AE

et, si l’on suppose le rayon de courbure p mesuré à partir de la courbe

déerite, les cosinus des angles formés par la direction de ce rayon

avec les demi-axes des æ et y positives seront respectivement égaux

aux produits | 6? D,y

- p DzD'y—D,yD?x

D,z FRE D,z D? y — Dr D;x

Considérons maintenant le cas général où le point matériel se meut d’une manière quelconque dans l’espace, et posons, dans ce cas,

Alors x, y seront les tangentes trigonométriques des angles formés par les projections du rayon vecteur sur les plans coordonnés des +, z et des y, z avec le demi-axe des z positives. Alors aussi les projections algébriques D°x, D'y, D'3 de la force accélératrice P pourront être

présentées sous les formes mD?5:+2DuD,sz+23Dîu, vD?z+2D,vD,z + sD?y, D?3. Par suite, la force P pourra être décomposée en deux autres Q, R, dont la première, correspondante aux projections algébriques RDS : VD, Hs; sera dirigée suivant le rayon vecteur r, tandis que la seconde R, correspondante aux projections algébriques 2D,pD;3+2Dîu, 2D;vD,:+32D?v, o,

sera comprise dans le plan mené par le point A parallèlement au plan

des æ, y. Il y a plus : nommons ABC la trace de ce dernier plan sur le

cône qui a pour sommet l’origine O, et pour base la courbe déerite Œuvres de C. — S.1,t.X. 60

h74 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

par le point matériel. Soit d’ailleurs a le point où la droite OA rencontre le plan mené parallèlement au plan des æ, y, mais à la distance 1, du côté des z positives, et nommons abc la trace de ce même plan sur le cône dont il s'agit. La force R se décomposera elle-même en deux autres R’, R”, dont l’une R', correspondante aux projections algébriques 2D,2D,3, 2D;vD,z,

sera dirigée suivant la tangente menée par le point A à la courbe ABC, tandis que la force R”, correspondante aux projections algébriques

#D'u,:sD°,

sera le produit de z par la force S, correspondante aux projections algébriques D°u, D’v, c’est-à-dire par la force S à laquelle pourra être attribué le mouvement du point a supposé libre sur la courbe, abc. Enfin, si l’on nomme r le rayon de courbure de la courbe abc, et à la vitesse du point a sur cette courbe, on aura

(2) # = (D) + (Div), Dep Div—DivDiu +

et les cosinus des angles formés par la direction des forces R”, S avec les demi-axes des x et y positives seront

FE D,v 8° D, r DpDiv—D;vD?p" + D,pD?v— D,» D?

Donc, puisque les projections algébriques de la force R sur les axes des æ et y sont

on aura simplement

FE S » po : , ; Mais = représente précisément la force centrifuge due à la vitesse 2.

On peut donc énoncer la proposition suivante, qu'il est, au reste, facile d'établir sans calcul.

THéorèME. — Supposons qu'un point matériel À, dont les coordonnées rectangulaires, rapportées à l’origine O, sont æ, y, 3, se meuve librement dans l’espace, en vertu d'une certaine force accélératrice P. Supposons d’ailleurs que deux plans parallèles au plan des x, y soient menées, l'un par le point À, l’autre par le point a situé sur le rayon OA, à la distance 1 du plan des x, y. Enfin, soient ABC, abc les traces de ces deux plans sur le cône que décrit la droite OA, et décomposons la force P en deux autres Q, R, dirigées, l’une suwant le rayon vecteur OA, l’autre suivant une droite comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe des z. Si l’on pro- Jette la force R sur le rayon de courbure de la courbe ABC, le. rapport de la projection à l'ordonnée z sera représenté, au signe près, par la force centrifuge due à la vitesse apparente du point a sur la courbe abc, pour un observateur placé au point O. :

S IL. — Sur l’éequation fondamentale à l’aide de laquelle se déterminent les distances d’une planète ou d’une comète à la Terre ou au Soleil.

Conservons les notations adoptées dans la séance du 24 janvier. Soient d’ailleurs K la force attractive du Soleil, mesurée à l'unité de distance, r la distance du centre du Soleil au centre A'de l’astre observé, et æ, y, = les coordonnées du point 4. L'action du Soleil sur l’astre observé aura pour projections algébriques sur les axes coordonnés

tandis que l’action du Soleil sur la Terre aura pour projections algé-

briques Us F5? R° ?

x, y étant les coordonnées de la Terre. D'ailleurs, les coordonnées relatives DE re er 20

sont les projections algébriques de la distance + de la Terre à l’astre

observé. Donc, si l’on nomme P la résultante de l’attraction + et

RE l’on décompose la force P appliquée au point A en deux forces P’, P”

d'une force égale mais directement opposée à l’attraction > et:si dirigées, l’une suivant le rayon vecteur +, l’autre suivant une droite comprise dans un plan perpendiculaire à l’axe des 3, les projections algébriques de la force P” sur les axes coordonnés seront

CST7uE de L 1 ti

Kx( She (Re rt a D'ailleurs, le mouvement apparent de l’astre pour un observateur placé au centre O de la Terre pourra être attribué à la force P: et, si

l’on nomme ABC la trace du plan mené par le point A parallèlement

au plan des +, y sur le cône décrit par la droite OA, la projection de la force P” sur la normale à la courbe ABC devra être égale, au signe près, à la force centrifuge due à la vitesse apparente du point A sur la mème courbe. D'autre part, le rayon de courbure de cette dernière

courbe sera égal, au signe près, à r5;

la valeur de r étant celle que déterminent les formules (2) et (3) du SL. Cela posé, le théorème énoncé dans le $ I fournira l'équation