TS SI LUE
) nn
on désigne par X\) la dérivée de X de l’ordre l, on aura, pour æ = 1, (8) À = 0, ÂÆ'= 0, ave AG) = 0 (mod. n»).
Nota. — Pour établir ce dernier théorème, il suffit de différentier n — 2 fois, par rapport à x, l'équation (5), réduite à la forme ai Æ(x —1),
et de poser ensuite VAL E
TaéorRÈME V. — Supposons que, f(x) étant une fonction entiére de x, on pose successivement (9) fi(z)=æxf"(x), (td) et (zx),
Alors, en prenant f(z) = (z}),
on aura, pour toute valeur entière de m,
fn (x) = km qn(x});
el en prenant f(zæ)=o(xz)y(x), on aura
fe) = ge) m2) + À QUE) m3 (Ze) +2 + pm (x) (2)
Fi #4
EXTRAIT Nc 375, 357 Tnéorème VI. — Sr le polynôme radical f (p), à coefficients entiers, est tel que l’on ait (10) f(o) =0 (mod. x),
on aura encore
(11) f{i)=o, fi(r)=o, f(1)=o ..., f,-.(i) =0o à (mod. n). TuéorÈème VII. — Sz le polynôme radical f (2), à coefficients entiers, est
tel que l’on ait
ba) o(p}—o(p')=o (mod.r),
on aura encore
G3) gt=o, Wi)æo, ., usli)æ=o (mod. n);
et st, dans le même cas, on pose
oi(æ) p(x)
mx),
alors, én supposant 2(1) non diwvisible par n, on aura (15) P,(1) = 0, D,(1) = 0, at D, ,(1) = 0 (mod. »).
Considérons maintenant en particulier un binôme radical &, qui soit une fonction linéaire de o, sans être divisible par un nombre
entier, en sorte qu’on ait u—a+ bp,
a, b étant des entiers premiers entre eux; et püsons généralement, pour une valeur entière quelconque de /,
(16) uy—= a + bp!.
Enfin, soit (17) I—N(a+bp)
le nombre entier qui représente la factorielle correspondante au bi-
nôme & + bp. Ce nombre ne pourra, comme l’on sait, avoir pour facteurs premiers d’autres entiers que le nombre » et des nombres premiers de la forme rx + 1. A cette Piper déjà connue, j'ajoute les théorèmes suivants :
TaéorÈME VIIT. — Supposons que, le nombre L étant l'un quelconque
des termes de la suite PAL PRE CREER UE
on nomme a, un autre de ces termes, choisi de manière à vérifier la con-
dition (18) la; =1 (mod. n), el posons
(19) PP) = PF Ua Uage ++ Ua
l’exposant W. étant un nombre entier. Soit, d ‘ailleurs, F(p) un polynôme radical à coefficients entiers. Si, le nombre a + b étant premier à n, le nombre V, déterminé par l'équation (17), est une puissance entière du degré n, on pourra choisir l'exposant y. et le polynôme F(e) de manière à vérifier la formule
; o(p”t) Hi EI 2 e® FE |’
et, par conséquent, la suivante :
(21) o(p-t)—o(p)=o (mod.n).
TuéorÈmE IX. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème
précédent, nommons s une racine primitive de l'équation (22) ani = (mod. n).
Soient d’ailleurs a, l’un quelconque des nombres
di, As a A | A1»
Re PR
el a, celur d’entre ces mêmes nombres qui vérifie la condition
(23) a;=+Es"an.
Enfin posons SA (24) CF mere ma D ss dy
el soit w la valeur numerique de la résultante formée avec les divers
termes du tableau
F ©i,1» X1,25 ten Œ n—15 our Us,19 Tg,29 °, X n—1 , lé ] :
…. …. TS, Le ee , An] , Xn—1 , ARE de An—1 n—1»
annee dE | 52 1 e \ 2 2 2 2
termes dont chacun se réduit, au signe pres, à l'unité. On pourra choisir
l'exposant y de manière que, pour une valeur quelconque du nombre en-
à ; À Go; \® . $ " 7 ; * tier L, l'expression (e® “1) se réduise à la n°" puissance d’un rapport Uy
