C.R., T. XXVI, p. 57 (17 janvier

Pour obtenir une détermination très rapide et même très exacte des éléments de l'orbite d’un astre, il suffit d'appliquer les principes OEuvres de C. — S.1, 1. X. 08

exposés dans la précédente séance aux formules données par Lagrange dans le Mémoire de 1780, ou plutôt aux équations dans lesquelles se transforment ces formules, quand les observations voisines se rapprochent indéfiniment. On peut d’ailleurs résoudre aisément ces dernières équations, quand on commence par déterminer approximativement les inconnues, à l'aide de l'équation linéaire qui existe entre les trois projections algébriques de l'aire que décrit le rayon vecteur mené du Soleil à l’astre observé (voir la séance du 27 décembre 1843). Alors les seules quantités qui entreront dans le calcul seront des valeurs particulières de certaines variables et de leurs dérivées du premier ordre. D'ailleurs, ces valeurs particulières pourront se déduire de quatre observations de l’astre, jointes aux formules très simples que je vais indiquer.

ANALYSE

Soient £,, d, {3, ... diverses valeurs particulières attribuées au temps 4; soit, de plus, © — f(4) une fonction continue du temps £, et posons

bé je Létnt fee,

f( li) FC, t)

FCE dis ta) — PRET.

Alors f(4,4,), f(4,4,,€,), ... seront ce que M. Ampère a nommé des fonctions interpolaires des divers ordres, issues les unes des autres, et l’on aura

f(E)=f(4)+(t— 4) ti) (1) | =f(4h)+-(t— 0), h)+(—-L)(t— B)E(E bts)

Alors aussi les quantités

f(£, li, lo) f(&, Las ts), VAS | f(6, li, las ls) 8%

\ ossi

| f(és ti); (Es a), f(£2s és), .….,

EXTRAIT No 393. 459

seront celles que Laplace a désignées par

0, 091: (JO PR « 52 2 e (3) 0 9; Ô Qi ’ 09, Ë Enfin, les fonctions (4) HOUR IL, tt), (EL, LE, D),

se réduiront respectivement aux suivantes :

(5) RS RD TPE), is , À 2 » 2.3 , ,

et chacune des fonctions interpolaires comprises dans la première, la deuxième, la troisième, .. ligne horizontale du Tableau (2) ou (3) sera une valeur moyenne du premier, du second, du troisième, terme de la suite (4) ou (5), c’est-à-dire une valeur de ée terme correspondante à une valeur du temps #, comprise entre la plus petite et la plus grande de celles qui concourent à la formation de la fonction interpolaire. Done, si l’on connaît 2 valeurs particulières de la fonction f(4) correspondantes à des valeurs de # comprises entre certaines limites, la formation des fonctions interpolaires fournira immédiatement »2 — 1 valeurs particulières de f’(£), m — 2 valeurs particulières de ;f”(4), ..…., correspondantes à des valeurs de £ toujours renfermées entre les limites dont il s’agit. Il y a plus : je démontre que, dans le cas où la suite (4) est rapidement décroissante, et où les temps 4,, 4,, l,..., rangés suivant leur ordre de grandeur, ne sont pas très différents les uns des autres, les fonctions interpolaires

(6) f(&, lo), f( lis Los ts), f( Lis Las la L,),

représentent à très peu près les valeurs des termes de la suite (5) correspondantes aux valeurs de 4, exprimées par les rapports

SEA. Ar A le hththté

k60 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

On tire de la formule (1)

F(E) FC) +(t— 4) (ét) +(E—4)(E— te) ÊCE is te),

® f'()=f(h, te) +(2t—th— te) FE tite) + (— 4) (E— te) Ê(E, 6, lis ta).

, alors, en fai-

rs ti+t Si, dans ces dernières formules, on suppose 1 = ———

sant, pour abréger, l— tj —ts— 1 —i, f(é, li, H)=R, f(6, £, lis 5 best À on trouvera f(£) sr

ft) +f(é) LME 2 »

FC) — FC4) y