LIVRE SIXIÈME

pjiraîlèles qui s'entreccuipent. Car la ligne qui passera par toutes les intersections de ces parallèles représentera le mouvement composé de ces mouvements inégaux , et inégalement accélérés ou diminués.

Par exemple, si Ton suppose qu'un corps soit mû par deux forces égales ou inégales telles qu'on voudra, qu'un de ces mouvements augmente ou diminue toujours selon une progression géométrique ou arithmétique telle qu'on voudra, et que Tautre mouvement augmente ou diminue aussi selon une progression arithmétique ou géométrique telle qu'on voudra ; pour trouver les points par lesquels doit passer la ligne qui représente aux yeux et à l'imagination le mouvement composé de ces mouvements, voici ce qu'il y a à faire.

H faut d'abord tirer, comme l'on a dit , les deux lignes A B et A C, pour exprimer les deux mouvements simples, et diviser ces lignes selon la supposition de ['accélération de ces mouvements. Si Ton suppose que le mouvement exprimé pai" la ligne A C augmente ou diminue selon une progi-ession arithmétique 1, 2, 3, 4, 5, il faut la diviser aux points marqués 1, 2, 3, 4, 5 ; et si Ton suppose que le mouvement exprimé par la ligne A B augmente selon la progression double i, 2, 4, 8, 1 6, ou diminue selon la progression sous-double 4, 2, 1 , il faut la diviser aux points marqués 1, 2, 4, 8, 46, ou 4, 2, 1, 4-- Ensuite il faut tirer par ces divi-

sions des parallèles à A B et à A G ; et la ligne A E , qui doit exprimer le mouvement composé que Ton cherche , passera nécessairement par tous les points où ces parallèles s'entrecouperont. Et ainsi l'on voit le chemin que ce corps mû doit tenir.

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Si l'on veut conncûtre exactement combien il y a de temps que ce corps a commencé d'être . remué lorsqu'il est arrivé à un tel points les parallèles tirées de ce point sur A B ou sur A C le marqueront, car les divisions de A B et de A C marquent le temps. De même, si Ton veut savoir le point où ce coj-ps sera arrivé en un tel temps , les parallèles tirées des divisions des lignes A B et A C, qui représentent ce tem[>s, , marq[ueront parleur intei'section ce point que ro,n cherche. Pour réloignement du lieu d'où il a commencé à se mouvoir, il sera tonjonrs facile de le connaître en tirant ime ligne de ce point vers A, car la longuenr de cette ligne se eonnaîtra par rapport à A B ou à A C qui sont connues. Mais pour la longueur du chemin que ce corps aura fait pour arriver à ce pohit, il sera diftîcile de la connaître, à cause que la ligne de son mouvement A E étant courbe, on ne peut la rapporter à aucune de ces lignes droites.

Que si l'on voulait déterminer les points infinis par lesquels ce corps doit passer, c'est-à-dire décrire exactement , et par un mouvement continu, la ligne A E, il serait nécessaire de se faire un compas dont le mouvement des jambes fût réglé, selon les conditions exprimées dans les suppositions que l'on vient de faire. Ce qui est souvent très-difficile à inventer, impossible à exécuter, et assez inutile pour découvrir les rapports que les choses ont entre elles, puisque l'on n'a pas d^ordinaire besoin de tous les points dont cette ligne est composée, mais seulement de quelques-uns qui servent à conduire l'imagination lorsqu'elle considère de tels mouvements.

Ces exemples suffisent pour faire connaître que l'on peut exprimer par lignes , et représenter ainsi à l'imagination la plupart de nos idées; et que la géométrie, qui apprend à faire toutes les comparaisons nécessaires pour connaître les rapports des hgnes, est d'un usage beaucoup plus étendu qu'on ne le pense ordinairement. Car enfin l'astronomie, la musique, les mécanifjues et généralement toutes les sciences qui traitent des choses capables de recevoir du plus ou du moins, et par conséquent que l'on peut regarder comme étendues, c'est-à-dire, toutes les sciences exactes, se peuvent rapporter à la géométrie, parce que toutes les vérités spéculatives ne consistant (jue dans les rapports des choses et dans les rapports qui se trouvent entre leurs rappoî'ts, elles se peuvent toutes rapporter à des lignes. On en peut tirer géométrique-

meut plusieurs conséquences; et ces conséquences étant rendues sensibles par les lignes qui les représentent, il n'est presque pas possible de se tromper, et l'on peut pousser les sciences fort loin avec beaucoup de facilité.

La raison, par exemple, pour laquelle on reconnaît ti'ësdistinctement et Ton marque précisément dans la musique une octave, une quinte, une quarte, c'est que l'on exprime les sons avec des cordes exactement divisées , et que Ton sait que la corde qui sonne l'octave est en proportion double avec Fautre avec laquelle se fait l'octave ; que la quinte est en proportion sesquialtère ou de trois à deux, et ainsi des autres. Car Toreille seule ne peut juger des sons avec la précision et la justesse nécessaire à une science. Les plus habiles praticiens, ceux qui ont Foreille la plus délicate et la plus fine, ne sont pas encore assez sensibles pour reconnaître la différence qu'il y a entre certains sons ; et ils se persuadent faussement qu'il n'y en a point, parce qu'ils ne jugent des choses que par le sentiment qu'ils en ont. Il y en a qui ne mettent point de différence entre une octave et trois ditons *. Quelques-uns même s'imaginent que le ton majeur n'est point difféi-ent du ton mineur; de sorte que le comma, qui en est la différence, leur est insensible, et à plus forte raison le schisma. qui n'est que la moitié du comma.

11 n'y a donc que la raison qui nous fasse manifestement voir que Tespace de la corde , qui fait la différence entre certains sons, étant divisible en plusieurs parties, il peut y avoir encore un très-grand nombre de différents sons utiles et inutiles pour la musique, lesquels l'oreille ne peut discerner. D'où il est clair que sans l'arithmétique et la géométrie la musique réguhère et exacte nous serait inconnue, et que nous ne pourrions réussir en cette science que par hasard et par imagination ; c'est-à-dire que la musique ne serait plus une science fondée sur des démonstrations incontestables, quoique les airs que Ton compose par la force de l'imagination soient plus beaux et plus agréables aux sens que ceux que l'on compose par les règles.

De même dans les mécaniques la [jesanteur de quelques poids et la distance du centre de pesanteur de ce poids d'avec Je soutien étant capable du plus et du moins, l'une et l'autre

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se peuvent exprimer par des lignes. Ainsi ^ Ton se sert utilement de la géométrie pour découvrir et pour démontrer une infinité de nouvelles inventions très-utiles à la vie^ et même très-agréables à l'esprit à cause de l'évidence qui les accompagne.

Si y par exemple , on a un poids donné , comme de six livres y que Ton veuille mettre en équilibre avec un poids de trois livres seulement , et que ce poids de six livres soit attaché au bras d'aune balance éloigné du soutien de deux pieds ; sachant seulement le principe général de toutes les mécaniques : que les poids pour demeurer en équilibre doivent être en proportion réciproque avec leur distance du soutien, c'est-à-dire qu'un poids doit être à l'autre poids comme la distance qui est entre le dernier et le soutien est à la distance du premier d'avec le même soutien^ il sera facile de trouver, par la géométrie, quelle doit être la distance du poids de trois livres afin que tout demeure en équilibre , en trouvant, selon la douzième proposition du sixième livre d'Euclide , une quatrième ligne proportionnelle qui sera de quatre pieds. De sorte que, sachant seulement le principe fondamental des mécaniques , on peut découvrii' avec évidence toutes les vérités qui en dépendent en appliquant la géométrie à la mécanique , c'est-à-dire en exprimant sensiblement par des lignes toutes les choses que l'on considère dans les mécaniques.

Les hgnes et les figures de géométrie sont donc très-propres pour représenter à Timagination les rapports qui sont entre les grandeurs ou entre les choses qui diffèrent du plus et du moins, comme les espaces, les temps, les poids, etc., tant à cause que ce sont des objets très-simples qu'à cause qu'on les imagine avec beaucoup plus de facilité. On pourrait même dire , à l'avantage de la géométrie , que les lignes peuvent représenter à l'imagination plus de choses que l'esprit n'en peut connaître, puisque les lignes peuvent exprimer les rapports des grandeurs incommensurables, c'est-à-dire des grandeurs dont on ne peut connaître les rapports, à cause qu'elles n'ont aucune mesure par laquelle on en puisse faire la comparaison. Mais cet avantage n'est pas fort considérable pour la recherche de la vérité , puisque ces expressions sensibles des grandeurs incommensurables ne découvrent point distinctement à Tesprit leur véritable grandeur.

La géométrie est donc très-utile pour rendre l'esprit alten-

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lif aux choses dont on veut découvrir les rapports; mais il faut avouer qu'elle nous est quelquefois occasion d'errein-, parce que nous nous occupons si fort des démonstrations évidentes et agréables que cette science nous fournit, que nous ne considérons pas assez la nature. C'est principalement pour cette raison que tontes les machines qu'on invente ne réussissent pas^ (jue toutes les compositions de musique où les proportions des consonnances sont le mieux observées ne sont pas les plus agréables, et que les supputations les plus exactes dans l'astronomie ne prédisent quelquefois pas mieux la grandeur et le temps des éclipses. La nature n'est point abstraite : les leviers et les roues des mécaniques ne sont pas des lignes et des cercles mathématiques ; nos goûts pour les airs de musique ne sont pas toujours les mômes dans tous les hommes , ni dans les mêmes hommes en différents \ temps ; ils changent selon les diftërentes émotions des esprits, de sorte qu'il n'y a rien de si bizarre. Enlin, pour ce qui regarde l'astronomie, il n'y a point de parfaite l'égjdarité dans le cours des planètes ; nageant dans ces grands espaces , elles sont emportées irrégulièrement par la matière fluide qui les environne. Ainsi, les erreurs oii l'on tombe dans l'astronomie, les mécaniques , la musique, et dans toutes les sciences auxquelles on applique la géométrie, ne viennent point de la géométrie, qui est une science incontestable, mais de la fausse application qu'on en fait.

On suppose, par exemple, que les planètes décrivent par leurs mouvements des cercles et des ellipses parfaitement régulièi'es ; ce qui n'est point vrai. On fait bien de le supposer, alln de raisonner, et aussi parce qu'il s'en faut peu que cela ne soit vrai ; mais on doit toujours se souvenir que le principe sur lequel on raisonne est une supposition. De même , dans les mécaniques on suppose que les roues et les leviers sont parfaitement durs et semblables à des lignes et à des cercles mathématiques sans pesanteur et sans frottement ; ou plutôt on ne considère pas assez leur pesanteur, leur frottement, leur matière, ni le rapport que ces choses ont entre elles ; que la dureté ou la grandeur augmente la pesanteur, que la pesanteur augmente le frottement, que le frottement diminue la force , qu'elle rompt ou use en peu de temps la machine, et qu'ainsi ce qui réussit presque toujours en petit ne réussit presque jamais en grand.

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Il ne faut donc pas s'étonner si on se trompe , puis<|Lie l'on veut raisonner sui- des principes qui ne sont point exactement connus ; et il ne faut pas s'imaginer que la géométrie soit inutile à cause qu'elle ne nous délivre pas de toutes nos erreurs. Les suppositions établies ^ elle nous fait raisonner (^nséquemment. Nous rendant attentifs à ce que nous considérons^ elle nous le fait connaître évidemment. Nous reconnaissons môme par elle si nos suppositions sont fausses : car étant toujours certains que nos raisonnements sent vrais ^ et l'expérience ne s'accordant point avec eux , nous découvrons que les principes supposés sont faux. Mais sans la géométrie et l'arithmétique on ne peut rien découvrir dans les sciences exactes qui soit un peu difficile , quoiqu'on ait des principes certains et incontestables.

On doit donc regarder la géométrie comme une espèce de science universelle qui ouvre l'esprit^ qui le rend attentif^ et qui lui donne l'adresse de régler son imagination et d'eu tirer tout le secours qu'il en peut recevoir : car, par le secours de le géométrie , l'esprit règle le mouvement de l'imagination, et l'imagination réglée soutient la vue et l'application de l'esprit.

Mais , afin que l'on sache faire un bon usage de la géométrie, il faut remaivjuer que toutes les choses qui tombent sous l'imagination ne peuvent pas s'imaginer avec une égaie faciUté ; car toutes les images ne remplissent pas également la capacité de l'esprit. 11 est plus difficile d'imaginer un solide qu^in plan , et un plan qu'une simple ligne : car il y a plus de pensée dans la vue claire d'un solide que dans la vue claire d'un plan et d'une ligne. Il en est de même des différentes lignes ; il faut plus de pensée, c'est-à-dire plus de capacité d'esprit, pour se représenter une ligne parabolique ou elliptique , ou quelques autres plus composées, que pour se représenter la circonférence d'un cercle , et plus pour la circonférence d'un cercle que pour une ligne droite, parce qu'il est plus difficile d'imaginer des Ugnes qui se décrivent par des mouvements fort composés et qui ont plusieurs rapports , que celles qui se décriventpar des mouvements très-simples ou qui ont moins de rapports. Car les rapports ne pouvant être clairement aperçus sans l'attention de l'esprit à plusieurs choses, il faut d'autant plus de pensée pour les apercevoir qu'ils sont en plus grand nombre. Il y a donc des figures si composées que Yç/àr