C. R., T. XXVI, p. 236 (21 février

Lorsqu'on veut, à l’aide de trois observations, déterminer la distance d’une planète ou d’une comète au Soleil ou à la Terre, on arrive, comme l’on sait, à une équation du septième degré. Si d'’ailleurs on applique à l'équation trouvée le théorème de Rolle, en prenant pour inconnue la distance de l’astre observé à la Terre, on en conclut, comme l’a remarqué M. Binet, que l'équation ne peut admettre plus de quatre racines réelles, dont l’une se réduit à zéro. Mais si, au lieu de prendre pour inconnue la distance à la Terre, on prend pour inconnue la distance au Soleil, alors le caleul montre que l’équation obtenue ne peut offrir plus de trois racines réelles et positives. Ces trois racines sont toutes trois supérieures à la perpendiculaire abaissée du centre du Soleil sur le rayon vecteur mené du Soleil à la Terre, et toutes trois inférieures à une certaine limite que fournit immédiatement l'équation des forces vives. D'ailleurs l’une de ces trois racines, étrangère à la question, se réduit à la distance du Soleil à la Terre; et, pour savoir si cette racine est ou n’est pas comprise entre les deux autres, il suffit de consulter le signe d’une certaine quantité connue. Enfin, pour savoir si la distance de l'astre observé au Soleil

est inférieure ou supérieure à la distance du Soleil à la Terre, il suffit de recourir à une belle remarque de Lambert, ou, ce qui revient au même, il suffit d'examiner dans quel sens est dirigé le rayon de cour- “bure de la courbe suivant laquelle, dans le mouvement apparent de l’astre, un plan parallèle à celui de l’écliptique coupe le cône décrit par le rayon vecteur mené de la Terre à l’astre. En vertu de ces remarques, les racines de l'équation du septième degré qui pourront résoudre la question proposée se réduiront à deux, ou même à une seule, et l’on se trouvera ainsi ramené à la conclusion déduite par M. Binet de la discussion géométrique de l’équation qui détermine la distance de lastre à la Terre. Ajoutons que,'si l’astre observé est une comète, la valeur du grand axe déterminé par l'équation des forces vives devra être très considérable, et qu’alors cette équation fournira un moyen très simple, non seulement de reconnaitre la véritable solution, mais aussi de corriger la valeur de la distance du Soleil à la Terre fournie par la première approximation.

Je ferai encore ici une remarque importante. Les deux équations générales que j'ai données dans la séance du 27 décembre dernier renferment seulement, avec le demi-paramètre, les coordonnées de l’astre observé et la distance de cet astre au Soleil. Or cette distance se trouve liée par une équation du second degré à la distance de l’astre à la Terre, qui est la seule inconnue de laquelle dépendent les coordonnées de l’astre. Enfin, si, l’astre observé étant une comète, on le considère, dans une première approximation, comme décrivant une parabole, sa distance au Soleil dépendra uniquement du temps et de deux éléments, dont l’un sera précisément le demi-paramètre, l’autre étant l’époque du passage de la comète au périhélie. Donc, alors, les deux équations générales ci-dessus mentionnées pourront être censées ne renfermer que deux inconnues, savoir les deux éléments dont il s’agit. Donc elles sufliront pour corriger les éléments, et la correction ainsi obtenue sera d'autant plus exacte que les deux équations ne renferment aucune dérivée. Ajoutons que l’on simplifiera le caleul en ne conservant, dans les équations dont il s’agit, qu’un seul des trois

EXTRAIT N° 398. k79

systèmes de valeurs des variables correspondantes aux trois observations données, et en remplaçant les deux autres systèmes par les deux systèmes des différences finies du premier et du second ordre formées avec les trois valeurs de chacune de ces mêmes variables.

ANALYSE

Conservons les notations adoptées dans les séances précédentes, et posons, de plus,

Les distances 7, « de l’astre observé au Soleil et à la Terre seront liées entre elles, et à la distance

par les deux équations

(3) r=s + EP,

dans lesquelles R désigne la distance de la Terre au Soleil, et / la perpendiculaire abaissée du centre du Soleil sur le rayon vecteur R. De plus, en nommant w la vitesse absolue de l’astre observé, K la force attractive du Soleil, et a le demi grand axe de l'orbite décrite, on aura

2 1,:ù 0 (4) Ft É , = &@°? x 4 e et l’on pourra réduire g à une fonction de ?, de la forme A 6? ERA 1 Len ES | (9) Dr IbeT EE,

mule (5), le polynôme db + 21br + C+?,

essentiellement positif, ne pourra s’abaisser au-dessous de la limite