THEORIE DES FONCTIONS

Aux conceptions neuves, fortes et justes, qui se forment dans la tète des hommes de génie, il se trouve toujours des idées fausses amalgamées : le temps nécessaire pour faire l'épuration est proportionné au degré d'importance de la découverte. Newton avait basé sa belle invention du calcul des fluxions sur l'idée des infiniment petits; ce qui amalgamait, d'une manière très-vicieuse, les idées de physique aux idées mathématiques pures.

M. de la Grange est parvenu à séparer l'ivraie du bon grain ; il a organisé une théorie du calcul des fluxions, dans lacpielle il n'est entré aucune idée de physique.

Voici la manière dont M. de la Grange a rendu compte de l'invention du calcul des fluxions, des efforts qui ont été faits depuis Newton jusqu'à lui pour le perfectionner, et des moyens qu'il a pris pour atteindre ce but.

« Le calcul des fonctions a le même objet que le calcul différentiel, pris dans le sens le plus étendu ; mais il nest point sujet aux ditTicultés qui se rencontrent dans les principes et dans la marche ordinaire de ce calcul ; il sert de plus à lier le calcul différentiel immédiatement à l'algèbre, dont on peut dire qu'il a fait, jusqu'à présent, une science séparée.

« On connaît les difficultés qu'offre la supposition des infiniment petits, sur laquelle Leibnitz a fondé le calcul différentiel. Pour les éviter, Euler regarde les différentielles comme nulles, ce qui réduit leur rapport à l'expression zéro divisé par zéro, laquelle ne présente aucune idée.

« Maclaurin et d'AIembert emploient la considération des limites cl regardent le rapport des différentielles comme la limite du rapport des différences finies, lorsque ces différences deviennent nulles.

« Cette manière de représenter les quantités diff'érentielles ne fait que reculer la difficulté, car en dernière analyse, le rapport des différences évanouissantes se réduit encore à celui de zéro à zéro.

« D'ailleurs, on peut observer que c'est improprement qu'on applique le mol connu de limite à ce que devient une expression analytique lorsqu'on y fait évanouir certaines quantités, parce que ces limites, après avoir décru jusqu'à zéro, pourraient encore devenir négatives; de même qu'en géométrie, on ne peut pas dire à la rigueur que la sous-tangente soit la limite dessous-sécantes, parce que rien n'empêche la sous -sécante de croître encore lorsqu'elle est devenue sous-tangente.

« Les véritables limites, suivant les notions des anciens, sont des quantités qu'on ne peut passer, quoiqu'on puisse s'en approcher aussi près que l'on veut : telle est, par exemple, la circonférence du cercle à l'égard des polygones, inscrit et circonscrit, parce que, quelque grand que devienne le nombre des côtés, jamais le polygone intérieur ne sortira du cercle, ni l'extérieur n'y (entrera. Ainsi les asymptotes sont de véritables limites des courbes auxquelles elles appartiennent, etc.

« Au reste, je ne disconviens pas qu'on ne puisse, par la considération des limites envisagées d'une manière particulière, démontrer rigoureusement les principes du calcul différentiel, comme Maclaurin, d'Alernbert et plusieurs autres auteurs, après eux, l'ont fait. Mais l'espèce de métaphysique que l'on est obligé d'y employer, est, sinon contraire, du moins étrangère à l'esprit de l'analyse qui ne doit avoir d'autre métaphysique que celle qui consiste dans les premiers principes et dans les premières opérations fondamentales du calcul.

« A l'égard de la méthode des fluxions, il est vrai qu'on peut ne les considérer que comme les vitesses avec lesquelles les grandeurs varient, et y faire abstraction de toute idée mécanique; mais la détermination analytique de ces vitesses dépend aussi, dans cette méthode, de la considération des quantités infiniment petites ou év.inouissantes : elle est par conséquent sujette aux mêmes difficultés que le calcul différentiel.

« Quand on approfondit ces différentes méthodes, ou plutôt ces différentes manières d'envisager la môme méthode, on trouve qu'elles n'ont d'autre but que de donner le moyen d'obtenir séparément les premiers termes du développement d'une fonction, en les détachant et les isolant, pour ainsi dire, du reste de la série, parce que tous les problèmes dont la solution exige le calcul différentiel, dépendent uniquement de ces premiers termes; et on peut dire qu'on remplissait cet objet, sans presque se douter que ce fût là le seul but des opérations du calcul qu'on employait.

« La considération des courbes avait fait naître la méthode des infiniment petits, qu'on a ensuite transformée en méthode des évanouissants ou des limites, et la considération du mouvement avait fait naître celle des fluxions. On a transporté, dans l'analyse, les principes qui résultaient de ces considérations ; et on n'a pas

— Hi —

vu d'abord, ou du moins il ne parait pas qu'on ait vu, que les problèmes qui dépendent de ces méthodes, envisagés analyliquement, se réduisent simplement à la recherche des fonctions dérivées, qui forment les premiers termes du développement des fonctions données, ou à la recherche inverse des fonctions primitives par les fonctions dérivées.

« Newton avait bien remarqué, dans sa première solution du problème sur la courbe décrite par un corps grave dans un milieu résistant, que ce problème devait se résoudre par les premiers termes de la série de l'ordonnée; mais il se trompa dans l'applicalion de ce principe ; et, dans sa seconde solution, il employa purement la méthode différentielle, en considérant les différences de quatre ordonnées successives; et, quoiqu'il ait laissé subsister le passage où il dit que le problème se résoudra par les premiers termes de la série, on voit que ce passage n'a plus de rapport immédiat à ce qui précède ni à ce qui suit.

« Il est donc plus naturel et plus simple de considérer immédiatement le développement des fonctions, sans employer le circuit métaphysique des infiniment petits ou des limites ; et c'est ramener le calcul différentiel à une origine purement algébrique que de le faire dépendre uniquement de ce développement.

« Mais, à la naissance du calcul différentiel, on n'avait pas encore une idée assez étendue de ce qu'on entend par fonction.

« Les premiers analystes n'avaient employé ce mot que pour désigner les différentes puissances d'une même quantité. On en a ensuite étendu la signification à toute quantité formée d'une manière quelconque d'une autre quantité; et il est aujourd'hui généralement adopté, pour exprimer que la valeur d'une quantité dépend, suivant une loi donnée, d'une ou de plusieurs autres quantités données.

« Sous ce point de vue, on doit regarder l'algèbre comme la science des fonctions, et il est aisé de voir que la résolution des équations ne consiste, en général, qu'à trouver les valeurs des quantités inconnues en fonctions déterminées des quantités connues. Ces fonctions représentent alors les différentes opérations qu'il faut faire sur les quantités connues pour obtenir les valeurs de celles que l'on cherche ; et elles ne sont proprement que le dernier résultat du calcul.

« Mais, en algèbre, on ne considère les fonctions qu'autant qu'elles résullenl des opérations de l'arithmétique généralisées et transportées aux lettres, an lieu que, dans le calcul des fondions proprement dites, on considère les fonctionsqui résultent de l'opération algébrique du développement en série, lorsqu'on attribue, à une ou à plusieurs quantités de la fonction, des accroissements indéterminés.

« Le développement des fonctions, envisagé d'une manière générale, donne naissance aux fonctions dérivées de différents ordres; et l'algorithme de ces fonctions une fois trouvé, on peut les considérer en elles-mêmes et indépendamment des séries d'où elles résultent. Ainsi une fonction donnée étant regardée comme primitive, on en peut déduire, par des règles simples et uniformes, d'autres fonctions que j'appelle dérivées ; et, lorsqu'on a une équation quelconque entre plusieurs variables, on peut passer successivement aux équations dérivées, et remonter de celles-ci aux équations primitives; ces transformations répondent aux diflférentiations et aux intégrations, mais dans la théorie des fonctions, elles ne dépendent que d'opérations purement algébriques, fondées sur les simples principes du calcul.

« Les fonctions dérivées se présentent naturellement dans la géométrie, lorsqu'on considère les aires, les tangentes, les rayons osculateurs, etc. ; et, dans la mécanique, lorsqu'on considère les vitesses et les forces. Si on regarde, par exemple, l'aire d'une courbe comme fonction de l'abscisse, l'ordonnée en est la première fonction dérivée ou fonction prime ; le rapport de l'ordonnée à la sous-tangente est exprimé par la fonction prime de l'ordonnée, et par conséquent par la seconde fonction dérivée, ou fonction seconde de l'aire. Le rayon osculateur dépend des deux premières fonctions dérivées de l'ordonnée, et ainsi de suite. De même, en regardant l'espace parcouru comme fonction des temps, la vitesse en est la fonction prime, et la force accélératrice en est la fonction seconde. Ce n'est peut-être pas un des moindres avantages du calcul des fonctions, de fournir, pour ces éléments de la géométrie des courbes et de la mécanique, des expressions aussi simples et intelligibles que le sont les expressions algébriques des puissances et des racines.

« Lorsqu'on envisage une fonction relativement à uncdes (juan-

lités qui !a composent, on fait abstraction de la valeur de celte quantité, et on ne considère que la manière dont elle entre dans la fonction, c'est-à-dire, dont elle est combinée avec elle-même et avec les autres quantités. Ainsi la fonction est censée demeurer la même, tandis que cette quantité varie d'une manière quelconque, pourvu que les autres quantités, avec lesquelles elle est mêlée, demeurent constantes; ce qui introduit naturellement, par rapport aux fonctions, la distinction des quantités en variables et constantes. »

M. Euler avait aperçu et indiqué toutes les vérités que M. de la Grange a démontrées.

Trouverait -on dans l'histoire des sciences une grande théorie dont les premières idées, les détails et les preuves appartiennent à un seul homme?