C.R., T. XXVI, p. 157 (31 janvier

Les formules que j'ai mentionnées dans la séance du 24 janvier fournissent, comme je l'ai dit, le moyen d'obtenir avec une grande exactitude le plan de l'orbite d’une planète ou d’une comète, avec le demi-paramètre, à l’aide des données fournies par quatre observations. Il reste à examiner quelle est la méthode qu’il convient de suivre, et quelles sont les formules qu’il convient d'employer, lorsque

EXTRAIT No 397. 471

les observations données, ou du moins celles dont on se propose de faire usage, sont au nombre de trois seulement.

Dans cette dernière hypothèse, il paraît utile de commencer par fixer la distance de l’astre observé au Soleil. Or, comme on le sait, la valeur de cette distance est fournie par une équation du septième degré, dans laquelle entrent des dérivées du premier et du second ordre correspondantes à une certaine époque. D'ailleurs, le choix de cette époque n’est pas, il s’en faut de beaucoup, sans importance, et de ce choix peut dépendre tout le succès de l'opération. En effet, le degré d’approximation avec lequel s’obtiendra la distance cherchée dépendra surtout du degré d’exactitude des dérivées du second ordre. D'ailleurs, en vertu des principes établis dans la séance du 17 janvier, si l’on considère une quelconque des quantités variables comme fonction du temps £, la fonction interpolaire du second ordre correspondante à trois observations données représentera sensiblement la moitié de la dérivée du second ordre, non pour une valeur quelconque de #, mais spécialement pour celle qui est la moyenne arithmétique entre les époques des trois observations. C’est donc cette dernière valeur de # qui devra être choisie de préférence, et l’époque qu'elle indiquera sera celle pour laquelle on pourra espérer d'obtenir avec une exactitude suffisante la distance du Soleil à l’astre observé. D'ailleurs, cette distance étant connue, les divers éléments de l'orbite pourront être déterminés approximativement, et corrigés ensuite à l’aide des formules établies dans la séance du 15 novembre. Alors, les résultats définitifs du calcul étant déduits de la méthode linéaire appliquée à des formules qui ne renfermeront plus aucune dérivée, le degré de précision des éléments trouvés dépendra uniquement du degré d’exactitude des trois observations employées.

Je ferai ici, en passant, quelques remarques qui ne seront pas sans utilité.

Il importe de rendre très facile la formation et la résolution de l'équation du septième degré, dans laquelle l’inconnue est la distance de la Terre à l’astre observé. On verra dans ce Mémoire que l’on peut

déduire immédiatement cette équation fondamentale de la seule considération de la force centrifuge correspondante, non pas à la vitesse absolue de l’astre, mais à la vitesse apparente du point où le rayon vecteur mené de la Terre à l’astre rencontre un plan parallèle au plan de l’écliptique. Si, d’ailleurs, comme l’a fait M. Binet, on applique à l'équation trouvée le théorème de Rolle, on obtiendra sans peine des limites entre lesquelles tomberont les deux racines réelles et positives propres à vérifier cette équation, et, par suite, ces racines ellesmêmes.

Dans une précédente séance, j'ai remarqué que l'équation finale, à laquelle Lagrange est parvenu dans le Mémoire de 1780, peut être abaissée du septième degré au sixième. Pour démontrer directement la possibilité de cet abaissement, il suffit d'observer que les équations du deuxième degré, entre lesquelles l'élimination s’effectue, peuvent ètre vérifiées par deux systèmes de valeurs des inconnues. Il en résulte que l’équation finale du huitième degré, à laquelle on sera conduit par l'élimination, renfermera deux racines étrangères à la question. Elle pourra donc être abaissée du huitième degré au sixième,

conformément à la remarque que je viens de rappeler.

ANALYSE

$S IL — Sur quelques formules de Mécanique.

Considérons un point matériel A qui se meut librement dans l’es-

pace, et soient, au bout du temps £,

æ, y, = les coordonnées de ce point par rapport à trois axes rectangulaires entre eux; r la distance du même point à l’origine O des coordonnées; w sa vitesse ; P la force accélératrice appliquée au point dont il s’agit. Les projections algébriques de la vitesse w et de la force P sur les axes des coordonnées seront respectivement

D,x, D,7, D,3, Dix, D’ 7, D; x.

Cela posé, concevons d’abord que le point matériel se meuve dans .

un plan parallèle au plan des æ, y, et nommons p le rayon de courbure de la courbe décrite. On aura

D,xzD'y—D,yD?z