C.R., T. XXVI, p. 29 (10 janvier

Dans les méthodes généralement employées pour la détermination de l'orbite d’un astre, on ne sait jamais a priori quel sera le degré d’approximation que présenteront les valeurs calculées des éléments de cette orbite, et même, lorsque le calcul est achevé, on ne peut ordinairement se former une idée précise de l'exactitude de la solu-

4h52 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

tion obtenue, avant d’avoir soumis cette solution à de nouvelles épreuves, et avant d’avoir déduit d'observations assez nombreuses, à l’aide de la méthode linéaire, les corrections des éléments. Ce serait donc rendre service aux astronomes que d'établir une méthode qui indiquât elle-même le degré de précision des résultats qu’elle fournirait, de manière à ne point exposer ceux qui voudraient la suivre à faire des calculs inutiles. Quelques propriétés remarquables des fonctions interpolaires permettent d'atteindre ce but. Entrons, à ce sujet, dans quelques détails.

Les éléments de l'orbite d’un astre étant au nombre de six, il est nécessaire, pour les déterminer, d'établir entre ces éléments au moins six équations. D'ailleurs, trois valeurs données de deux fonctions de ces éléments et du temps, par exemple de la longitude et de la latitude géocentriques de l’astre, suffiront à fournir six équations de cette espèce. Donc la solution du problème pourra se déduire de trois observations complètes. Mais la solution ainsi trouvée ne sera pas unique : deux orbites différentes peuvent répondre au système de trois observations données, et par suite, dans le cas général, pour déterminer sans aucune incertitude tous les éléments de l'orbite d’un astre, 1] sera nécessaire de connaître au moins quatre observations:

I est bon d'observer que, étant données trois valeurs d’une variable, par exemple de la longitude géocentrique, considérée comme fonction du temps {, on pourra en déduire immédiatement des valeurs de fonctions interpolaires du premier et du second ordre. Une quatrième valeur de la fonction principale permettrait de ealculer en outre une valeur particulière d’une fonction interpolaire du troisième ordre; et, si les observations données se rapprochent indéfiniment, les fonctions interpolaires du prémier, du second, du troisième ordre, ... se transformeront en dérivées de ces mêmes ordres divisées par les produits 1, 1.2, 1.2.3, .... Donc, afin de pouvoir, sans aucune incertitude, déterminer les éléments de l'orbite d’un astre, 1] sera nécessaire de connaître, pour une époque donnée, avec la longitude et la latitude géocentriques, leurs dérivées du premier,

du second et du troisième ordre. L’Analyse mathématique conduit à la même conclusion, en faisant voir que ces trois espèces de dérivées entrent dans les formules exactes qui résolvent le problème en le réduisant à la résolution d’une équation du premier degré (vor la séance du 27 décembre 1847), en supposant connues pour chaque époque, avec la longitude et la latitude géocentriques de l’astre observé, leurs dérivées du premier et du second ordre seulement.

La précision des résultats déduits des formules exactes que nous venons de rappeler dépendra du degré d’approximation avec lequel on obtiendra les dérivées du premier et du second ordre des longitude et latitude géocentriques. On détermine ordinairement ces dérivées à l’aide de certaines formules d’interpolation, parmi lesquelles on doit distinguer celles que Lagrange et Laplace ont données. Mais ces dernières formules étant seulement des équations approximatives qui proviennent de l’omission de termes dont la valeur est inconnue a priori, j'ai dû rechercher s’il ne serait pas possible de les remplacer par des formules plus rigoureuses, qui indiquassent elles-mêmes le degré d’approximation des résultats du calcul. Mes recherches m'ont effectivement conduit à des formules nouvelles, dont on peut donner une idée très juste en disant qu’elles sont, par rapport à la formule d'interpolation de Laplace, ce qu'est, par rapport à la formule de Taylor, l'équation finie, substituée à celle-ci par Lagrange, dans la théorie des fonctions analytiques. Mes nouvelles formules décomposent une dérivée d’un ordre quelconque en deux parties, dont la première s'exprime rigoureusement à l’aide de fonctions interpolaires du même ordre et des ordres supérieurs, jusqu’à l’ordre 7; la seconde partie étant le produit d'un certain facteur compris entre certaines limites par une quantité moyenne entre les diverses valeurs que peut acquérir, dans l'intervalle de temps compris entre les observations extrêmes, la fonction dérivée de l’ordre # + 1. Par suite, on pourra décomposer une dérivée d’un ordre quelconque » en deux parties, dont la première renfermera deux fonctions interpolaires, l’une de ce même ordre, l’autre de l’ordre »# +1 immédiatement

supérieur; la seconde partie étant le produit d’un facteur compris entre certaines limites par une valeur moyenne de la dérivée de l’ordre »# + 2. De plus, la première partie se trouvera réduite à une seule fonction interpolaire de l’ordre #», c’est-à-dire à une fonction interpolaire formée avec m +1 valeurs différentes de la fonction principale, si à ces valeurs correspondent » + 1 valeurs de 4, dont la moyenne arithmétique soit exactement l’époque pour laquelle on veut calculer la valeur de la dérivée de l’ordre m.

J'ajouterai que, si les diverses valeurs de la fonction principale sont fournies par des observations desquelles puisse résulter, pour chacune de ces valeurs, une erreur représentée, au signe près, par le nombre à, l'erreur maximum dont pourra être affectée la fonction interpolaire de l’ordre #2, déduite de #7 + 1 valeurs particulières données de la fonction principale, sera l'erreur qu’on obtiendra en supposant qu'à ces valeurs particulières, rangées dans l’ordre des temps, on substitue des quantités alternativement positives et négatives, mais toutes égales, abstraction faite du signe, au nombre ô.

Je remarquerai enfin que, en vertu d’un théorème rappelé dans le Mémoire du 16 novembre 1840 ('), une fonction interpolaire de l'ordre »#, déduite de 72 + 1 observations données, sera toujours le quotient qu'on obtiendra en divisant par le produit 1.2...m une valeur moyenne de la fonction dérivée de l’ordre », c’est-à-dire une valeur que prendra cette dérivée pour une époque moyenne entre celles des observations extrêmes.’

Ces principes nous permettent de tirer, des formules exactes cidessus mentionnées, des valeurs approchées des éléments d’une orbite, de manière à nous former une juste idée du degré d’approximation obtenu. |

Veut-on, par exemple, déduire les éléments de l'orbite des formules (7) et (8) du Mémoire lu à la séance du 27 décembre 1847 (*),

(1) OÆuvres de Cauchy, S. 1, T. IV, p. 43r.

(2) Zbid., S. 1, T. X, p. 443-444.

il faudra connaître, pour deux époques différentes, la longitude et la latitude géocentriques de l’astre observé, avec leurs dérivées du premier et du second ordre; et par suite quatre observations au moins sont nécessaires, les trois premières observations pouvant être employées quand il s'agira de la première époque, et les trois dernières observations quand il s'agira de la seconde époque. Considérons, en particulier, les trois observations qui serviront à déterminer les valeurs des inconnues correspondantes à la première époque. Des trois inconnues qui représenteront la longitude géocentrique, sa dérivée du premier ordre et sa dérivée du second ordre, la dernière, ou la dérivée du second ordre, étant celle dont la valeur sera généralement la moins exacte, sera aussi celle qu’il conviendra de déterminer avec une plus grande précision. D'ailleurs, cette dérivée aura pour valeur approchée une fonction interpolaire du second ordre, déduite des trois premières observations. Ajoutons que la différence de cette valeur approchée à la valeur véritable sera proportionnelle à une valeur moyenne de la dérivée du quatrième ordre seulement, si l’on choisit pour première époque la moyenne arithmétique entre les époques des trois observations. Remarquons enfin que, l'intervalle des deux observations extrêmes restant le même, l'influence des erreurs d’observation sur la valeur de la fonction interpolaire sera la moindre péssible, si l'observation intermédiaire est séparée des deux autres par des intervalles sensiblement égaux. Adoptons ces hypothèses, et nommons : l'intervalle de temps qui séparera la seconde observation de chacune des deux autres. L'erreur que l’on commettra en prenant pour valeur de la fonction dérivée du second ordre la valeur de la fonction interpolaire du second ordre, tirée des trois observations, se composera de deux parties proportionnelles, l’une au carré de #, l’autre au carré

de D les coefficients de £? et de ä étant, d’une part, 29, d'autre part,

une valeur moyenne / de la fonction dérivée du quatrième ordre; et l'erreur totale, divisée par 24, sera la plus petite possible, lorsque ces deux parties seront égales, abstraction faite du signe. Cette égalité

fournira un moyen simple de détermination pour la valeur qu’il conviendra d'attribuer à l'intervalle . En effet, on peut d’abord, de cinq, six, sept observations. éloignées les unes des autres, déduire les valeurs de fonctions interpolaires du premier, du second, du troisième et du quatrième ordre; et celles-ci représentent précisément des valeurs moyennes des dérivées des mêmes ordres, respectivement divisées par les nombres 1, 2, 6, 24, ou du moins ces valeurs moyennes affectées d'erreurs très petites, qui sont produites par les observations, et dont les limites sont connues. On connaîtra donc une valeur approchée de /, et il n'est même pas nécessaire qu'ici l’approximation soit considérable; car, pour remplir la condition indiquée, à devra être réciproquement proportionnel à la racine quatrième de /; et par suite, la valeur de l'intervalle ne sera pas diminuée ou augmentée d’un cinquième, si / est doublé ou réduit à la moitié de sa valeur.

La valeur de z étant calculée comme on vient de le dire, pour le cas où la fonction principale se réduit à la longitude géocentrique, on choisira trois observations de manière que la première et la troisième soient séparées de la seconde par des intervalles de temps égaux à #, ou du moins par des intervalles aussi rapprochés de à qu’il sera possible; et alors nos formules fourniront avec la longitude et la latitude géocentriques leurs dérivées du premier et du second ordre relatives à une première époque, qui sera la moyenne arithmétique entre les époques des trois observations, ou du moins elles fourniront les valeurs approchées de ces inconnues avec un degré d’approximation indiqué par le calcul même.

Les valeurs des mêmes inconnues, correspondantes à une seconde époque, se déduiront par le même procédé, ou d’une quatrième observation jointe à deux des trois premières, ou mieux encore de trois observations nouvelles; et alors les formules (7), (8) du Mémoire du 27 décembre fourniront le moyen de déterminer immédiatement l’orbite de l’astre observé.

On remarquera que, dans la méthode précédente, on commence par lixer l'intervalle de temps qui doit séparer l’une de l’autre deux obser-

vations admises à concourir à la détermination d'une orbite. Cette fixation dispense souvent le calculateur de travaux inutiles, qu'il se verrait à regret forcé de refaire en entier avec des données différentes de celles qui servaient de base à un premier calcul.

En effet, les erreurs qui affectent les inconnues dont il s’agit d’obtenir ici les valeurs proviennent, les unes des inexactitudes des observations, les autres de l’inexactitude des formules que l’on emploie. De ces deux sortes d'erreurs, les premières augmentent quand on rapproche, et les dernières quand on éloigne les observations. Il y avait donc ici lieu de chercher à quelle distance deux observations consécutives doivent être placées pour que l'erreur totale à craindre soit un minimum. Les avantages qui résultent évidemment de la solution de ce dernier problème me permettent d'espérer un accueil favorable des astronomes pour ce nouveau travail que leur bienveillance m’a encouragé à poursuivre, et que je me propose de reproduire avec de plus amples développements dans mes Exercices d'Analyse et de Physique mathématique.

J'ajouterai qu'on peut encore obtenir une détermination très simple des éléments de l'orbite d’un astre, en appliquant les principes cidessus exposés aux formules données par Lagrange dans le Mémoire de 1780, ou plutôt aux équations dans lesquelles se transforment ces formules, quand les observations voisines se rapprochent indéfiniment. C’est, au reste, ce que j’expliquerai plus en détail dans un autre article.

ASTRONOMIE. — Formules pour la détermination des orbites des planètes

et des comètes.