C.R., T. XXV, p. 572 (25 octobre

S 1. — Considérations générales.

En partant des formules dont je me suis servi dans mes précédents Mémoires, pour calculer les distances de Mercure et d'Hébé au Soleil et à la Terre, et en se servant d'observations faites dans un intervalle de temps pendant lequel les perturbations du mouvement d’un astre resteraient insensibles, on pourrait déterminer exactement l'orbite de cet astre, si l’on parvenait à obtenir les développements de la longitude et de la latitude géocentrique du même astre suivant les puissances ascendantes du temps £, ou du moins les coefficients des termes qui, dans ces développements, renferment des puissances du temps inférieures à la quatrième. C’est à former ces coefficients que servent les méthodes d’interpolation. D'ailleurs, les résultats fournis par ces méthodes sembleraient devoir être d'autant plus exacts, que le nombre des observations employées est plus considérable. C’est pourtant ce qui n'arrive pas toujours, et l’on doit faire à ce sujet une remarque importante. Les anciennes méthodes d'interpolation, par exemple les méthodes de Lagrange et de Laplace, ne peuvent faire concourir à la détermination des coellicients des quatre premiers termes de chaque développement un nombre x d'observations supérieur à quatre, que sous la condition d'introduire dans le développement cherché toutes les puissances du temps d’un degré inférieur à 2. Or cette condition est très peu favorable à la précision des calculs, attendu que les erreurs d'observation peuvent occasionner, dans la détermination du coefli-

cient d'une puissance de 4, des erreurs d’autant plus grandes que cette %

puissance est d’un degré plus élevé. Il en résulte que, dans le cas assez ordinaire où le développement d’une variable pourrait, dans l’intervalle de temps qui sépare les observations extrêmes, être sensiblement réduit à ses quatre premiers termes, les termes suivants, sensiblement nuls, paraîtraient souvent acquérir des valeurs considérables, si, en faisant usage de la méthode d’interpolation de Lagrange ou de Laplace, on voulait faire servir à la détermination des coefficients des quatre premiers termes plus de quatre observations. Il y a plus : la détermination du coefficient de £?, et surtout du coefficient de #?, effectuée à l’aide de ces méthodes, sera souvent très peu exacte, non seulement lorsqu'on fera usage de quatre observations seulement, mais aussi quand ce nombre des observations deviendra supérieur à quatre. Au contraire, dans le cas dont il s’agit, une nouvelle méthode d’interpolation pourra faire concourir avec avantage à la détermination des quatre premiers termes du développement d’une variable plus de quatre observations distinctes, pourvu que l’on ait soin de s'arrêter à l'instant où le calcul fournira des différences comparables aux erreurs d'observation.

Nous avons ici supposé que, dans le développement d’une variable, les termes proportionnels à la quatrième puissance du temps et à des puissances supérieures étaient sensiblement nuls, au moins dans lintervalle de temps qui sépare l’une de l’autre les deux observations extrèmes. Cette circonstance, qui assure l'exactitude des résultats obtenus, se trouvera indiquée, @ posteriori, avec un grand degré de probabilité, lorsqu’en suivant une méthode quelconque d’interpolation, par exemple la méthode de Lagrange ou de Laplace, on aura déterminé à l’aide de quatre observations les quatre premiers coefficients, si le développement trouvé représente ces quatre observations et toutes les observations intermédiaires, avec assez d’exactitude pour que les différences entre les valeurs observées et les valeurs calculées de la variable soient comparables aux erreurs d'observation. La même cireonstance se trouvera encore indiquée, a posteriori, avec beaucoup de probabilité, si, en faisant concourir par la nouvelle méthode toutes les

observations données à la détermination des quatre premiers coefficients, on trouve, pour les différences quatrièmes, ou pour les différences d’un ordre moindre, des valeurs numériques comparables aux erreurs que les observations comportent. Enfin, la circonstance dont il s’agit peut être indiquée, a priori, dans beaucoup de cas, par un calcul dont je vais donner une idée en peu de mots.

L'expérience prouve que, pour des astres dont la lumière est très faible, des erreurs d'observation de quatre ou cinq secondes sexagésimales ne dépassent point les limites du possible, ni même du probable. Done, si l’on cherche les développements des variables, spécialement de la longitude et de la latitude géocentriques d’un astre en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes du temps, il sera parfaitement inutile de conserver, dans ces développements, les termes dont l’omission entrainerait au plus une erreur de quatre ou cinq secondes. D'ailleurs, les termes d’un rang élevé, dans les développements de la longitude et de la latitude d’un astre, seront ordinairement des quantités du même ordre que les termes de même rang dans le développement de l'anomalie vraie; et, dans ce dernier développement, une limite supérieure au coefficient de la quatrième puissance, ou d’une puissance plus élevée du témps, peut être déterminée approximativement par diverses méthodes, pour des astres plus éloignés de nous que le Soleil, surtout si l’excentricité n’est pas très voisine de l'unité. Done, pour de tels astres, on pourra calculer approximativement une limite supérieure à l'intervalle de temps qui séparera l’observation moyenne de chacune des observations extrèmes, quand ces trois observations seront assez voisines l’une de lautre pour que l’omission des termes proportionnels à la quatrième puissance, ou à des puissances plus élevées, produise seulement une erreur de quatre ou cinq secondes. Après avoir calculé cette limite, et choisi arbitrairement l'observation moyenne à partir de laquelle se comptera le temps, on devra choisir encore les autres observations en nombre égal ou supérieur à trois, de manière que chacune d'elles soit séparée de lobservation moyenne par un intervalle inférieur, ou tout au plus égal à

la limite dont il s’agit. Si cette condition ne peut être remplie, alors, pour obtenir une valeur suffisamment exacte du coefficient du cube du temps, on serait obligé d'admettre dans le développement cherché des termes proportionnels à la quatrième puissance du temps. On pourrait d’ailleurs calculer, toujours à l’aide du même procédé, une limite supérieure à l'intervalle de temps qui devrait séparer les observations extrèmes de l’observation moyenne, afin que l'erreur occasionnée dans le développement de la variable par l’omission des termes proportionnels à la cinquième puissance du temps, et à des puissances plus élevées, ne dépassàt point quatre ou cinq secondes sexagésimales.

Remarquons enfin que, après avoir fixé, d’une part, le nombre de celles des observations données qui devront concourir à la détermination du développement cherché; d'autre part, le nombre des termes de ce même développement, on pourra, si ce dernier nombre ne surpasse pas quatre ou cinq, se borner à pousser l'évaluation du coefficient de chacun des termes conservés jusqu'à un chiffre décimal tel, que l’omission du chiffre suivant, à l’époque de chacune des observations extrèmes, occasionne tout au plus, dans la valeur du terme dont il s’agit, une erreur d'une seconde.

En opérant comme on vient de le dire, on rendra beaucoup plus facile l'application des méthodes d'interpolation, même des plus “exactes, et, en particulier, de celle que j'ai proposée à la détermination des orbites des astres. Car ce qui allongeait surtout les calculs, c'était la détermination d’une multitude de chiffres inutiles qu'on y introduisait, parce qu’on ne savait pas bien se rendre compte à l'avance de l'influence que les erreurs d'observation pouvaient exercer sur les résultats fournis par une méthode d’interpolation donnée. Les principes que je viens d'indiquer, et que je vais développer dans le paragraphe suivant, permettront aux astronomes de se former une idée juste de cette influence, et de choisir, en connaissance de cause, la méthode qui conduira plus promptement ou plus sûrement aux solu-

tions demandées.

S II. — Des erreurs occasionnées dans les développements de la longitude

et de la latitude géocentriques d’un astre par les erreurs d'observation.

Supposons que, l’époque d’une certaine observation astronomique étant prise pour origine du temps #, on veuille développer, suivant les puissances ascendantes de £, la longitude et la latitude géocentriques de l’astre observé, en ne conservant dans chaque développement que les termes sensibles, et négligeant ceux dont l’omission ne produirait qu'une erreur de quatre ou cinq secondes sexagésimales, c’est-à-dire une erreur comparable aux erreurs que comportent les observations. Supposons encore que, par un moyen quelconque, on soit parvenu à connaître d'avance le nombre z des termes qui doivent être conservés, outre le premier, et qui dans chaque développement doivent suivre ce premier terme indépendant de 4. Il est clair que si, d’une part, les termes négligés, et, d'autre part, les erreurs d'observation se réduisaient rigoureusement à zéro, on pourrait obtenir les valeurs exactes des termes conservés, en faisant concourir à la détermination de leurs coefficients, à l’aide d’une méthode d’interpolation quelconque, les observations données, pourvu que le nombre de ces observations fût au moins égal à x +1.

Supposons maintenant que, les termes négligés étant toujours nuls, les erreurs d'observation ne soient pas nulles. Alors le polynôme que l’on obtiendra, en faisant servir à la détermination du coefficient cherché une méthode quelconque d’interpolation, se composera de deux parties, dont la première sera le développement cherché, la seconde partie étant ce que devient ce même développement quand on remplace les valeurs particulières données de la variable par les erreurs dont ces valeurs particulières se trouvent affectées en vertu des observations mêmes. Cela posé, concevons que l'observation dont l'époque sert d’origine au temps étant placée vers le milieu de l'intervalle qui sépare les observations extrèmes, on la désigne sous le nom d'observation moyenne. Nommons 7» le nombre des observations dis-

tinctes de l'observation moyenne, et Lis La, FRE ln

les valeurs positives ou négatives de £ qui correspondent à ces dernières observations. Soit d’ailleurs + la variable dont le développement est censé pouvoir être exactement représenté par les 2 +1 premiers termes d’un polynôme du degré 2; soient ©, la valeur de & correspondante à l'observation moyenne, et A3 — © — #, la différence de o à o,. Soient encore

Es E2» BAR En

les erreurs dont se trouvent affectées, en vertu des observations données, les diverses valeurs de A9, et dont chacune pourra être double de l’erreur que comporte une seule observation, l'erreur de l’observation moyenne et celle de l’une quelconque des autres pouvant avoir été conimises en sens contraires. Enfin, nommons € l'excès du polynôme que représente le développement de la variable +, déduit d’une certaine méthode d’interpolation sur la véritable valeur de ©. Alors € sera précisément le polynôme que l’on déduira de la même méthode d'interpolation, en prenant

Es Eos ++. Em pour les valeurs de € correspondantes aux époques lis Lo, PLUMES Ce

Or il est clair que la méthode d’interpolation employée fournira un développement de © plus ou moins exact, suivant que les limites extrêmes, positive et négative, entre lesquelles restera comprise la valeur du polynôme &, seront plus ou moins resserrées. D'ailleurs, le degré du polynôme & sera le nombre » des observations distinctes de l'observation moyenne, si la méthode employée est celle de Lagrange ou de Laplace; et, dans l’un et l’autre cas, les divers termes dont se composera le développement de e offriront précisément les mêmes valeurs. Donc, pour juger du degré d’exactitude que fourniront ces deux

EXTRAIT N° 38%. h09

méthodes, il suffira d'examiner ce-que donnera la formule d’interpolation de Lagrange. Entrons, à ce sujet, dans quelques détails. |

La valeur de €, déterminée par la formule d’interpolation de Lagrange, se composera de »2 termes respectivement proportionnels aux valeurs particulières de e. On aura effectivement

(1) ea Ti+eTo.+...+e,T,,

T,, T,,...,T,, étant des fonctions de 4, dont chacune sera déterminée par une équation de la forme

: é(t—t:)...(t—tm) (2) PRET APT

Cela posé, les valeurs numériques des coefficients #7 T;, «di Diet Ee

et, par suite, la valeur numérique de e, pourraient devenir très considérables, si l'on faisait correspondre la valeur de £ à une époque située en dehors de l’intervalle compris entre les observations extrêmes. Admettons maintenant la supposition contraire, et nommons à la limite des erreurs d'observation que l’on peut évaluer à quatre ou cinq secondes sexagésimales.

Si les observations données et distinctes de l'observation moyenne sont au nombre de deux, alors £,, £, seront affectées de signes con-

traires, et l’on aura E—eT;+eT:,

t(t—t) , t(é—t) Rs 9 Ts = ———, IT (4 — 8) (4)

Gi + = —

1 Tr de PNA

Done, si, les quantités £,, £, étant affectées du même signe, les valeurs numériques des quantités &,, &, atteignaient la limite 22, on aura

l(t—t, — 6, à ; 2) 5, rés

bi

Cette dernière valeur de € pourra devenir considérable pour une va-

OEuvres de CS: EUX: : 22

tie leur de £ comprise entre £,, £,, par exemple pour £ — Rs ?

> Si la va-

RT [A ls L'u# «br 7 leur numérique de l’un des rapports >, = est supérieure à 3 + 2 ÿ2. 2 !

Si, pour fixer les idées, on suppose 4, — — 104,, la valeur trouvée de € deviendra — + 127 = + —— 20 £ 4o n

et par suite, si l'on pose à — 5”, on ‘aura sensiblement £ — + 30”. Done, lorsque les observations données ne sont pas équidistantes, la valeur de €, déterminée par la formule d'interpolation de Lagrange ou de Laplace, peut, même dans le cas où l’on fait usage de trois observations seulement, et pour une époque intermédiaire entre celles des observations données, dépasser notablement les limites des erreurs d'observation.

L'inconvénient que nous venons de signaler devient plus grave encore, dans le cas précisément où l’on cherche à obtenir des résultats plus exacts en faisant concourir à la solution du problème un plus grand nombre d'observations. Pour le démontrer, considérons un cas qui se présentera souvent dans la pratique. Supposons qu'un ciel couvert de nuages ait interrompu, pendant un certain laps de temps, une série d'observations astronomiques, séparées l’une de l’autre par un intervalle d’un jour environ, et reprises dès que le ciel est redevenu serein. Alors il est facile de voir que la valeur numérique de € pourra devenir très notablement supérieure aux erreurs d'observation. C’est ce qui arrivera, par exemple, si l’on emploie, outre l'observation moyenne, six observations dont les époques soient représentées par les nombres

Alors, en attribuant à £ la valeur — 3 comprise entre les valeurs données, on trouvera, en suivant une méthode quelconque d’interpolation, par exemple la méthode de Lagrange ou de Laplace, et en faisant concourir toutes les observations à la détermination de e,

EXTRAIT Nc 384. #11

Donc si, l'observation moyenne étant exacte, les erreurs des autres observations sont chacune de 5 secondes, mais alternativement positives et négatives, on aura sensiblement

Mais si l’on a des raisons de croire que, dans le développement de la variable cherchée, on peut négliger sans erreur sensible les termes proportionnels à la quatrième puissance du temps ou à des puissances plus élevées, et si alors on fait concourir toutes les observations, par ma nouvelle méthode, à la détermination de &, alors on obtiendra une valeur de £ comparable aux erreurs d'observation, et l’on trouvera, en particulier, pour 4 =—3, non plus e—+57",5, mais seulement Rp

Dans ce qui précède, nous avons spécialement considéré les valeurs de € correspondantes à des époques intermédiaires entre celles des observations extrêmes. Si l’on employait des valeurs de £ correspondantes à des époques qui fussent situées en dehors des observations extrèmes, sans en être même très éloignées, les valeurs numériques de eet, par suite, les erreurs commises dans la valeur d’une variable », pourraient devenir très considérable. Ainsi, par exemple, si la variable © représente la longitude géocentrique de la nouvelle planète Hébé, à l'époque du r2 juillet, et si l’on fait servir à la détermination de © quatre des sept observations rappelées dans la séance précédente, en suivant une méthode quelconque d’interpolation, alors on trouvera : 1° en Joignant à l'observation du 12 août les quatre suivantes :

Ag —— 561", 44e + 30",62 . —1",164

2° en joignant à l'observation du 12 août les trois précédentes :

É F pe Ao = — 544", 494 + 39", 22 — + 3,45 G:

Ici la différence entre les valeurs de 2 est énorme; et cette différence,

représentée, au signe près, par le polynôme

s'élève déjà jusqu’à 917”,4 pour 4 — 9,06847, c'est-à-dire à l'époque de la dernière observation.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Application des formules que fournit la noucelle méthode d'interpolation à la résolution d’un système d'equations lincaires approximatives, et, en particulier, à la correction des elements

de l'orbite d’un astre.