendre ces deux points, il faut savoir que l'unité, dont nous avons déjà parlé, est ici la base et le fondement de tous les rapports, et que, dans une série de grandeurs en proportion continue, elle occupe le premier degré; que les grandeurs données occupent le second , et les grandeurs cherchées le troisième, le quatrième et les autres, si la proposition
est directe ; si elle est indirecte, la grandeur cherchée occupe le second degré et les autres degrés intermédiaires, et la grandeur donnée le dernier. Car si Ton dit : comme l'unité est à a ou 5 donné, ainsi b ou 7 donné est à a b ou 35 cherché, alors a et b sont au second degré, et a b, qui en est le produit, est au troisième. De même si l'on ajoute : comme l'unité est à c ou 9, ainsi a b ou 35 est à a b c ou 513 cherché; alors abc est au quatrième degré, et il est le produit de deux multiplications de ab et de c, qui sont au second degré, et ainsi du reste. De même : comme l'unité est à a 5, ainsi a 5 est à a2 ou 25*; et encore : comme l'unité est à 5, ainsi a2 25 est à «3 125; et enfin, comme l'unité est à a 5, de même d1 125 est à a4 ou 625, etc. En effet, la multiplication ne se fait pas autrement, soit qu'on multiplie une grandeur par elle-même, soit qu'on la multiplie par une autre entièrement différente.
Et maintenant si l'on dit : comme l'unité est à a ou 5, diviseur donné, ainsi B ou r cherché esta a 6 ou 35, dividende donné, alors l'ordre est renversé; c'est pourquoi B cherché ne peut se trouver qu'en divisant ab donné par a donné aussi. De même si l'on dit : comme l'unité est à A ou 5 cherché, ainsi A ou 5 cherché est à A2 ou 25 donné ; ou encore : comme l'unité est à A ou 5 cherché, ainsi A2 ou 25 cherché aussi est à a3 ou 125 donné, et ainsi du reste. Nous embrassons toutes ces opérations sous le nom de division, quoiqu'il faille noter que ces dernières espèces renferment plus de difficultés que les premières, parce que l'on trouve plus souvent en elles la grandeur cherchée, qui par conséquent contient plus de rapports. Car le sens de ces exemples est le même que si l'on disoit qu'il faut extraire la racine carrée de a2 ou 25, ou le cube de a3 ou 1 25, et ainsi du reste. Cette formule, usitée parmi les calculateurs, équivaut, pour nous servir des termes de la géométrie, à dire qu'il faut trouver la moyenne proportionnelle entre cette grandeur d'emprunt que nous appelons unité, et celle qui est désignée par a? ou les deux moyennes proportionnelles entre l'unité et et*, et ainsi des autres.
De là il est facile de comprendre comment ces deux opérations suffisent pour trouver toutes les grandeurs qui doivent être déduites d'autres grandeurs à l'aide d'un rapport quelconque. Cela bien entendu, il nous reste à exposer comment ces opérations doivent être ramenées à l'examen de l'imagination, et comment il faut les représenter aux yeux mêmes, pour ensuite en expliquer l'usage et la pratique.
Si nous avons à faire une division ou une soustraction , nous concevons le sujet sous la forme d'une ligne ou d'une grandeur qui a de l'étendue, et dans laquelle il ne faut considérer que la longueur; car s'il faut ajouter la ligne a à la ligne b , nous joignons l'une à l'autre de cette manière a b et nous obtenons pour produit c . Si, au contraire, il faut extraire la plus petite de la plus grande, savoir b de a , nous les appliquons l'une sur l'autre de cette manière ab et nous obtenons ainsi la partie de la plus grande qui ne peut être couverte par la plus petite, savoir c .
Dans la multiplication, nous concevons aussi sous la forme de lignes les grandeurs données; mais nousimaginonsqu'elles forment un rectangle : car si nous multiplions a par 6, nous les adaptons
l'une à l'autre à angles droits de cette manière
ab
, et
nous obtenons le rectangle
D'une autre part, si
nous voulons multiplier «6 par c, il faut concevoir ab sous lu forme d'une ii^ne de cette manière ab , et nous
ab
obtenons
pour abc.
Enfin, dans la division où le diviseur est donné, nous nous
représentons la grandeur à divisei\sous la forme d'un rectangle
dont un côté est diviseur et un autre quotient.
Ainsi, par exemple, si l'on a le rectangle à diviser par a , on en ôte la largeur a , et il reste & pour quotient; ou, au contraire, si on divise le même rectangle par 6, on ôtera la longueur b * et le quotient sera a .
Quant aux divisions où le diviseur n'est pas donné, mais seulement désigné par un rapport quelconque, comme, par exemple, lorsqu'on dit qu'il faut extraire la racine carrée ou cubique, etc., notons qu'il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes comme des lignes existant dans une série de proportions continues, dont la première est l'unité et la dernière la grandeur à diviser. Il sera dit en son lieu comment il faut trouver toutes les moyennes proportionnelles entre le dividende et l'unité. Il suffit d'avoir averti que nous supposons que de telles opérations ne sont pas encore achevées ici, puisqu'elles doivent l'être par une action indirecte et réfléchie de l'imagination, et que nous ne traitons maintenant que des questions à parcourir directement.
En ce qui concerne les autres opérations, elles peuvent être faites très- facilement de la manière dont nous avons dit qu'il faut les concevoir. Il reste cependant à exposer comment les termes en doivent être préparés; car, bien que nous soyons libres., quand une difficulté se présente pour la première fois, d'en concevoir les termes comme des lignes ou comme des rectangles, sans jamais leur attribuer d'autres figures, ainsi qu'il a été dit à la règle quatorzième, toutefois il arrive souvent, dans le cours de l'opération, qu'un rectangle, après avoir été produit par la multiplication de deux lignes, doit être bientôt conçu comme une ligne pour servir à une autre opération ; ou encore que le
1. Texte latiludo ; il est évident qu'il faut lire lomjiludo.
même rectangle , ou la ligne produite par une addition ou une soustraction, doit être bientôt conçue comme un autre rectangle désigné au-dessus de la ligne qui doit le diviser.
11 est donc important d'exposer ici comment tout rectangle peut être transformé en une ligne, et réciproquement toute ligne ou même tout rectangle en un autre rectangle dont le côté soit désigné. Cela est très-facile aux géomètres, pourvu qu'ils remarquent que par lignes, toutes les fois que nous en composons avec quelque rectangle, comme ici, nous entendons toujours des rectangles dont un côté est la longueur que nous avons prise pour unité. De la sorte, en effet, tout se réduit à cette proposition : Étant donné un rectangle, en construire un autre égal sur un côté donné.
Quoique cette opération soit familière, même à ceux qui commencent l'étude de la géométrie, je veux néanmoins l'exposer, de peur de paroître avoir omis quelque chose. [Le reste manque.)
