C.R., T. XXV, p. 650 (8 novembre

Étant donné un système d'équations approximatives et linéaires dont le nombre est égal ou supérieur à celui des inconnues, supposons que l’on veuille déterminer par un caleul facile, et avec une grande exactitude, s’il est possible, les valeurs de ces inconnues. Pour remplir ces deux conditions à la fois, il suffira de recourir aux formules que fournit ma nouvelle méthode d'interpolation. A l’aide de ces formules, on pourra éliminer successivement, de chacune des équations données, la première, la seconde, la troisième, .….… inconnue; et lorsque toutes les inconnues auront été éliminées, à l'exception d’une seule, une valeur approchée de cette dernière sera fournie par chacune des équations restantes. Ajoutons que les diverses valeurs approchées de la dernière inconnue seront égales entre elles, si le nombre des équations données est précisément le nombre des inconnues, mais différeront généralement les unes des autres dans le cas contraire. Observons, enfin, que la méthode en question fournira, entre les diverses valeurs approchées de chaque inconnue, une moyenne qui pourra être adoptée avec une grande confiance.

EXTRAIT N° 385. k13

Les considérations précédentes pourront être utilement appliquées à la correction des éléments de l'orbite d’un astre. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Lorsque, en suivant la marche indiquée dans le Mémoire du 20 septembre, on a déterminé approximativement les distances d’un astre au Soleil et à la Terre, on peut en déduire immédiatement, à l'aide de formules très simples, les six éléments de l'orbite de cet astre. Toutefois, il importe de le remarquer, en vertu des calculs effectués et des formules dont il s’agit, les éléments de l'orbite dépendent, non seulement des longitudes et latitudes géocentriques de l'astre observé, mais encore de leurs dérivées du premier et du second ordre. Si, pour augmenter l'exactitude des résultats, on veut que les éléments de l'orbite soient finalement déterminés à l’aide des formules qui ne renferment aucune dérivée, il suffira de recourir aux équations finies du mouvement de l’astre observé. Ces dernières, transformées en équations approximatives, deviendront linéaires par rapport aux corrections des six éléments, et pourront alors se résoudre comme il a été dit ci-dessus. D'ailleurs, le nombre des équations à résoudre dépendra du nombre des observations données. Chaque observation fournissant deux équations linéaires entre les corrections des six éléments, trois observations pourront, à la rigueur, suflire au calcul des corrections cherchées; mais celles-ci seront mieux déterminées si l'on fait concourir à leur détermination un nombre d'observations plus

considérable.

SI. — Formules générales pour la résolution d'un système d'équations approximatives et linéaires.

Soient données, entre ?2 inconnues æ, y, 3, ..., des équations

linéaires et approximatives

fax +by +cs +...—#k,

(1) Hu C3 +..,=k,

| a, L + PE ln où En es k,,

en nombre égal ou supérieur à celui des inconnues. Pour déduire de ces équations, par une méthode facile à suivre, et avec une grande exactitude, s'il est possible, les valeurs de æ, y, z, ..., il suflira de recourir à la méthode que nous allons indiquer.

Désignons par Sa la somme des valeurs numériques des termes de la suite a, a,, a,, ..., et par Sb la somme des termes de la suite b, b,, b,, ..., pris chacun avec le signe + ou avec le signe —, selon que le terme correspondant de la suite a, a, a,, ... est positif ou négatif. Soient encore Sc, ... ou S# ce que devient Sb, quand à la suite à, b,, b,, ... on substitue la suite c, c,, c,, ..., ou la suite #, &, &,, .... On tirera des formules (1)

(2) xSa+ySb+:Sc+...—=S£k.

HE 5 a a Soient maintenant a = 3; 4, —= 5» +, et posons D 24 Ab — b — a Sb, Ac—=c—aSc, GE Ak=k—aSk, Ab,= b,— a, Sb, Ac,—c,—a, Sc, APT Ak,—k,—a.Sk,

Si, de la première, ou de la seconde, ou de la troisième, ... des formules (1), on retranche la formule (2), après avoir multiplié les deux membres de cette dernière par «&, ou par &,, ou par &,, ..., on obtiendra, à la place des équations (1), les suivantes

re + 3 Ac +...— AK, y Ab,+ 3Ac,+...— AK,

(3) { | y Ab,+3Ac,+...—Ak,,

qui ne renferment plus la variable æ.

Concevons, à présent, que l’on désigne par S'Ab la somme des valeurs numériques des termes de la suite Ab, Ab,, Ab,, ..., et soit S'Ac, ... ou S’A#% la somme des termes correspondants de la suite Ac, Ac,, Ac, ... ou A#, Ak, Ak,, ..., pris chacun avec le signe + ou avec le signe —, suivant que le terme correspondant de la suite Ab, Ab,,

Ab,, .. est positif ou négatif. On tirera des équations (3)

(4) yS'Ab+3:S'Ac+...—S'Ak:

puis, en posant

Ab OR CN et Mc = Ac — 6 S'Ac, TUE Ak — Ak — 6 S'Ak, Ac,— Ac,—8S'Ac, ..., A?k—Ak—6S'Ak,

TT

En continuant ainsi, on substituera successivement aux équations (1) les équations (3), (5), etc.; et lorsqu'on aura successivement éliminé toutes les inconnues, à l'exception d’une seule, les équations restantes fourniront, pour la dernière inconnue, des valeurs approchées qui seront toutes égales entre elles, si le nombre des équations (1) est égal à celui des inconnues, mais pourront différer les unes des autres dans le cas contraire. Ajoutons que, pour déterminer avec une plus grande exactitude les valeurs des diverses inconnues, on devra généralement recourir aux formules (2), (4), et autres semblables, desquelles ôn tirera

tr BE Sb Sc D Un "Sa.

__S'A4 S'Ac (6) IP SA SA ‘?

baie à LS

Ces dernières formules, rangées, non dans l’ordre suivant lequel

elles sont écrites, mais dans un ordre inverse, fourniront ordinairement pour la dernière inconnue, puis pour l’avant-dernière, etc., des valeurs d'autant plus exactes, que la différence entre le nombre des équations approximatives données et le nombre des inconnues sera plus considérable.

L'ordre suivant lequel les diverses inconnues sont éliminées l’une après l’autre semble, au premier abord, demeurer entièrement arbitraire. Mais, pour tirer du calcul des résultats plus exacts, ou du moins des résultats qui méritent une plus grande confiance, il convient de choisir æ, c’est-à-dire la première des inconnues à éliminer, de manière que la somme Sa soit la plus grande possible; puis ensuite de choisir y, c’est-à-dire la seconde des inconnues à éliminer, de manière que la somme S’A soit la plus grande possible; ete.

On abrégerait le calcul, mais en diminuant le degré de confiance que ces résultats doivent inspirer, si, pour éliminer une inconnue, on se bornait à combiner entre elles, par voie de soustraction, les diverses équations, prises deux à deux, en retranchant la seconde de la première, la troisième de la seconde, et ainsi de suite, après avoir préalablement réduit à l'unité, dans chaque équation, le coefficient

de linconnue qu'il s’agit d'éliminer.

S IL — Sur la détermination des éléments de l'orbite d'un astre.

Conservons les notations des pages 384, 385, en substituant seulement la lettre y à la lettre Ÿ, en sorte qu'on ait y — 9 — 5. Les formules (1) et (4) de la page 385 donneront

(1) æ = RCosS + p CosY, = Rsins +psins, 3 —ptangÿ. Soient d’ailleurs, au bout du temps 4, Ÿ l’anomalie excentrique, et p

la longitude héliocentrique de l’astre observé, mesurées dans le plan

de l’orbite. Soient encore

+ la valeur de p correspondante au périhélie ; a, e le demi grand axe et l’excentricité de l'orbite ;

EXTRAIT No 385. #17

: l’inclinaison de l'orbite, représentée par un angle aigu ou obtus, selon que le mouvement de l’astre est direct ou rétrograde ; |

a la longitude héliocentrique du nœud ascendant;

T la durée de la révolution de l’astre dans son orbite;

à 2% = (À) le rapport de la circonfé rà T;

= 7 =|- pport de la circonférence 27 à T; dns: ’ PES

— : l'époque du passage de l’astre au périhélie.

Le rayon vecteur r et la longitude p seront déterminés, en fonction

de £, par les formules connues

en

Pa BRU ÉTRES \ (2) De e cosŸ), tang — =(+) lang >

Ÿ—esind —A{t+c.

De plus, si l’on projette successivement le rayon vecteur r sur trois axes rectangulaires, dont le premier coïncide avec la ligne des nœuds, et le troisième avec l’axe des z, les trois projections pourront être exprimées, soit en fonction de æ, y, x, #, soit en fonction de, p, ; et en égalant l’une à l’autre les deux valeurs trouvées pour chaque projection, l'on aura { æCOS8 + y Sins — 7 COS D,

(3) y COs8 — æ sins — rsinp Cost,

3 —=rsinpsint.

Soient maintenant

w la vitesse de l’astre observé;

u, v, les projections algébriques de cette vitesse sur les axes des +, 4 a |

H le double de l’aire décrite par le rayon vecteur r pendant l'unité de temps; |

U, V, W les projections algébriques de cette aire sur les plans coordonnés;

I sa projection absolue sur le plan mené par la ligne des nœuds perpendiculairement au plan de l’écliptique.

Œuvres de C. — S.1,t. X,. 23

k18 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

On aura u Di, p ne à PR ss Ds, (4) U—wy — v3, V = uz—wx, W=vx—ury,

| = u?+ p? + w?, P= + V°+ W?, ERA V?, et les deux dernières des formules (3) donneront (5) Z Sin 8 — y COS8 + 3 COtt — 0, u SIN8 — p COSB8 + 3 COtI — O0;

par conséquent, x U 4 ; 1 (6) SIN8 — 7» COS COS — ——) SINt—

De plus, les équations des forces vives et des aires donneront

1 Ar 0 ARR de ) = -— 18 2e:

ÉTAT | G Ka