C.R., T. XXV, p. 132 (26 juillet

La théorie des indices modulaires ne fournit pas seulement divers moyens de décomposer les nombres entiers en facteurs radicaux, elle

EXTRAIT N° 575. 399 permet encore d'établir avec facilité un grand nombre de propositions qui paraissent propres à intéresser les géomètres, et qui, jointes à plusieurs autres, peuvent être utilement employées pour la démonstration du dernier théorème de Fermat. Afin de ne point dépasser les bornes prescrites aux articles qui doivent être insérés dans les Comptes rendus, je me bornerai aujourd’hui à donner une idée de ces diverses propositions, en annonçant celles qui semblent mériter d'être particulièrement remarquées.

Taéorème [. — Soit, comme nous l'admetirons généralement ici, n un

nombre premier impair. Soit encore p une racine primitive de l ‘équation (1) Éd à

et nommons f(p) un polynôme radical à coefficients entiers, forme avec

les puissances de ©. Si f( o) est divisible par 1 — p, on aura (2) f(1)=o (mod. x),

el réciproquement, st celle derrière condition est satisfaite, f(o) sera divr-

sible par 1 — p.

TaéorèMe Il. — Supposons le polynôme radical f(o) décomposable en

deux facteurs de même espèce 9(p), 7 (p), en sorte qu'on ait

St f(e) est divisible par (1 — 2), l'étant un nombre entier quelconque,

alors o(e); Zx(P)

seront respectivement divisibles par deux expressions de la forme P (1— 0), (1 —p}#,

h, k étant deux nombres entiers, dont l’un pourra étre nul, et dont la

somme sera Î.

Taéorème [IE — Sort toujours

f(p) = 9(p) (pb).

Si l’on a

(4) f(g)=o (mod.n),

sans avoir en même Lemps

(5) 4(U)=0o (mod.h),

on aura nécessdiremertt

(5) o(p)}=o (mod.n).

TréorËèmE IV. — Si, en posant

Fr ——