C.R., T. XXV, p. 531 (18 octobre

Les formules que j'ai données dans le Mémoire du 20 septembre, pour la détermination des orbites des corps célestes, ont été appliquées, dans ce Mémoire, au calcul des distances de Mercure à la Terre et au Soleil. Il importait de montrer, par un nouvel exemple, les avantages que présentent les mêmes formules, surtout la nouvelle méthode d’interpolation, quand on les applique à des astres plus éloignés du Soleil, et spécialement aux petites planètes. Dans ce dessein, j'ai cherché les distances qui séparaient, à l’époque du 12 juillet, le Soleil et la Terre de la nouvelle planète de M. Hencke, en partant de sept positions de cette planète, transmises par M. Yvon Villarceau à M. Faye, qui a eu l’obligeance de me les communiquer. En appliquant la méthode d’interpolation aux sept observations à la fois, j'ai obtenu des différences quatrièmes qui, se succédant sans aucune loi, devaient probablement dépendre des erreurs d'observation, et que l’on faisait effectivement disparaître en supposant chacune de ces erreurs égale ou inférieure à 3 secondes sexagésimales. Il en résultait que, dans les développements de la longitude et de la latitude de l’astre observé en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes du temps, on pouvait négliger les termes proportionnels à la quatrième puissance du temps. Cette circonstance, très favorable à la précision des calculs, n'aurait pas été aussi bien établie, si je m'étais borné à faire usage de cinq observations seulement; quoique alors, comme je m’en suis assuré, on pût obtenir, en limitant chaque développement à trois termes, des valeurs suffisamment exactes pour les deux premiers coefficients. J'ai voulu savoir aussi ce qui arriverait si, en laissant de côté les deux observations extrêmes, on se bor-

nait à déduire de trois des cinq autres les coefficients du temps et de son carré, et il s'est trouvé que, dans ce cas, le coefficient du carré du temps pouvait varier du simple au double, dans le passage d’une époque à une époque voisine. Ces considérations peuvent faire mieux apprécier encore les avantages d’une méthode qui, non seulement permet de faire concourir sans beaucoup de peine un nombre assez considérable d'observations à la détermination des coefficients cherchés, mais qui, de plus, sert à reconnaître dans les nombres fournis par les observations les erreurs probables de ces observations mêmes.

En opérant comme je viens de le dire, j'ai reconnu que, à l’époque du 12 juillet, la nouvelle planète de M. Hencke était séparée du Soleil et de la Terre par des distances que représentaient sensiblement les nombres 2,46 et 1,58. Cette conclusion s'accorde d’ailleurs avec ce qu'a trouvé M. Yvon Villarceau (voir la séance du 13 septembre). Je joins 1ei le résultat de mes calculs. ;

Les sept observations que j'ai prises pour point de départ ont été faites à Berlin les 5, 0, 11, 12, 13, 15 et 21 juillet. Les époques de ces observations, comptées à partir du commencement de juillet; les longitudes et latitudes correspondantes de la planète observée, ou les valeurs de © et de 0; enfin les longitudes héliocentriques correspondantes de la Terre, ou les valeurs de 5, étaient celles qu’indique le

Tableau suivant :

Époques des observations. ?. 6. a.

Juillet 5,39515.... 256. 8.52,0 18.41. 8,7 283. 9. 6,1 0400492: 255.a3.43,r 18.11.34,0 286.58.15,9 11,44948.... 255. 2,56,0 19,53:30,3 288.55.32,3 13,42007::.172354.53:17,9 17.47.26,6 289.54.27,1 13,45512.... 254.44.24,1 17.39.25,2 290.50.21,3 29,45001:::. 4:294.27.44,1 7,29: 13j1 292.44. 3,0 DRASS 47; 1,6 16.31. 8,4 298.33.46,4

De plus, le logarithme de la distance de la Terre au Soleil, à l’époque de l’observation moyenne indiquée par le nombre 12,47867, était 0,0071186. En partant de ces données, et en conservant les notations

adoptées dans le Mémoire du 20 septembre, en prenant d'ailleurs pour origine du temps ? l’époque de l'observation moyenne, et en désignant par @ le logarithme népérien de tang0, j'ai déduit de ma nouvelle méthode d’interpolation les développements de o, 5, O6, ou plutôt de Az, As, AO, et j'ai trouvé :

Le t? Pal Ao ——554",97t + 24",764 - +- 0°; 290 &> F Lg Ad A5 = 3434",75t-+ 0", 32392 cd o”,o161 G’ L? RE le AO — — 0,008037{ — 0,00016092 — + 0,0000026 —- 7 2 6

Les valeurs de A‘, A‘6, fournies par le calcul, pouvaient être attribuées aux erreurs d'observation. Ainsi, en particulier, les valeurs de As étaient

o", : 4 17, 20 sie 9, ou”, Hg E CPE: 2 Le 0", ; 6";3, et se réduisaient aux quantités

ss 4, SU: pare 3"; 8, wi I, CT 1”,8, Es 7» a 4, si l’on admettait une erreur de 2”,1 dans la valeur de + fournie par l'observation moyenne. Pareillement, les valeurs de A‘0, fournies par le calcul, étaient

A D CU RIDE et se réduisaient aux quantités SP, OS NS CON ER 9505.03 si l’on admettait une erreur de 3”, 5 sur la valeur de 0 fournie par l'ob-

servation moyenne. Cela posé, les formules (9), (ro) de la page 580, c'est-à-dire les équations

2 Le ne Le 2) (2) ; = Gun =)

étant appliquées à la détermination des distances r et, qui, à l’époque du 12 juillet, séparaient le Soleil et la Terre de l’astre observé, m'ont donné sensiblement, la première

et la seconde

En substituant cette valeur approchée de « dans la formule (16) de la page 386, c’est-à-dire dans l'équation (3) = R+2k:+ 2, j'en ai tiré approximativement rs 31576, et alors la formule (2) m'a donné v'=—= 1,008:

Cette dernière valeur de « est déjà très approchée de la véritable. Son logarithme 0,2036 est, à + près, le nombre obtenu par M. Yvon Villarceau (vor la séance du 13 septembre). Je ferai ici une remarque importante. Lorsqu'on trouve à très peu près, comme dans l’exemple précédent,

pc

cela indique seulement que . est très petit, ou de l’ordre des quantités comparables aux erreurs d'observation. Dans le même cas, ce n’est plus la valeur de — mais la valeur de « qui se trouve déterminée approximativement par une équation du premier degré, savoir, par l'équation (2), réduite à la forme

(4) FT CR cos

Remarquons encore que si l’on pose, pour abréger, (5) S=t+#,

les équations (3) et (2) deviendront

les constantes g, k, étant déterminées par les formules

pp AE. pH R=k+# ei ; ÉRSAPE MP. Le He R° D'ailleurs, si l’on élimine s entre les formules (6), on en tirera l’équa-

tion

Or, si l’on différentie le premier membre de cette dernière équation

par rapport à r, on obtiendra, pour équation dérivée, la formule

que l’on peut réduire à l'équation trinôme (8) 1 18— 3ghr+3g—o.

Cette dernière admettant seulement deux racines positives, il est aisé d'en conclure que l'équation (3) offre seulement trois racines positives. L'une de ces trois racines est r — R. Les deux autres ont pour limites les racines de l’équation trinôme, qui peuvent être aisément calculées à l’aide de méthodes connues. Par suite aussi, dans l’équation (7), les deux racines positives et distinctes de R seront toujours faciles à déterminer. .

Au reste, si l’on se bornait à déterminer, comme on vient de le dire, les deux racines positives de l'équation (7), distinctes de R, on ne pourrait dire a priori laquelle de ces racines répond à l’astre observé. On n'aura point cet inconvénient à craindre, en suivant la méthode

f OF THE { SITY

hier

Of

ci-dessus exposée, puisque, après avoir obtenu, à l’aide d'une équa-

tion du premier degré, une première valeur approchée de r ou de «,

on pourra en déduire immédiatement, à l’aide de la méthode linéaire

appliquée à la résolution des deux équations (6), de nouvelles valeurs

généralement très exactes des deux distances r et s ++ #4, et, par

conséquent, de nouvelles valeurs de r et de +. En opérant ainsi pour la planète de M. Hencke, j'ai trouvé

ræa,47t, 231910, t = 1,588:

Je terminerai par une dernière remarque. En parcourant tout récemment, d'après l'indication de M. Walz, un ancien Volume des Annales de Mathématiques (années 1811 et 1812), jy ai rencontré ün Mémoire de M. Gergonne, dans lequel il ramenait déjà la détermination de l'orbite d’un astre à une équation du premier degré. Seulement l'inconnue, dans cette équation, était, non plus la distance r ou +, mais

l’une des coordonnées rectangulaires de l’astre observé.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Méthode générale pour la résolution

des systèmes d'équations simultanées.