C.R., T. XXV, p. 4or (20 septembre

Les nouvelles méthodes que j'ai données pour la détermination des orbites et des mouvements des corps célestes ne sont pas, il importe de le remarquer, des théories purement spéculatives; et si, d’une part, elles peuvent contribuer au progrès de l’Analyse mathématique, d'autre part, elles offrent des moyens de caleul qui s'appliquent utilement à la solution des grands problèmes de l’Astronomie. Déjà, dans de précédents Mémoires, j'ai déduit des résultats numériques de la méthode par laquelle j'étais parvenu à déterminer, dans la théorie des mouvements planétaires, les perturbations d’un ordre élevé, et j'ai fait voir que l’on pouvait retrouver ainsi la grande inégalité découverte par M. Le Verrier dans le mouvement de Pallas. J'avais promis de montrer aussi, sur un exemple, les avantages que présentent mes formules pour la détermination des orbites des planètes et des comètes. En cédant aujourd’hui au vœu de plusieurs savants qui réclament l’accomplissement de cette promesse, je suis heureux de penser que je fournirai ainsi aux astronomes, et, en particulier, à mes hono-

rables confrères du Bureau des Longitudes, un moyen facile de fixer avec une grande précision les éléments des orbites des petites planètes récemment découvertes par divers observateurs. Entrons maintenant dans quelques détails.

Pour déterminer aussi exactement qu’on le peut les éléments de l'orbite d’une planète à une époque donnée, en les déduisant d’observations astronomiques, il convient de résoudre successivement deux problèmes-bien distincts l’un de l’autre. Le premier consiste à développer les quantités variables, spécialement la longitude et la latitude de la planète, suivant les puissances du temps mesuré à partir de l’époque donnée. Le second problème consiste à substituer les coefficients des premiers termes des développements dont il s’agit, dans des formules simples desquelles on puisse aisément déduire des distances de la planète au Soleil et à la Terre, et, par suite, les divers éléments de l'orbite cherchée. Le premier problème peut être aisément résolu à l’aide de la méthode d’interpolation que j'ai proposée dans un Mémoire publié en 1833, et réimprimé dans le Journal de M. Liouville (!). Comme je l’ai remarqué, cette méthode offre de nombreux avantages qui permettent d'arriver promptement et sûrement aux développements cherchés. En effet, elle substitue à la recherche des divers termes du développement de l’une quelconque des quantités variables la recherche d’une certaine espèce de différences finies de divers ordres, représentées par des fonctions linéaires des valeurs observées de la variable, ou des différences déjà calculées. Or ces fonctions linéaires sont faciles à former, attendu que dans chacune d'elles chaque coefficient se réduit, au signe près, à l'unité; et d’ailleurs elles sont précisément celles qui offrent les moindres chances d'erreurs possibles. Ce n’est pas tout : la méthode dont il s’agit peut faire concourir à la solution du problème un nombre quelconque d'observations dont les résultats sont combinés entre eux par voie d’addition et de soustraction seulement; et le calcul, loin de se compliquer,

(1) Œuvres de Cauchy, S. W, Y. IE.

tandis que l’on avance, devient d'autant plus simple, qu'il est appliqué à la recherche de différences finies d’un ordre plus élevé. Ajoutons que la méthode, fournissant elle-même la preuve de la justesse des opérations effectuées, ne permet pas au calculateur de commettre la faute la plus légère, sans qu’il s’en aperçoive presque immédiatement, et que le calcul s’arrête de lui-même à l'instant où l’on atteint le degré d’exactitude auquel on pouvait espérer de parvenir. Remarquons enfin que les divers termes des développements cherchés peuvent être aisément déduits des différences finies dont nous venons de parler, et de la détermination de certains nombres dont les valeurs dépendent uniquement des époques auxquelles les observations ont été faites. Si le calculateur connaît ces époques sans connaitre les observations elles-mêmes, il peut immédiatement caleuler les nombres dont il s’agit, et achever ainsi, chose singulière, la partie la plus laborieuse de tout son calcul.

Les premiers termes des développements des variables étant calculés, comme on vient de le dire, et déduits d'observations dont je supposerai le nombre égal ou supérieur à quatre, on connaîtra les dérivées des trois premiers ordres de chaque quantité variable, différentiée par rapport au temps, ou plutôt leurs valeurs correspondantes à l’époque donnée; et il ne restera plus qu’à substituer ces valeurs dans des formules simples desquelles on puisse aisément tirer les éléments de l’orbite avec les distances qui séparent le Soleil et la Terre de l’astre observé. Remarquons d’ailleurs que ce dernier problème ne serait pas complètement déterminé, si le nombre des observations n’était pas au moins égal à quatre, deux orbites distinctes l’une de l’autre pouvant satisfaire à trois observations données. L'hypothèse admise est donc celle qu’il convenait d'adopter. Or, dans cette hypothèse, si l’on prend pour inconnues les distances de l’astre observé à la Terre et au Soleil, on déterminera facilement les valeurs de ces deux inconnues à l’aide des opérations très simples que je vais indiquer.

1° Une équation linéaire déterminera immédiatement le cube de la distance r de l’astre au Soleil, et, par suite, cette distance elle-même.

jy tete res

Mais, comme cette première équation renferme des dérivées du troisième ordre, dont les valeurs se déterminent avec moins de précision que celles des dérivées du premier et du second ordre, la distance calculée pourra n’être pas rigoureusement exacte, et il conviendra de lui faire subir une correction dont nous parlerons tout à l'heure.

2° Lorsqu'on aura déterminé approximativement, comme on vient de le dire, la distance r de l’astre au Soleil, une seconde équation linéaire, qui renferme des dérivées du premier et du second ordre, fournira une valeur approchée de la distance r’ de l’astre à la Terre. Ajoutons que cette dernière distance sera déterminée avec une plus grande précision, si on la déduit de la résolution du triangle rectiligne qui a pour sommets les centres de la Terre, du Soleil et de l’astre observé, c’est-à-dire, en d’autres termes, si on la déduit de la résolution d’une équation du second degré qui renferme seulement, avec les distances cherchées, deux constantes relatives à la position de la Terre et deux angles fournis par l'observation.

3° Lorsqu'on aura déterminé approximativement, ainsi qu’on vient de l'expliquer, les valeurs des deux inconnues 7, r’, alors, pour obtenir des valeurs plus exactes, il suffira d'appliquer la méthode d’approximation linéaire ou newtonienne à la résolution simultanée des deux équations desquelles se déduit la distance r’ de la Terre à l’astre observé. En effet, il importe de le remarquer, la méthode d’approximation newtonienne s'applique, avec la plus grande facilité, à l’évaluation rigoureuse, non seulement d’une seule inconnue déterminée par une seule équation, mais encore de deux, trois, ... inconnues, déterminées par deux, trois, ... équations, lorsque déjà l’on possède des valeurs approchées de ces inconnues. D'ailleurs, les deux équations auxquelles on appliquera la méthode dont il s’agit ne renferment aucune dérivée du troisième ordre, mais seulement des dérivées du premier et du second ordre, qui, par aucun moyen, ne sauraient être bannies entièrement du calcul. Donc, en définitive, si l’on applique la méthode newtonienne à ces mêmes équations, après avoir déter-

miné les valeurs approchées de r et r’ à l’aide de l'équation du second OEuvres de C.— S.1,t.X. 48

378 COMPTES RENDUS DE chtavéute.

degré, jointe à l’équation linéaire qui renferme des dérivées du troisième ordre, on obtiendra, sans aucun tâtonnement et par ‘un calcul très rapide, les distances de l’astre observé au Soleil et à la Terre, avec une exactitude égale ou même supérieure à celle que produisent les laborieux calculs dans lesquels on fait usage de trois observations seulement.

Pour vérifier ces conclusions sur un exemple qui pût les rendre évidentes à tous les yeux, j'ai appliqué la méthode que je viens d’exposer au calcul des distances qui séparaient Mercure du Soleil et de la Terre, le 16 août 1842, à l'instant de son passage au méridien, en déduisant les distances des seules observations faites les 14, 15, 16, 17 Cet 18 août, à l'Observatoire de Paris. Les valeurs que j'ai obtenues, en prenant pour unité la distance de la Terre au Soleil, sont, à très peu près, comme on le verra dans ce Mémoire, 0,32 et 1,30. Ces valeurs, qui se trouveront très légèrement modifiées si, comme il est aisé de le faire, on a égard à l’aberration et à la parallaxe, coincident effectivement, lorsqu'on néglige le chiffre des millièmes, avec celles que fournissent les Tables astronomiques.

Je ferai, en terminant, une dernière remarque.

Lorsqu'on appliquera la nouvelle méthode à des astres pour lesquels les perturbations du mouvement elliptique ou parabolique ne deviendront sensibles qu’au bout d’un temps considérable, il sera très avantageux de faire concourir à la détermination des éléments de l’orbite un grand nombre d'observations, quand même les époques de ces observations seraient assez éloignées les unes des autres. On obtiendra ainsi des valeurs beaucoup plus exactes des éléments des orbites, sans augmenter beaucoup le travail du calculateur; car il n°v aura de changés que les nombres fournis par les formules d’interpolation: et comme on l’a vu, les fonctions linéaires dont ces formules supposent la formation se composent simplement des diverses valeurs des quantités variables, ou de leurs différences des divers ordres, combinées entre elles par voie d’addition ou de soustraction.

S I — Méthode d’interpolation.

Soit « le temps compté à partir d’une époque fixe. Une fonction « de £, supposée continue dans le voisinage de cette époque, sera développable, du moins entre certaines limites, suivant les puissances ascendantes de /; et, si l'on pose

e ne

(1) u=a+bt+c— + d— +..., Pa lise

les coefficients a, b, c, d, ... représenteront les diverses valeurs de la fonction et de ses dérivées des divers ordres, à l’époque dont il s’agit. Si, d’ailleurs, des observations faites avec soin fournissent diverses valeurs particulières de w correspondantes à des valeurs positives, nulle, ou négatives de #, on pourra aisément déduire de la méthode d'interpolation, que j'ai donnée en 1833 (*), les valeurs des coefficients &, b, c, .... Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Supposons, pour plus de commodité, que l'époque à partir de laquelle se mesure le temps soit celle de l’une des observations. La valeur a de « sera fournie par cette observation même; et, si l’on pose 6 —u— &, On aura

tè

(2) | A da pee A AP Eu LL

Supposons d’ailleurs que, f(e) étant une fonction de £ qui s’évanouisse avec {, on désigne par St la somme des valeurs numériques de 4 relatives aux observations diverses; puis par Sf(z) la somme des valeurs correspondantes de f(4), chacune de ces dernières valeurs étant prise avec le signe +, ou avec le signe —, suivant qu'elle correspond à une valeur positive ou négative de #; et représentons par Af(4) une espèce de différence finie de f(4), déterminée par le système des deux for-

mules t (3) TL US (4) Af(t)—=f(4)— aSf(e).

(1) Œuvres de Cauchy, S. H, T. IX.

Si, dans la seconde de ces formules, on remplace successivement f(4)

e par — et par #, on en tirera

: t? L° lt?

(6) Ap—p—asSv.

Le PU à Supposons encore que l'on désigne par S'A= la somme des valeurs

numériques de A» relatives aux diverses observations; puis par

S'Af(t) la somme des valeurs correspondantes de Af(4), chacune de ces dernières valeurs étant prise avec le signe +, ou avec le signe —,

se , 0 ce suivant qu'elle correspond à une valeur positive ou négative de A—; et représentons par A°f(2) une espèce de différence finie du second ordre, déterminée par le système des deux formules

| A— (7) ê— 2° S'A — (8) A?f(t)— Af(t)—6S'Af(L).

Enfin, concevons que, en continuant de la sorte, on détermine successivement les valeurs des variables «, #, y, ..., à l’aide des formules L FR t 2 2,3 (9) a— 2 6— JR +

Tr PE / s'AŸ sr ar 2 2

chacun des signes S, S’, S”, indiquant la somme des valeurs numériques de la quantité variable qu'il précède, et les différences finies

A an 2? 4.3

étant déterminées elles-mêmes par les équations

L? L? l? t L3 PE] sd” lt: je RS CE Es . PNED ET PE CE LUF à FRS 120, RES PE {10) == aS —) M =A— SS'A

Il est facile de voir que les quantités Av, 476, A°6, .…, détérminées par le système des formules

(11) A0= 9 — aSv, A°6 — Ap — 6$' Av, A3v — Av — yS" Ar, PER

représenteront des espèces de différences finies de divers ordres de la fonction +, qui s’évanouiront toutes, si u— ++ a se réduit à une fonction linéaire de 4; toutes, à l'exception de la première, si w se réduit à une fonction de # entière et du second degré; toutes, à l’exception des deux premières, si u se réduit à une fonction de # entière et du troisième degré, etc.

Ce principe étant admis, supposons les diverses observations faites à des époques assez voisines les unes des autres pour que, le temps étant compté à partir de l’une d’entre elles, quelques termes du développement de w, par exemple les quatre ou cinq premiers termes, restent seuls sensibles. Alors le calcul numérique des valeurs de Av, 4?v, A°e, .…, correspondantes aux diverses observations, ne tardera pas à fournir des quantités qui seront sensiblement nulles, et qui pourront être négligées, eu égard au degré d’approximation que l'on peut espérer d'atteindre, par exemple des quantités qui seront comparables aux erreurs d'observation. Or il est clair qu’on devra dès lors s'arrêter, sans chercher à pousser plus loin le calcul des différences finies

Ae, : le; Mo,

IL est clair aussi qu’en réduisant à zéro la première de ces différences, qui sera de l’ordre des quantités que l’on néglige, on réduira le système des formules (11) à un petit nombre d'équations qui, jointes aux formules (9) et à l'équation

(12) | uU=A+V,

fourniront immédiatement la valeur de # développée en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de £.

Il importe d'observer que, si le calculateur connaît les époques des observations sans connaître les observations elles-mêmes, il pourra

immédiatement déduire des formules (9) et (ro) les valeurs des variables &, 6, y, ..., correspondantes aux observations diverses, et, par suite, les valeurs générales de ces variables exprimées en fonctions entières de 4. Observons encore que l'exactitude de ces premières observations pourra être aisément constatée, attendu que, en vertu des formules (4) et (8), les valeurs de Ar, A?4?, A°15, ..., correspondantes à chaque observation, devront être rigoureusement nulles, Observons enfin que, dans les formules (9), (10), on peut, sans inconvénient, supprimer les diviseurs numériques, et remplacer en conséquence ces formules par les équations

t At? A?

Se or tue Li AT nec

(14) At = àSt, A't5— Ar—6$ Au,

On pourra même, sans altérer les valeurs de «, 6, y, ..., remplacer les diverses valeurs de £ par des quantités qui leur soient sensiblement proportionnelles. Cette remarque permet de calculer très facilement les valeurs de &, 6, y, ..., qui répondraient à des observations équidistantes.

Si, pour fixer les idées, on veut déduire Le développement de « de cinq observations équidistantes, le temps étant compté à partir de l’époque de l'observation moyenne, on pourra remplacer les cinq valeurs de z par les cinq termes de la progression arithmétique — 2, — 1,0, 1, 2. Alors les valeurs des quantités variables #, &?, 4°, 1 et de leurs différences finies s’évanouiront pour l'observation moyenne, tandis que ces mêmes valeurs, et celles de «, 6, y, à, seront fournies, pour les quatre autres observations, par le Tableau suivant :

Valeurs de...

Valeurs de x.

Valeurs de...

Valeurs de 6.

Valeurs de...|...

Valeurs de...

Valeurs de y.

Valeurs de...

Valeurs de...|...

Valeurs de...

Valeurs de à.

vs de +

t 2 a t* —2; —1;1; 2 RÉ r4 — 8; —1;,1; 8 16512 1: 36 St=6 St?= 0 S13 = 18 S#=0 COR PURE Pi et 3 6: 623 aSt aSt? aSt3 aSt* 25 —15152| 0; 0;0;0 —6; —3;3;6 #0:0 At Ar? AU At* 0,0;0;0 AS 14 bai; s 16; 1; 1; 16 S'A?— 10 S'AB = 0 S'At== 34 + nent Re 0,4: 0,1; 0,1; 0,4 er ES 6S'ae? 6S'AI3 6S'At* 4,151; 4 050;0;0 |13,6; 3,4; 3,4; 13,6

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Après avoir ainsi déterminé les valeurs particulières de x, 6, y, 0, relatives à chaque observation, il suffira, pour obtenir les valeurs générales des mêmes variables exprimées en fonction de 4, de recourir aux formules (13) et (14), desquelles on tirera

62, PET —18ax + 87, = 3,6 + 9,60

et, par suite,

Ces dernières équations, jointes aux formules (11) et (12), seront celles qui serviront à déduire, de cinq observations équidistantes, les valeurs de Drus °Diu, Did; Dlu,

correspondantes à l’époque de l'observation moyenne, lorsque les différences finies de &, du cinquième ordre, seront de l’ordre des quantités que l’on néglige, et comparables, par exemple, aux erreurs d’observation.

Remarquons, en terminant ce paragraphe, que, si les époques des observations ne sont pas rigoureusement, mais sensiblement équidistantes, les valeurs de x, 6, y, à, ..., calculées comme on vient de le dire, devront seulement subir de très légères corrections, qu’il sera facile de déterminer.

SIL. — Formules pour la détermination des orbites des planètes

et des comètes.

Prenons pour origine des coordonnées le centre du Soleil, pour plan des æ, y le plan de l'écliptique, pour demi-axes des x et y positifs les droites menées de l’origine aux premiers points du Bélier et du Cancer, et pour demi-axe des z positifs la perpendiculaire élevée sur le plan de l’écliptique, du côté du pôle boréal. Soient d’ailleurs

æ, y, = les coordonnées de l’astre observé ; r la distance de cet astre au Soleil ;

« la distance du même astre à la Terre;

2 la projection de cette distance sur le plan de l’écliptique; ?, 0 la longitude et la latitude géocentriques de l’astre ;

x, y les coordonnées de la Terre ;

R la distance de la Terre au Soleil;

5 la longitude de la Terre.

Enfin, prenons pour unité de distance le demi grand axe de l'orbite terrestre, et nommons K la force attractive du Soleil à l'unité de distance. On aura, en supposant les observations renfermées dans un intervalle de temps assez petit pour que les perturbations restent insensibles,

({) æ=x+icospcos, y—=y+esinpcosé, 23—+csint, p—:cos6,

(2) x —R cos, y=Rsins, LE et (3) Dixz+—x—o D? — Y = D? en E 5T—0, + 5Y—0, i5+ 550; K K (4) Dix+pnx—o, Diy+ yo, el, en posant O — /tang0, on tirera des formules précédentes K Ne

les valeurs de À, B, C étant déterminées par les équations

(6) | Cx+[B—(D;9}]coso —(D?o + 2A D,o) sino —0, Cy+[B—(D,;9)] sing + (D?o+2AD,o) COSY — 0,