C:R., T. XXII, p. 2 (5 janvier

S I. — Sur la fonction de six variables, qui est tout à la fois transitive par rapport à trois et à cinq variables, et intransitive par rapport à quatre.

Soient

Q une fonction de six variables x, Mu, 0, w; M le nombre de ses valeurs égales; m le nombre de ses valeurs distinctes.

On aura mM —=1.2.3.4.5.6

ou, ce qui revient au même, (1) m M = 720.

Soit d’ailleurs H, le nombre des substitutions qui renferment / variables et n’altèrent pas la valeur de la fonction Q. Si cette fonction,

étant transitive par rapport à six et à cinq variables, offre plus de deux valeurs distinctes, alors, d’après ce qu'on a vu dans les paragraphes précédents, elle aura 6, 12 ou 24 valeurs distinctes et sera toujours altérée par toute substitution qui déplacera deux ou trois variables;

on aura donc, non seulement .

Fr à H,=0,

mais encore | 7 Réume : 8 Hi

Cela posé, les formules établies dans la séance du ro novembre don-

neront | M=H,+4H;+ H,+ 1, M H,+2H,+ 6, M — , 2H, -+ 30, et l’on en conclura (2) H;=1}1M —10, H= 34, H,=2:M —:15.

Soit maintenant AN EE ON |

une substitution relative aux six variables

et composée de facteurs circulaires dont le premier soit de l'ordre a, le second de l’ordre b, le troisième de l’ordre ce, etc. Soient encore

w,.5...… le nombre des formes que peut revêtir la substitution P,,5.. exprimée à l’aide de ses facteurs cireulaires, lorsqu'on met toutes les variables en évidence, et que l’on s’astreint à faire toujours occuper les mêmes places, dans cette substitution, par des facteurs circulaires de même ordre; R |

sue... le nombre total des substitutions semblables à P,,,c,... qui peuvent être formées avec les six variables æ, y, 3, 4, 6, 4, ...3

le nombre de celles de ces substitutions qui n’altèrent pas la

valeur de Q;

EXTRAIT N° 320. 7 ke... 1e nombre des valeurs distinctes de Q qui ne sont pas altérées par la substitution P, ,.

Puisque, dans l'hypothèse admise, les substitutions qui n’altéreront pas Q déplaceront quatre variables au moins, celles de ces substitutions qui déplaceront quatre ou cinq variables devront être régulières (séance du 8 décembre), et par conséquent circulaires, si elles déplacent cinq variables. On aura donc, non seulement

; Pacte 0, Peur O, mais encore À v fon hs.

On aura, au contraire, H,= h,+ ho,

Fra hs + Ls,3 + R3,2,2 + Ro, é Donc les formules (2) donneront (3) Ri+ has LM — 15, hi 24;

D'autre part, on aura généralement (séance du 15 décembre) (5) MAS x: = Du,b,c,.. LT OR

et les deux nombres Rai: ES CRT

dont le premier sera égal ou inférieur à la limite 5,43... le second égal ou inférieur à la limite »2, ne pourront atteindre simultanément ces deux limites que dans le cas où Q ne sera Jamais altéré par aucune substitution de la forme Pare Enfin les nombres

Du,b,c,…. Oa,b,ce,…..

seront liés entre eux par la formule

(6) Da,b,c,.….. Babe... — m M — 720;

ERA R RNA ERA à 4 OF THE